Понятие сходимости численного решения вводится для итерационных процессов. По результатам многократного повторения итерационного процесса полу-

чаем последовательность приближенных значений x1, x2 ,..., xn ,... . Говорят, что эта

последовательность сходится к точному решению x = a , если lim x = a .

n→∞

Таким образом, для получения решения задачи с необходимой точностью ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью. Эти понятия будут рассматриваться в последующих разделах курса.

Некоторые обобщенные требования к выбору численных методов

Рассмотренные выше вопросы о погрешностях являются одними из важнейших моментов при выборе численного метода. В основе выбора численного метода лежат следующие соображения.

1.Можно утверждать, что нет ни одного метода, пригодного для решения всех задач одного и того же класса. Метод должен реализовываться с помощью меньшего числа действий. Поэтому всегда стоит задача выбора численного метода, сообразуясь из конкретной задачи.

2.Численный метод можно считать удачно выбранным:

−если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности, а погрешность округлений в несколько раз меньше погрешности метода;

−если неустранимая погрешность отсутствует, то погрешность метода должна быть несколько меньше заданной точности;

−дальнейшее снижение погрешности численного метода приводит не к повышению точности результатов, а к необоснованному увеличению объема вычислений.

3. Предпочтение отдается методу, который:

−реализуется с помощью меньшего числа действий;

−требует меньшего объема памяти ЭВМ;

−логически является более простым.

4)Численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью.

11. Вычисление интегралов

Задачи численного интегрирования являются частным случаем общей задачи аппроксимации операторов, состоящей в том, что заданный на некотором множестве функций оператор U=Φ[f(x)] требуется заменить более простым, удобным для последующего использования, оператором Ŭ=Λ[f(x)], близким в некотором смысле к исходному.

Аппроксимацию операторов обычно осуществляют следующим образом: функцию f(x) аппроксимируют такой функцией ϕ(x,c ), от которой оператор Φ легко вычисляется, после чего полагают Ŭ=Λ[f(x)] = Φ[ϕ(x,c )].

167

При аппроксимации операторов численного интегрирования наибольшее распространение, ввиду своей простоты, нашли интерполяционные формулы Ньютона.

Ниже рассматривается аппроксимация f(x) интерполяционным многочле-

ном.

11.1. Формулы численного интегрирования

b

для каждого отрезка интерполяционный многочлен соответствующего порядка. Вычисляют интеграл от этого многочлена на отрезке. В результате получают выражение интеграла (формулу численного интегрирования) через значения подынтегральной функции в выбранной системе точек. Такие выражения называют

квадратурными формулами.

Приведем наиболее часто используемые квадратурные формулы для равных отрезков длины h = (b − a) / m, x i= a + (i −1) h, i =1 ... m.

11.2. Формула средних

168

После приведения подобных членов формула (11.4) приобретает удобный для программирования вид:

Погрешность формулы Симпсона имеет четвертый порядок по h:

11.5. Схема с автоматическим выбором шага по заданной точности

Анализируя полученные выше формулы, выяснили, что точное значение интеграла находится между значениями Σcp и Σтp, при этом имеет место соотношение

Это соотношение часто используется для контроля погрешности вычислений. Расчет начинается с m=2 и производится по двум методам, в результате по-

лучают Σcp , Σтp. Если | Σc р −Σmр |≥δ (δ – заданная погрешность), то шаг h уменьшают вдвое (m=m 2) и расчет повторяют. Если точность достигается, то окончательное значение интеграла получается по формуле (11.5). При существенном уменьшении шага h начинают сказываться ошибки округления, поэтому шаг должен быть ограничен снизу некоторой величиной, зависящей от разрядной сетки ЭВМ (m≤n).

Схема алгоритма с автоматическим выбором шага представлена на рис. 4.4

[4].

170