13. Решение систем линейных алгебраических уравнений

an1 an2 Lann

Здесь индексы α, β, ..., ω пробегают все возможные n! перестановок номеров 1, 2, ..., n; k − число инверсий в данной перестановке.

Первоначальным при решении СЛАУ (13.1) является анализ вида исходной матрицы А и вектора-столбца свободных членов b в (13.2).

Если все свободные члены равны нулю, т.е. b = 0, то система A x = 0 назы-

вается однородной. Если же b ≠ 0, или хотя бы одно bi ≠ 0 (i =1,n ), то система

(13.2) называется неоднородной.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель |A| ≠ 0. При этом система (13.1) имеет единственное решение.

При |A| = 0 матрица А называется вырожденной, или особенной, а система (13.1) не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.

Если |A| ≈ 0 система (13.1) называется плохо обусловленной, т.е. решение очень чувствительно к изменению коэффициентов системы.

В ряде случаев получаются системы уравнений с матрицами специальных видов: диагональные, трехдиагональные (частный случай ленточных), симметричные (аij = aji), единичные (частный случай диагональной), треугольные и др.

Решение системы (13.2) заключается в отыскании вектора-столбца x = (x1,

x2, ... , xn)Т, который обращает каждое уравнение системы в тождество. Существуют две величины, характеризующие степень отклонения получен-

ного решения от точного, обусловленные округлением и ограниченностью разрядной сетки ЭВМ − погрешность ε и «невязка» r:

ε=x −x *

(13.4)

r =B −A x *

где x * − вектор решения.

Доказано, что если ε ≈ 0, то и r = 0. Обратное утверждение не всегда верно. Однако если система не плохо обусловлена, для оценки точности решения используют невязку r.

Методы решения СЛАУ делятся на две группы:

−прямые (точные);

−итерационные (приближенные).

13.1. Прямые методы решения СЛАУ

К прямым относятся такие методы, которые, в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить точные значения неизвестных. Они просты, универсальны и используются для широкого класса систем. Однако они не применимы к системам больших порядков (n<200) и к плохо обусловленным системам из-за возникновения больших погрешностей. К ним можно отне-

178

сти: правило Крамера, методы обратных матриц, Гаусса, прогонки, квадратного корня и др.

13.2. Метод Гаусса

Этот метод является наиболее распространенным методом решения СЛАУ. В его основе лежит идея последовательного исключения неизвестных. (В основном, приводящее исходную систему к треугольному виду, в котором все коэффициенты ниже главной диагонали равны нулю). Существуют различные вычислительные схемы, реализующие этот метод. Наибольшее распространение имеют схемы с выбором главного элемента либо по строке, либо по столбцу, либо по всей матрице. С точки зрения простоты реализации, хотя и с потерей точности, перед этими схемами целесообразней применять так называемую схему единственного деления. Рассмотрим ее суть.

Используя диагональный коэффициент первого уравнения исключается х1 из последующих уравнений. Далее посредством второго уравнения исключается х2 из последующих уравнений и т.д. Этот процесс называется прямым ходом Гаусса. Исключение неизвестных повторяется до тех пор, пока в левой части последнего n-го уравнения не останется одно неизвестное хn

где a′nn и b′ − коэффициенты, полученные в результате линейных (эквивалентных) преобразований.

Прямой ход реализуется по формулам

где m − номер уравнения, из которого исключается xk;

k − номер неизвестного, которое исключается из оставшихся (n−k) уравнений, а также обозначает номер уравнения, с помощью которого исключается xk;

i − номер столбца исходной матрицы;

akk − главный (ведущий) элемент матрицы.

Во время счета необходимо следить, чтобы akk ≠ 0. В противном случае прибегают к перестановке строк матрицы.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении xn, xn−1, ..., x1, начиная с (6) по алгоритму

Точность полученного решения оценивается посредством «невязки» (13.4). В векторе невязки (r1, r2, ... , rn)Т отыскивается максимальный элемент и сравнива-

179

ется с заданной точностью ε. Приемлемое решение будет, если rmax < ε. В противном случае следует применить схему уточнения решения.

Уточнение корней

Полученные методом Гаусса приближенные значения корней можно уточ-

нить.

Пусть для системы A x = b найдено приближенное решение х0. Положим x = x0 +δ . Для получения поправки δ = (δ1, δ2, ..., δn)Т корня x0 следует рассмот-

где ε=b −A x0 − невязка для исходной системы.

Таким образом, решая линейную систему с прежней матрицей А и новым свободным членом ε = (ε1, ε2, ..., εn)Т, получим поправки (δ1, δ2, ..., δn).

Модифицированный метод Гаусса

В данном случае помимо соблюдения требования akk ≠ 0 при реализации формул (13.7) накладываются дополнительные требования, чтобы ведущий (главный) элемент в текущем столбце в процессе преобразований исходной матрицы имел максимальное по модулю значение. Это также достигается перестановкой строк матрицы.

Блок-схема модифицированного метода Гаусса, представленна на рис. 8.

180