12. Методы решения нелинейных уравнений

Математической моделью многих физических процессов является функциональная зависимость y=f(x). Поэтому задачи исследования различных свойств функции f(x) часто возникают в инженерных расчетах. Одной из таких задач является нахождение значений x, при которых функция f(x) обращается в ноль, т.е. решение уравнения

Точное решение удается получить в исключительных случаях, и обычно для нахождения корней уравнения применяются численные методы. Решение уравнения (12.1) при этом осуществляется в два этапа:

ляется таблица значений функции с некоторым шагом h, строится ее график и определяются интервалы (αi,βi) длиной h, на которых находятся корни. На рис.4 представлены три наиболее часто встречающиеся ситуации:

Как видно из рис. 4, в случаях a) и в) значение корня совпадает с точкой экстремума функции и для нахождения таких корней рекомендуется использовать методы поиска минимума функции.

На втором этапе вычисление значения корня с заданной точностью осуществляется одним из итерационных методов. При этом, в соответствии с общей методологией m-шагового итерационного метода, на интервале (α,β), где находится интересующий нас корень x*, выбирается m начальных значений x0, x1, …, xm-1 (обычно x0=α, x1=β), после чего последовательно находятся члены (xm, xm+1, ..., xn-

честве приближенного значения корня (x*≈ xn).

Многообразие методов определяется возможностью большого выбора законов ϕ. Наиболее часто используемые на практике методы описаны ниже.

171

f'(x).

12.3. Метод секущих

Данный метод является модификацией метода Ньютона, позволяющей избавиться от явного вычисления производной путем ее замены приближенной

172

x2=β, x1=(α+β)/2), в этих точках рассчитываются три значения функции y=f(x), y0,y1,y2 и строится интерполяционный многочлен второго порядка (рис.7), который удобно записать в форме

из которых выбирается наименьший по модулю zm и рассчитывается следующая точка x3=x2+zm, в результате получается рекуррентная формула метода парабол:

Метод трехшаговый (m=3). Скорость сходимости его больше, чем у метода Вегстейна, однако, не лучше, чем у метода Ньютона вблизи корня. Схема алгоритма метода парабол представлена на рис. 5.8 [4].

12.6. Метод деления отрезка пополам

Все вышеописанные методы могут работать, если функция f(x) является непрерывной и дифференцируемой вблизи искомого корня. В противном случае они не гарантируют получение решения.

Для разрывных функций, а также, если не требуется быстрая сходимость, для нахождения простого корня на интервале [α,β] применяют надежный метод деления отрезка пополам. Его алгоритм основан на построении рекуррентной последовательности по следующему закону: в качестве начального приближения выбираются границы интервала, на котором точно имеется один простой корень x0=α, x1=β, далее находится его середина x2=(x0+x1)/2; очередная точка x3 выбирается как середина того из смежных с x2 интервалов [x0,x2] или [x2,x1], на котором находится корень. В результате получается следующий алгоритм метода деления отрезка пополам:

1)вычисляем y0=f(x0) ;

2)вычисляем x2=(x0+x1)/2, y2=f(x2);

3)если y0 y2>0, тогда x0=x2, y0=y2,

иначе x1=x2;

4)если x1-x0>ε, тогда повторять с п.2;

5)вычисляем x*=(x0+x1)/2;

6)конец.

174

За одно вычисление функции погрешность уменьшается вдвое, то есть скорость сходимости невелика, однако метод устойчив к ошибкам округления и всегда сходится.

Рассмотрим функцию определения корня уравнения f(x)=0 на отрезке [а,b] с заданной точностью eps. Предположим для простоты, что исходные данные задаются без ошибок, т.е. eps>0, f(a)*f(b)<0, b>а, и вопрос о возможности существования нескольких корней на отрезке [а,b] нас не интересует. Не очень эффективная рекурсивная функция для решения поставленной задачи приведена в следую-

double fa = f(a), fb = f(b), c, fc; if ( fa * fb > 0)

{

printf("\n На интервале a,b НЕТ корня!"); exit(1);

return (2.0/x * cos(x/2.0));

}

Значения A, B и EPS заданы постоянными только для тестового анализа полученных результатов, хотя лучше данные вводить с клавиатуры.

175

В результате выполнения программы с определенными в ней конкретными данными получим:

Число обращений к тестовой функции = 60

Корень = 3.141591

На рис. 5.9 [4] приведена схема определения всех корней функции f(x) в указанном интервале [a, b] – на экран выдается таблица значений функции и делается запрос на ввод начального приближения (это может быть α, β или x0) к тому корню, который надо получить с заданной точностью. После того как введены требуемые данные, идет обращение к подпрограмме и печать результатов.

176