Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
методички.C++ / Конспект Лекций - Части 1,2.pdf
Скачиваний:
157
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
1.97 Mб
Скачать

Понятие сходимости численного решения вводится для итерационных процессов. По результатам многократного повторения итерационного процесса полу-

чаем последовательность приближенных значений x1, x2 ,..., xn ,... . Говорят, что эта

последовательность сходится к точному решению x = a , если lim x = a .

n→∞

Таким образом, для получения решения задачи с необходимой точностью ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью. Эти понятия будут рассматриваться в последующих разделах курса.

Некоторые обобщенные требования к выбору численных методов

Рассмотренные выше вопросы о погрешностях являются одними из важнейших моментов при выборе численного метода. В основе выбора численного метода лежат следующие соображения.

1.Можно утверждать, что нет ни одного метода, пригодного для решения всех задач одного и того же класса. Метод должен реализовываться с помощью меньшего числа действий. Поэтому всегда стоит задача выбора численного метода, сообразуясь из конкретной задачи.

2.Численный метод можно считать удачно выбранным:

если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности, а погрешность округлений в несколько раз меньше погрешности метода;

если неустранимая погрешность отсутствует, то погрешность метода должна быть несколько меньше заданной точности;

дальнейшее снижение погрешности численного метода приводит не к повышению точности результатов, а к необоснованному увеличению объема вычислений.

3. Предпочтение отдается методу, который:

реализуется с помощью меньшего числа действий;

требует меньшего объема памяти ЭВМ;

логически является более простым.

4)Численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью.

11. Вычисление интегралов

Задачи численного интегрирования являются частным случаем общей задачи аппроксимации операторов, состоящей в том, что заданный на некотором множестве функций оператор U=Φ[f(x)] требуется заменить более простым, удобным для последующего использования, оператором Ŭ=Λ[f(x)], близким в некотором смысле к исходному.

Аппроксимацию операторов обычно осуществляют следующим образом: функцию f(x) аппроксимируют такой функцией ϕ(x,c ), от которой оператор Φ легко вычисляется, после чего полагают Ŭ=Λ[f(x)] = Φ[ϕ(x,c )].

167

При аппроксимации операторов численного интегрирования наибольшее распространение, ввиду своей простоты, нашли интерполяционные формулы Ньютона.

Ниже рассматривается аппроксимация f(x) интерполяционным многочле-

ном.

11.1. Формулы численного интегрирования

b

 

 

 

U = f (x)dx

 

 

Формулы для вычисления интеграла

a

получают следующим об-

разом. Область

интегрирования

[a,b]

разбивают на

малые

отрезки

{a = x1 < x2 <... < xm+1 =b, hi = xi+1 xi},

в общем случае разной длины.

Значение

интеграла

по

всей области равно

сумме

интегралов

на

отрезках

b

m xi+1

 

 

 

 

 

 

f (x)dx =

f (x)dx

 

 

 

 

 

a

i=1 x

. Выбирают на каждом отрезке [xi, xi+1] 1-5 узлов и строят

 

i

 

 

для каждого отрезка интерполяционный многочлен соответствующего порядка. Вычисляют интеграл от этого многочлена на отрезке. В результате получают выражение интеграла (формулу численного интегрирования) через значения подынтегральной функции в выбранной системе точек. Такие выражения называют

квадратурными формулами.

Приведем наиболее часто используемые квадратурные формулы для равных отрезков длины h = (b a) / m, x i= a + (i 1) h, i =1 ... m.

11.2. Формула средних

Рис. 1

нованием h, получим (рис. 1):

Формула средних получается, если на каждом i-том отрезке взять один централь- ный узел xi+1/ 2 = (xi + xi+1)/ 2, соответствующий середине отрезка. Функция на каждом от-

 

резке

аппроксимируется мно-

 

 

гочленом

нулевой

степени

 

 

 

(константой)

 

P0 (x) = yi+1/ 2 = f (xi+1/ 2 ).

Заме-

 

 

няя

площадь криволинейной

 

фигуры

площадью

прямо-

угольника высотой yi+1/ 2 и ос-

b

m

xi+1

m

 

 

f (x)dx

P0 (x)dx = hyi+1/ 2 = Σc р f

 

 

a

i=1

x

i=1

.

(11.1)

 

 

i

 

 

 

 

 

 

168

11.3. Формула трапеций

Формула трапеций получается при аппроксимации функции f(x) на каждом отрезке [xi, xi+1] интерполяционным многочленом первого порядка, т.е. прямой, прохо-

дящей через точки (xi,yi),

(xi+1,yi+1). Площадь криволинейной фигуры заменяется

площадью трапеции с основа- ниями yi,yi+1 и высотой h (рис.

2):

Рис. 2

b

m xi+1

 

m

 

 

 

 

= h

y1 + ym+1

m

= Σmр f

 

f (x)dx P1(x)dx = h

yi + yi

+1

+ yi

 

 

 

 

 

 

a

i=1 x

 

i=1

 

2

 

 

 

2

i=2

 

. (11.2)

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Погрешность формулы трапеций в два раза больше, чем погрешность фор-

мулы средних:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

h

2 b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

εmр = max

fdx −Σmр f

12

f (x)dx

.

 

 

(11.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.4. Формула Симпсона

Формула Симпсона получается при аппроксимации функции f(x) на каждом отрезке

[xi,xi+1] интерполяционным

многочленом второго порядка

(параболой) c узлами ,xi, xi+1/2,

xi+1. После интегрирования параболы получаем (рис. 3):

Рис. 3

b

m

xi+1

 

(x)dx = h

m

 

f (x)dx

P2

( yi + 4yi+1/ 2 + yi+1) = Σсu f

 

a

i=1

x

 

6 i=1

(11.4)

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

169

После приведения подобных членов формула (11.4) приобретает удобный для программирования вид:

 

 

 

+ 4y1+0.5 + ym+1

m

 

cu

f = h

 

y1

+ (2 yi+0.5

+ yi )

 

2

 

3

 

i=2

.

Погрешность формулы Симпсона имеет четвертый порядок по h:

ε = max

b

fdx −Σcu f

 

h4

b

f (4) (x)dx

180

 

 

 

.

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

11.5. Схема с автоматическим выбором шага по заданной точности

Анализируя полученные выше формулы, выяснили, что точное значение интеграла находится между значениями Σcp и Σтp, при этом имеет место соотношение

Σсu = (Σm р + 2Σc р ) /3.

(11.5)

Это соотношение часто используется для контроля погрешности вычислений. Расчет начинается с m=2 и производится по двум методам, в результате по-

лучают Σcp , Σтp. Если | Σc р −Σmр |δ (δ – заданная погрешность), то шаг h уменьшают вдвое (m=m 2) и расчет повторяют. Если точность достигается, то окончательное значение интеграла получается по формуле (11.5). При существенном уменьшении шага h начинают сказываться ошибки округления, поэтому шаг должен быть ограничен снизу некоторой величиной, зависящей от разрядной сетки ЭВМ (mn).

Схема алгоритма с автоматическим выбором шага представлена на рис. 4.4

[4].

170

Соседние файлы в папке методички.C++