- •6. 15 Экспериментальное подтверждение
- •6. 16 Плоская волна де Бройля_________________________________________________________
- •6. 17 Свойства волн де Бройля _____________________________________
- •6.2.2. Соотношение неопределенностей гейзенберга
- •6.21 Статистическая интерпретация волновой функции_________________
- •6.22 Физический смысл ψ-функции________________________________
- •6.23 Принцип суперпозиции состояний для волновых функций_________
- •6.24 Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики___________________
- •6.25 Стационарное уравнение Шредингера________________________________________
- •6.2.5. Операторы в квантовой механике и их свойства
- •6.26 Математический аппарат квантовой механики___________________________________
- •6.27 Свойства операторов_________________________________________________________________
- •6.28 Линейные и эрмитовы операторы_______________________________________________
- •6.29 Свойства собственных функций______________________________________________
- •6.30 Обобщенный ряд Фурье_____________________________________________________
- •6.31 Средние значения физических величин__________________________________________
- •6.32 Возможность одновременного измерения физических величин____________________
- •6.2.6. Операторы важнейших физических величин
- •6.33 Связь между изображением физических величин операторами и опытом____________
- •6.34 Операторы координаты и импульса___________________________________________
- •6.35 Операторы момента импульса______________________________________________________
- •6.36 Уравнения для собственных значений операторов и _______________________
- •6.37 Операторы энергии____________________________________________________________
- •6.38 Уравнение Шредингера в операторной форме__________________________________
- •6.2.7. Движение свободной частицы
- •6.38 Уравнение Шредингера для стационарных состояний ______________________
- •6.39 Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками_________________________
- •6.40 Решение уравнения Шредингера для частицы в яме_____________________________
- •6.41 Энергетический спектр частицы_______________________________________________
- •6.42 Собственные функции и плотности вероятности
- •6.2.9. Отражение и прохождение
- •6.43 Прямоугольный бесконечно протяженный порог______________________________
- •6.45 Коэффициенты отражения и прозрачности____________________________________
- •6.2.10. Потенциальный барьер конечной ширины.
- •6.49 Потенциальный барьер конечной ширины___________________________________
- •6.50 Энергия частицы больше высоты потенциального барьера_____________________
- •6.51 Возможное определение коэффициентов отражения и прозрачности
- •6.52 Энергия частицы
- •6.53 Туннельный эффект________________________________________________________________
- •6.54 Коэффициент прозрачности для прямоугольного барьера______________________
- •6.55 Коэффициент прозрачности для барьера произвольной формы ___________
- •6.56 Выводы относительно поведения классической
- •6.2.11. Линейный гармонический осциллятор
- •6.57 Описание гармонического осциллятора в квантовой механике_________________
- •6.58 Следствия уравнения Шредингера для квантового осциллятора________________
- •6.59 Плотности вероятности обнаружения частицы______________________________
- •6.60 Плотности вероятности
- •6. 14 Длина волны де Бройля___________________________________________________
- •6. 15 Экспериментальное подтверждение
- •6. 16 Плоская волна де Бройля_________________________________________________________
- •6. 17 Свойства волн де Бройля _____________________________________
- •6.2.2. Соотношение неопределенностей гейзенберга
- •6.21 Статистическая интерпретация волновой функции_________________
- •6.22 Физический смысл ψ-функции________________________________
- •6.23 Принцип суперпозиции состояний для волновых функций_________
- •6.24 Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики___________________
- •6.25 Стационарное уравнение Шредингера________________________________________
- •6.2.5. Операторы в квантовой механике и их свойства
- •6.26 Математический аппарат квантовой механики___________________________________
- •6.27 Свойства операторов_________________________________________________________________
- •6.28 Линейные и эрмитовы операторы_______________________________________________
- •6.29 Свойства собственных функций______________________________________________
- •6.30 Обобщенный ряд Фурье_____________________________________________________
- •6.31 Средние значения физических величин__________________________________________
- •6.32 Возможность одновременного измерения физических величин____________________
- •6.2.6. Операторы важнейших физических величин
- •6.33 Связь между изображением физических величин операторами и опытом____________
- •6.34 Операторы координаты и импульса___________________________________________
- •6.35 Операторы момента импульса______________________________________________________
- •6.36 Уравнения для собственных значений операторов и _______________________
- •6.37 Операторы энергии____________________________________________________________
- •6.38 Уравнение Шредингера в операторной форме__________________________________
- •6.2.7. Движение свободной частицы
- •6.38 Уравнение Шредингера для стационарных состояний ______________________
- •6.39 Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками_________________________
- •6.40 Решение уравнения Шредингера для частицы в яме_____________________________
- •6.41 Энергетический спектр частицы_______________________________________________
- •6.42 Собственные функции и плотности вероятности
- •6.2.9. Отражение и прохождение
- •6.43 Прямоугольный бесконечно протяженный порог______________________________
- •6.45 Коэффициенты отражения и прозрачности____________________________________
- •6.2.10. Потенциальный барьер конечной ширины.
- •6.49 Потенциальный барьер конечной ширины___________________________________
- •6.50 Энергия частицы больше высоты потенциального барьера_____________________
- •6.51 Возможное определение коэффициентов отражения и прозрачности
- •6.52 Энергия частицы
- •6.53 Туннельный эффект________________________________________________________________
- •6.54 Коэффициент прозрачности для прямоугольного барьера______________________
- •6.55 Коэффициент прозрачности для барьера произвольной формы ___________
- •6.56 Выводы относительно поведения классической
- •6.2.11. Линейный гармонический осциллятор
- •6.57 Описание гармонического осциллятора в квантовой механике_________________
- •6.58 Следствия уравнения Шредингера для квантового осциллятора________________
- •6.59 Плотности вероятности обнаружения частицы______________________________
- •6.60 Плотности вероятности
6.2.10. Потенциальный барьер конечной ширины.
ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ
6.49 Потенциальный барьер конечной ширины___________________________________
[U0 — высота потенциального барьера; Е — полная энергия частицы; m — масса частицы]
6.50 Энергия частицы больше высоты потенциального барьера_____________________
[k1,3 = иk2 = — волновые числа; λ 1, 3 и λ2 — соответственно длины волн де Бройля в областях 1, 3 и 2]
Общие решения уравнений Шредингера___________________________________________
Вобласти 3 имеется только прошедшая барьер волна, поэтому коэффициент В3 принят равным нулю.
♦ соответствует плоской волне, распространяющейся в положительном направлении оси х (падающей волне), е -ikx — отраженной волне. О волнах может идти речь после умножения на временной множитель, так как Ψ — координатная часть волновой функции.
322
6.51 Возможное определение коэффициентов отражения и прозрачности
Вывод. В случае Е >U0 волна на границе 1 и 2 частично отражается (и частично проходит в область 2, затем она опять на границе 2 и 3 частично отражается () и частично проходит в область3. В области 2 (см. рисунок 6.50) длина волны де Бройля больше, чем в областях 1 и З.
Итак, при E > U0 имеем k1,3 > k2 и λ2 > λ1,3
6.52 Энергия частицы
меньше высоты потенциального барьера (Е < U0)_____________________________
Уравнение Шредингера_________________________________________________________
Общие решения уравнений Шредингера__________________________________________
Вобласти2 решение Ψ2 (х) не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны (показатели экспонент не мнимые, а действительные).
♦ В области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо, поэтому принято В3 = 0. Из условий непрерывности волновой функции и ее первой производной в точках х = 0 и х = можно найти коэффициенты А2 и В2. Можно показать, что для высокого и широкого барьера »1) В2 » А2, а тогда на границе потенциального барьера, где х = 0, опреде ляющим членом волновой функции Ψ2 является член, содержащий В2 .
Вывод. В случае Е < U0, согласно квантовой механике, микрочастица может «пройти» сквозь потенциальный барьер. Это специфическое квантовое явление получило название туннельного эффекта.
6.53 Туннельный эффект________________________________________________________________
Волновые функции в областях 1, 2 и 3_________________________________________________
|
6.52
Выводы. Волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т. е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Следовательно, частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины — наблюдается туннельный эффект.
6.54 Коэффициент прозрачности для прямоугольного барьера______________________
Коэффициент прозрачности (вероятность проникновения
сквозь потенциальный барьер конечной ширины) ___________________________
D быстро убывает с увеличением ширины барьера, а также с ростом его высоты.
[U0 — высота потенциального барьера; Е — энергия частицы; — ширина прямоугольного барьера; т — масса частицы; — постоянная Планка; D0 — постоянный множитель, который, как показывают точные расчеты, не очень отличается от единицы]