Для функции одного аргумента y = f(x) ее абсолютная погрешность, вызы-
ваемая достаточно малой погрешностью |
а, оценивается величиной |
|
~ |
′ |
a . |
y* = < |
| f (a)| |
|
10.5. Обратная задача теории погрешностей
Она состоит в определении допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции.
Для функции одной переменной y = f(x) абсолютную погрешность можно
вычислить приближенно по формуле |
|
|
||||
a = |
|
1 |
|
y, |
f |
′ |
|
′ |
|||||
| f |
(a)≠0 . |
|||||
|
(a)| |
|
|
|
||
Для функций нескольких переменных y = f(x1, ... , xn) задача решается при следующих ограничениях.
Если значение одного из аргументов значительно труднее измерить или вычислить с той же точностью, что и значение остальных аргументов, то погрешность именно этого аргумента и согласовывают с требуемой погрешностью функции.
Если значения всех аргументов можно одинаково легко определить с любой точностью, то применяют принцип равных влияний, т.е. учитывают, что все слагаемые
∂f |
|
ai , i =1,... ,n |
|
∂xi |
|||
|
|||
равны между собой. Тогда абсолютные погрешности всех аргументов определяются формулой
ai = |
y |
|
|
, i =1,... ,n . |
|
n |∂f / |
∂xi | |
||||
|
|
||||
10.6. Понятия устойчивости, корректности и сходимости
Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины х находится значение искомой величины у. Если исходная величина имеет абсолютную погрешность х, то решение у имеет погрешность у.
Задача называется устойчивой по исходному параметру х, если решение у непрерывно зависит от х, т.е. малое приращение исходной величины х приводит к малому приращению искомой величины у. Другими словами, малые погрешности
висходной величине приводят к малым погрешностям в результате расчетов. Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные погрешности
висходных данных приводят к большим погрешностям в решении или вовсе к неверному результату.
Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным.
166