Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
методички.C++ / Конспект Лекций - Части 1,2.pdf
Скачиваний:
157
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
1.97 Mб
Скачать

12. Методы решения нелинейных уравнений

Математической моделью многих физических процессов является функциональная зависимость y=f(x). Поэтому задачи исследования различных свойств функции f(x) часто возникают в инженерных расчетах. Одной из таких задач является нахождение значений x, при которых функция f(x) обращается в ноль, т.е. решение уравнения

f(x)=0.

(12.1)

Точное решение удается получить в исключительных случаях, и обычно для нахождения корней уравнения применяются численные методы. Решение уравнения (12.1) при этом осуществляется в два этапа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Приближенное опре-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

деление местоположения, ха-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рактер и выбор интересую-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щего нас корня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Вычисление выбран-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ного корня с заданной точно-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стью ε.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первая задача решается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4

 

 

 

 

 

 

графическим методом: на за-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

данном отрезке [a,b] вычис-

ляется таблица значений функции с некоторым шагом h, строится ее график и определяются интервалы (αi,βi) длиной h, на которых находятся корни. На рис.4 представлены три наиболее часто встречающиеся ситуации:

а) кратный корень:

f

*

 

f (α1) f (β1) > 0;

(x1 ) = 0,

 

б) простой корень:

f

*

 

f (α2 ) f (β2 ) < 0;

(x2 ) 0,

*

 

 

 

не существует, f (α3) f (β3) > 0 .

в) вырожденный корень: f (x3 )

Как видно из рис. 4, в случаях a) и в) значение корня совпадает с точкой экстремума функции и для нахождения таких корней рекомендуется использовать методы поиска минимума функции.

На втором этапе вычисление значения корня с заданной точностью осуществляется одним из итерационных методов. При этом, в соответствии с общей методологией m-шагового итерационного метода, на интервале (α,β), где находится интересующий нас корень x*, выбирается m начальных значений x0, x1, …, xm-1 (обычно x0=α, x1=β), после чего последовательно находятся члены (xm, xm+1, ..., xn-

1,

xn)

рекуррентной

последовательности

порядка m по правилу

x

=ϕ(x

, ..., x

)

до тех пор, пока

 

xn xn1

 

<ε

. Последнее xn выбирается в ка-

 

 

k

k1

km

 

 

 

 

 

честве приближенного значения корня (x*xn).

Многообразие методов определяется возможностью большого выбора законов ϕ. Наиболее часто используемые на практике методы описаны ниже.

171

12.1. Итерационные методы уточнения корней

 

 

 

 

Очень часто в практике вычислений встречается ситуация, когда уравнение

(12.1) записано в виде разрешенном, относительно x:

 

 

 

 

 

x = ϕ(x).

 

 

 

 

 

 

(12.2)

Переход от записи уравнения (12.1) к эквивалентной записи (12.2) можно

сделать многими способами, например, положив

 

 

 

 

 

 

ϕ(x) = x+ψ(x) f(x) ,

 

 

 

 

 

(12.3)

где ψ(x) – произвольная, непрерывная, знакопостоянная функция (часто доста-

точно выбрать ψ=const).

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае корни уравнения (12.2) являются также корнями (12.1), и на-

оборот.

 

 

 

 

 

 

 

 

12.2. Метод Ньютона

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот метод часто называется методом касательных. Если f(x) имеет непре-

рывную производную, тогда, выбрав в (3) ψ(x) = 1/f’(x), получаем эквивалентное

уравнение x=x-f(x)/f’(x)=ϕ(x). Скорость сходимости рекуррентной последователь-

ности метода Ньютона

 

 

 

 

 

 

 

 

x = x

f (xk1) =ϕ(x

k1

)

 

 

 

 

k

k1

f (xk1)

 

 

 

 

(12.4)

 

 

 

 

 

 

 

вблизи корня очень большая, погрешность очередного приближения примерно

 

 

′′

 

2

 

 

 

 

равна квадрату погрешности предыдущего εk ϕ (x*) εk1 .

 

 

 

 

 

 

Из (12.4) видно, что этот метод одно-

 

 

шаговый (m=1) и для начала вычислений

 

 

требуется задать одно начальное прибли-

 

 

жение x0 из области сходимости,

опреде-

 

 

ляемой неравенством

f f

′′

2

<1. Ме-

 

 

 

/( f )

 

 

тод Ньютона получил название метод каса-

 

 

тельных благодаря геометрической иллю-

 

 

страции его сходимости, представленной на

 

 

рис. 5. Этот метод позволяет находить как

 

 

простые, так и кратные корни. Основной

Рис. 5

 

его недостаток – малая область сходимости

 

и необходимость вычисления производной

 

 

f'(x).

12.3. Метод секущих

Данный метод является модификацией метода Ньютона, позволяющей избавиться от явного вычисления производной путем ее замены приближенной

172

формулой. Это эквивалентно тому, что вместо касательной проводится секущая

(рис. 6). Тогда вместо процесса (12.4) получаем

 

 

xk = xk1

 

f (xk1)h

 

=ϕ(xk1)

 

f (xk1) f (xk1

h)

(12.5)

 

 

.

Здесь h – некоторый малый параметр метода, который подбирается из усло-

вия наиболее точного вычисления производной.

 

 

Метод одношаговый (m=1), и его условие сходимости при правильном вы-

боре h такое же, как у метода Ньютона.

 

 

 

 

12.4. Метод Вегстейна

 

 

 

 

 

Этот метод является модификацией метода секущих. В нем предлагается

при расчете приближенного значения производной по разностной формуле ис-

пользовать вместо точки xk-1-h

в (12.5) точку xk-2, полученную на предыдущей

итерации. Расчетная формула метода Вегстейна:

 

 

 

 

x = x

f (xk1)(xk1 xk2 ) =

 

 

 

k

k1

f (xk1) f (xk2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

=ϕ(xk1, xk2 )

.

(12.6)

 

 

 

Метод является двухшаговым (m=2),

 

 

и для начала вычислений требуется задать 2

 

 

начальных приближения x0,x1. Лучше всего

 

 

x0=α, x1=β.

Метод Вегстейна

сходится

 

 

медленнее метода секущих, однако, требует

Рис. 6

 

в 2 раза меньшего числа вычислений f(x) и

 

за счет этого оказывается более эффектив-

ным.

 

 

 

 

 

 

 

Схема алгоритма метода Вегстейна представлена на рис. 5.6 [4].

 

12.5. Метод парабол

 

 

Предыдущие методы основаны на

 

том, что исходная функция f(x) аппрокси-

 

мируется линейной зависимостью вблизи

 

корня и в качестве следующего приближе-

 

ния выбирается точка пересечения аппрок-

 

симирующей прямой с осью абсцисс. Ясно,

 

что аппроксимация будет лучше, если вме-

 

сто линейной зависимости использовать

 

квадратичную. На этом и основан один из

 

самых эффективных методов – метод пара-

Рис. 7

бол. Суть его в следующем: задаются три

начальные точки x0,x1,x2 (обычно x0=α,

 

 

173

x2=β, x1=(α+β)/2), в этих точках рассчитываются три значения функции y=f(x), y0,y1,y2 и строится интерполяционный многочлен второго порядка (рис.7), который удобно записать в форме

 

 

P = a(x x )2 +b(x x ) + c = az2

+bz + c

.

 

 

(12.7)

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты этого многочлена вычисляются по формулам:

 

z=x-x2; z0=x0-x2; z1=x1-x2; c=y2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a =

( y

0

y

2

)z

( y

y

2

)z

0 ;

b =

( y

y

2

)z2

( y

 

y

2

)z2

 

 

 

1

 

1

 

 

0

 

1

1

 

0

 

 

 

 

z0 z1(z0 z1)

 

 

 

 

 

z0 z1(z1 z0 )

 

.

(12.8)

Полином (12.7) имеет два корня:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

=

b ±

 

b2

4ac

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, 2

 

 

 

2a

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из которых выбирается наименьший по модулю zm и рассчитывается следующая точка x3=x2+zm, в результате получается рекуррентная формула метода парабол:

xk = xk1 + zm (xk1, xk2 , xk3 ) =ϕ(xk1, xk2 , xk3).

(12.9)

Метод трехшаговый (m=3). Скорость сходимости его больше, чем у метода Вегстейна, однако, не лучше, чем у метода Ньютона вблизи корня. Схема алгоритма метода парабол представлена на рис. 5.8 [4].

12.6. Метод деления отрезка пополам

Все вышеописанные методы могут работать, если функция f(x) является непрерывной и дифференцируемой вблизи искомого корня. В противном случае они не гарантируют получение решения.

Для разрывных функций, а также, если не требуется быстрая сходимость, для нахождения простого корня на интервале [α,β] применяют надежный метод деления отрезка пополам. Его алгоритм основан на построении рекуррентной последовательности по следующему закону: в качестве начального приближения выбираются границы интервала, на котором точно имеется один простой корень x0=α, x1=β, далее находится его середина x2=(x0+x1)/2; очередная точка x3 выбирается как середина того из смежных с x2 интервалов [x0,x2] или [x2,x1], на котором находится корень. В результате получается следующий алгоритм метода деления отрезка пополам:

1)вычисляем y0=f(x0) ;

2)вычисляем x2=(x0+x1)/2, y2=f(x2);

3)если y0 y2>0, тогда x0=x2, y0=y2,

иначе x1=x2;

4)если x1-x0>ε, тогда повторять с п.2;

5)вычисляем x*=(x0+x1)/2;

6)конец.

174

За одно вычисление функции погрешность уменьшается вдвое, то есть скорость сходимости невелика, однако метод устойчив к ошибкам округления и всегда сходится.

Рассмотрим функцию определения корня уравнения f(x)=0 на отрезке [а,b] с заданной точностью eps. Предположим для простоты, что исходные данные задаются без ошибок, т.е. eps>0, f(a)*f(b)<0, b>а, и вопрос о возможности существования нескольких корней на отрезке [а,b] нас не интересует. Не очень эффективная рекурсивная функция для решения поставленной задачи приведена в следую-

щей программе:

 

 

. . .

 

 

int counter = 0;

// Счетчик обращений к тестовой функции

//

------- Нахождение корня уравнения методом деления отрезка пополам ----------

 

double Root(double f(double), double a, double b, double eps)

 

{

 

double fa = f(a), fb = f(b), c, fc; if ( fa * fb > 0)

{

printf("\n На интервале a,b НЕТ корня!"); exit(1);

 

}

 

 

c = (a + b) / 2.0;

 

fc = f(c);

 

 

if (fc == 0.0 ||

(b – a) < eps) return c;

 

return (fa * fc < 0.0) ? Root(f, a, c, eps) : Root(f, c, b, eps);

//

}

 

------------------------------------------------------void main()

 

 

 

 

{

 

 

double x, a=0.1, b=3.5, eps=0.00001;

 

double fun(double);

// Прототип тестовой функции

 

x = Root (fun, a, b, eps);

 

printf ("\n Число обращений к тестовой функции = %d ", counter);

 

printf ("\n Корень = %f ", x);

 

getch();

 

 

}

 

//-----------------

Определение тестовой функции fun ------------------------------------

 

double fun (double x)

 

{

 

 

counter++;

// Счетчик обращений – глобальная переменная

return (2.0/x * cos(x/2.0));

}

Значения A, B и EPS заданы постоянными только для тестового анализа полученных результатов, хотя лучше данные вводить с клавиатуры.

175

В результате выполнения программы с определенными в ней конкретными данными получим:

Число обращений к тестовой функции = 60

Корень = 3.141591

На рис. 5.9 [4] приведена схема определения всех корней функции f(x) в указанном интервале [a, b] – на экран выдается таблица значений функции и делается запрос на ввод начального приближения (это может быть α, β или x0) к тому корню, который надо получить с заданной точностью. После того как введены требуемые данные, идет обращение к подпрограмме и печать результатов.

176

Соседние файлы в папке методички.C++