- •6. 15 Экспериментальное подтверждение
- •6. 16 Плоская волна де Бройля_________________________________________________________
- •6. 17 Свойства волн де Бройля _____________________________________
- •6.2.2. Соотношение неопределенностей гейзенберга
- •6.21 Статистическая интерпретация волновой функции_________________
- •6.22 Физический смысл ψ-функции________________________________
- •6.23 Принцип суперпозиции состояний для волновых функций_________
- •6.24 Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики___________________
- •6.25 Стационарное уравнение Шредингера________________________________________
- •6.2.5. Операторы в квантовой механике и их свойства
- •6.26 Математический аппарат квантовой механики___________________________________
- •6.27 Свойства операторов_________________________________________________________________
- •6.28 Линейные и эрмитовы операторы_______________________________________________
- •6.29 Свойства собственных функций______________________________________________
- •6.30 Обобщенный ряд Фурье_____________________________________________________
- •6.31 Средние значения физических величин__________________________________________
- •6.32 Возможность одновременного измерения физических величин____________________
- •6.2.6. Операторы важнейших физических величин
- •6.33 Связь между изображением физических величин операторами и опытом____________
- •6.34 Операторы координаты и импульса___________________________________________
- •6.35 Операторы момента импульса______________________________________________________
- •6.36 Уравнения для собственных значений операторов и _______________________
- •6.37 Операторы энергии____________________________________________________________
- •6.38 Уравнение Шредингера в операторной форме__________________________________
- •6.2.7. Движение свободной частицы
- •6.38 Уравнение Шредингера для стационарных состояний ______________________
- •6.39 Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками_________________________
- •6.40 Решение уравнения Шредингера для частицы в яме_____________________________
- •6.41 Энергетический спектр частицы_______________________________________________
- •6.42 Собственные функции и плотности вероятности
- •6.2.9. Отражение и прохождение
- •6.43 Прямоугольный бесконечно протяженный порог______________________________
- •6.45 Коэффициенты отражения и прозрачности____________________________________
- •6.2.10. Потенциальный барьер конечной ширины.
- •6.49 Потенциальный барьер конечной ширины___________________________________
- •6.50 Энергия частицы больше высоты потенциального барьера_____________________
- •6.51 Возможное определение коэффициентов отражения и прозрачности
- •6.52 Энергия частицы
- •6.53 Туннельный эффект________________________________________________________________
- •6.54 Коэффициент прозрачности для прямоугольного барьера______________________
- •6.55 Коэффициент прозрачности для барьера произвольной формы ___________
- •6.56 Выводы относительно поведения классической
- •6.2.11. Линейный гармонический осциллятор
- •6.57 Описание гармонического осциллятора в квантовой механике_________________
- •6.58 Следствия уравнения Шредингера для квантового осциллятора________________
- •6.59 Плотности вероятности обнаружения частицы______________________________
- •6.60 Плотности вероятности
- •6. 14 Длина волны де Бройля___________________________________________________
- •6. 15 Экспериментальное подтверждение
- •6. 16 Плоская волна де Бройля_________________________________________________________
- •6. 17 Свойства волн де Бройля _____________________________________
- •6.2.2. Соотношение неопределенностей гейзенберга
- •6.21 Статистическая интерпретация волновой функции_________________
- •6.22 Физический смысл ψ-функции________________________________
- •6.23 Принцип суперпозиции состояний для волновых функций_________
- •6.24 Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики___________________
- •6.25 Стационарное уравнение Шредингера________________________________________
- •6.2.5. Операторы в квантовой механике и их свойства
- •6.26 Математический аппарат квантовой механики___________________________________
- •6.27 Свойства операторов_________________________________________________________________
- •6.28 Линейные и эрмитовы операторы_______________________________________________
- •6.29 Свойства собственных функций______________________________________________
- •6.30 Обобщенный ряд Фурье_____________________________________________________
- •6.31 Средние значения физических величин__________________________________________
- •6.32 Возможность одновременного измерения физических величин____________________
- •6.2.6. Операторы важнейших физических величин
- •6.33 Связь между изображением физических величин операторами и опытом____________
- •6.34 Операторы координаты и импульса___________________________________________
- •6.35 Операторы момента импульса______________________________________________________
- •6.36 Уравнения для собственных значений операторов и _______________________
- •6.37 Операторы энергии____________________________________________________________
- •6.38 Уравнение Шредингера в операторной форме__________________________________
- •6.2.7. Движение свободной частицы
- •6.38 Уравнение Шредингера для стационарных состояний ______________________
- •6.39 Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками_________________________
- •6.40 Решение уравнения Шредингера для частицы в яме_____________________________
- •6.41 Энергетический спектр частицы_______________________________________________
- •6.42 Собственные функции и плотности вероятности
- •6.2.9. Отражение и прохождение
- •6.43 Прямоугольный бесконечно протяженный порог______________________________
- •6.45 Коэффициенты отражения и прозрачности____________________________________
- •6.2.10. Потенциальный барьер конечной ширины.
- •6.49 Потенциальный барьер конечной ширины___________________________________
- •6.50 Энергия частицы больше высоты потенциального барьера_____________________
- •6.51 Возможное определение коэффициентов отражения и прозрачности
- •6.52 Энергия частицы
- •6.53 Туннельный эффект________________________________________________________________
- •6.54 Коэффициент прозрачности для прямоугольного барьера______________________
- •6.55 Коэффициент прозрачности для барьера произвольной формы ___________
- •6.56 Выводы относительно поведения классической
- •6.2.11. Линейный гармонический осциллятор
- •6.57 Описание гармонического осциллятора в квантовой механике_________________
- •6.58 Следствия уравнения Шредингера для квантового осциллятора________________
- •6.59 Плотности вероятности обнаружения частицы______________________________
- •6.60 Плотности вероятности
6.28 Линейные и эрмитовы операторы_______________________________________________
Линейный оператор_________________________________________________________________
Оператор линейный, если для любых двух функций и любых постоянныхС1 и С2 выполняется записанное условие. В квантовой механике
применяются только линейные операторы (чтобы применение операто- ров не нарушало принципа суперпозиции состояний).
Примеры:
Линейный эрмитов оператор_____________________________________________________
Оператор эрмитов, если выполняется записанное условие; Ψ1 и Ψ2 — произвольные функции
(звездочка означает операцию комплексного сопряжения), а интегрирование производится по всей области изменения независимых переменных. Примеры: ;
6.29 Свойства собственных функций______________________________________________
Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора_____________
Вуравнении — оператор, отвечающий данной физической величине; если оператор воспроизводит функцию Ψ с точностью до множителя L, то Ψ — собственная функция оператора , а множитель L — собственное значение оператора .
♦ Функция Ψ удовлетворяет стандартным условиям (определена по всей области независимых переменных, непрерывна, однозначна и конечна) и условию квадратичной интегрируемости (интеграл сходится).
Взаимно ортогональные собственные функции_____________________________________
Собственные функции илинейного эрмитова оператора, отвечающие различным собственным значениями, взаимно ортогональны, если они отвечают записанному условию.
Ортогональные и нормированные системы функций_______________________________
Предыдущее равенство объединено с условием нормировки вероятностей 6.22.
В квантовой механике используются эрмитовы операторы, так как собственные значения эрмитовых операторов — действительные числа.
6.30 Обобщенный ряд Фурье_____________________________________________________
Разложение функции по собственным функциям
Любая функция Ψ(х), определенная в той же области переменных и подчиненная тому же
классу граничных условий, что и собственные функции Ψп(х), может
быть разложена в ряд (в обобщенный ряд Фурье).
[Ψп(х) — ортогональные собственные функции оператора , отвечающего данной физической величине]
Вероятность результатов измерения______________________________________________
Квадраты модулей коэффициентов разложения в ряд играют роль вероятностей получить при измерениях физической величины одно из чисел
L1, L2, ... , Lп, ... , являющихся собственными значениями оператора . Иными словами, вероятность того, что при измерении физической величины L будет получено числовое значение Ln, равна .
6.31 Средние значения физических величин__________________________________________
Среднее значение физической величины L в состоянии Ψ______________________________
[ — соответствующий оператор; Ψ — нормированная волновая функция, dV— элемент объема в пространстве независимых переменных, а интеграл берется по всей области изменения этих переменных]