Хеширование первых пяти ключей, как и в предыдущем случае, дает различные индексы (хеш-адреса): 9, 0, 6, 1, и 3.

При возникновении коллизии, новый элемент добавляется в конец списка. Поэтому элемент с ключом 41, помещается после элемента с ключом 81, а элемент с ключом 79 – после элемента с ключом 59.

10. Элементы теории погрешностей

Реальные инженерные и физические задачи во всех областях науки и техники обычно решаются посредством использования двух подходов:

−физического эксперимента;

−предварительного анализа конструкций, схем, явлений с целью выбора каких-то их оптимальных параметров.

Первый подход связан с большими и не всегда оправданными затратами материальных и временных ресурсов.

Второй подход связан с математическим моделированием, в основе кото-

рого заложены знания фундаментальных законов природы и построение на их основе математических моделей для произвольных технических и научных задач.

Математические модели представляют собой упрощенное описание ис-

следуемого явления с помощью математических символов и операций над ними.

Математические модели разрабатываются с соблюдением корректности и адекватности по отношению к реальным процессам, но, как правило, с учетом простоты их технической реализации.

Практика показывает, что возникающие и истребованные технические решения во многом однозначны, что определяет ограниченное число существенно полезных математических моделей, извлекаемых из стандартного справочника «Курс высшей математики». К примеру из арсенала этих моделей можно назвать такие как линейные и нелинейные уравнения, системы линейных и нелинейных уравнений, дифференциальные уравнения (ДУ), разновидности интегралов, функциональные зависимости, «целевые» функции для решения задач оптимизации и др.

162

При математическом моделировании важным моментом является первоначальная математическая постановка задачи. Она предполагает описание математической модели и указания цели ее исследования. Для одной и той же математической модели могут быть сформулированы и решаться различные математические задачи. Например, для наиболее распространенной модели, такой как функциональная зависимость y = f(x) могут быть сформулированы следующие математические задачи:

1)найти экстремальное значение функции f(x): max f(x) или min f(x);

2)найти значение x, при котором f(x) = 0;

b

3) найти значение производной f’(x), значение интеграла ∫ f (x)dx и т.д.

a

Вычислительная математика изучает построение и исследование численных методов решения математических задач, которые моделируют различные процессы.

10.1. Методы реализации математических моделей

Методы реализации математических моделей можно разделить на:

–графические;

–аналитические;

–численные.

Указанные методы используются как самостоятельно, так и совместно. Графические методы позволяют оценивать порядок искомых величин и на-

правление расчетных алгоритмы.

Аналитические методы (точные, приближенные) упрощают фрагментарные расчеты и позволяют успешно решать задачи оценки корректности и точности численных решений.

Основным инструментом реализации математических моделей являются численные методы.

Важнейшим моментом при математическом моделировании является обеспечение достоверности полученных решений. Но из практики известно, что лишь в редких случаях удается найти метод решения, приводящий к точному результату. Как правило, приближенные решения используются совместно с точными. Поэтому на ряду с выбором вычислительного метода с точки зрения оптимальности алгоритма его реализации важной задачей является оценка точности получаемого решения. Ее принято оценивать некоторой численной величиной, называемой по-

грешностью.

При решении любой практической задачи необходимо всегда указывать требуемую точность результата. В связи с этим необходимо уметь:

1)зная заданную точность исходных данных, оценивать точность результата (прямая задача теории погрешностей);

2)зная требуемую точность результата, выбирать необходимую точность исходных данных (обратная задача теории погрешностей).

163

10.2. Источники погрешностей

На рассмотренных выше этапах математического моделирования имеют место следующие источники погрешностей:

1)погрешность математической модели;

2)погрешность исходных данных (неустранимая погрешность):

3)погрешность численного метода;

4)вычислительная погрешность.

Погрешность математической модели возникает из-за стремления обес-

печить сравнительную простоту ее технической реализации и доступности исследования. Нужно иметь в виду, что конкретная математическая модель (ММ), прекрасно работающая в одних условиях, может быть совершенно неприменима в других. С точки зрения потребителя, важным является правильная оценка области ее (ММ) применения.

Погрешность численного метода (погрешность аппроксимации), связанная, например, с заменой интеграла суммой, с усечением рядов при вычислении функций, с интерполированием табличных значений функциональных зависимостей и т.п. Как правило, погрешность численного метода регулируема и может быть уменьшена до любого разумного значения путем изменения некоторого параметра.

Вычислительная погрешность возникает из-за округления чисел, промежуточных и окончательных результатов счета. Она зависит от правил и необходимости округления, а также от алгоритмов численного решения.

В основе процессов округления лежит идея минимальности разности значения с и его округления с*.

10.3. Приближенные числа и оценка их погрешностей

При численном решении задач приходится оперировать двумя видами чисел − точными и приближенными. К точным относятся числа, которые дают истинное значение исследуемой величины. К приближенным относятся числа, близкие к истинному значению, причем степень близости определяется погрешностью вычислений.

Результатами вычислений являются, как правило, только приближенные числа. Поэтому для указания области неопределенности результата вводятся некоторые специальные понятия, широко используемые при подготовке исходных данных или (и) оценке погрешности численных решений.

Если х − точное, вообще говоря, неизвестное значение некоторой величины, а а − его приближение, то разность х−а называется ошибкой, или погрешностью приближения. Часто знак ошибки х−а неизвестен, поэтому используется так называемая абсолютная погрешность (Х) приближенного числа а, определяемая равенством

164

Изучаемая числовая величина х именованная, т.е. определяется в соответствующих единицах измерения, например, в сантиметрах, килограммах и т.п. Погрешность (10.1) имеет ту же размерность.

Однако часто возникает необходимость заменить эту погрешность безразмерной величиной − относительной погрешностью. При этом из-за незнания точного значения изучаемой величины принято называть относительной погрешностью величину

чины. Она сопоставима в идентичных экспериментах.

В связи с тем, что точное значение х, как правило, неизвестно, то формулы 1−3 носят сугубо теоретический характер.

Для практических целей вводится понятие предельной погрешности. Предельная абсолютная погрешность а − это верхняя оценка модуля абсолютной погрешности числа х, т.е.

| х | ≤ a.

При произвольном выборе а всегда стремятся каким-либо образом взять

наименьшим.

Истинное значение числа х будет находиться в интервале с границами (а− а) − с недостатком и (а+ а) − с избытком, т.е.

( а − а ) ≤ х ≤ ( а + а ) .

Предельная относительная погрешность δ(a) = |aa| может выражаться и в процентах.

10.4. Прямая задача теории погрешностей

Пусть в некоторой области G n-мерного числового пространства рассматривается непрерывно дифференцируемая функция

y = f(x1, ... , xn).

Пусть в точке (x1, ..., xn), принадлежащей ( ) области G нужно вычислить ее (функции) значение. Известны лишь приближенные значения аргументов (а1, ..., аn) G, и их погрешности. Естественно, что это будет приближенное значение

y* = f(а1, а2, ... , аn).

Нужно оценить его абсолютную погрешность

165