Задача 3.2.7

Знайти ймовірність того, що при передачі кодової комбінації двійкового коду довжиною n = 10 по біноміальному каналу з ймовірністю спотворення двійкового символу p = 0,01

–  буде спотворено хоча б один символ;

–  буде спотворено тільки перший, третій та четвертий символи;

–  буде спотворено точно три символи на будь-яких позиціях;

–  буде спотворено три або більше будь-яких символів.

Розв`язання. Ймовірність P (  1,10 ) того, що буде спотворений хоча б один символ можна розрахувати, скориставшись виразом (3.17), однак простіше цю ймовірність знайти таким чином:

P (  1,10 ) = 1 – P ( 0,10 ) = 1 – ( 1 – p ) ¹⁰ = 1 – ( 1 – 0,01 ) ¹⁰ = 0,095618.

Для приблизної оцінки ймовірності P (  1, n ) спотворення кодової комбінації в біноміальному каналі іноді користуються виразом

P (  1, n )    np, (3.23)

який отримують із точного виразу

P (  1, n ) = 1 – ( 1 – p ) ⁿ  = 1 – 1 + np – C p ² + C p ³  –…– (–1) ⁿ C pⁿ,

залишаючи в розкладанні ( 1 – p ) ⁿ за формулою бінома Ньютона тільки 1– np. Для даної задачі застосування (3.23) дає

P (  1,10 )  10  0,01 = 0,1 ,

що досить близько до точного значення.

Однак користуватись виразом (3.23) слід обережно, в чому можна пересвідчитись на такому прикладі. Нехай довжина кодової комбінації n = 120, а ймовірність спотворення двійкового символу p = = 0,01.Тоді

P (  1,120 ) = 1 – ( 1 – 0,01 ) ¹²⁰ = 0,70062 .

Застосування ж формули (3.23) дає

P (  1,10 )  1,2 ,

що значно відрізняється від точного значення, крім того результат є некоректним, оскільки значення ймовірності не може перевищувати одиницю. Вираз (3.23) можна використовувати тільки при np << 1.

Ймовірність P_1,3,4 ( 10 ) спотворення тільки першого, третього та четвертого символів буде дорівнювати добутку ймовірностей безпомилкової передачі чи спотворення відповідно для символів, розташованих на усіх позиціях кодової комбінації:

P_1,3,4 ( 10 ) =  p ³  ( 1 – p ) ^{( 10 – 3 )} = 0,01³  0,99 ⁷ = 9,32065 10 ^– 7 .

Ймовірність P ( 3,10 ) спотворення точно трьох символів, розташованих на будь-яких позиціях, розраховується за формулою (3.16):

P ( 3,10 ) =  C p ³  ( 1 – p ) ⁷ =  120  0,01³  0,99 ⁷ = 1,11847 10 ^– 4 .

Ймовірність P (  3,10 ) спотворення трьох або більшої кількості символів в кодовій комбінації знайдемо таким чином:

Як бачимо, ця ймовірність незначно відрізняється від P ( 3,10 ).

Задача 3.2.8

Порівняти ймовірності спотворення точно і символів при передачі кодової комбінації двійкового коду довжиною n = 15 по біноміальному каналу із ймовірністю спотворення двійкового символу р = = 0,001 та по каналу з групуванням помилок, який описується моделлю Пуртова із таким же, які і для біноміального каналу, значенням середньої ймовірності помилки при передачі двійкового символу р = 0,001 та із коефіцієнтом групування  = 0,5.

Розв’язання. Порівняння будемо проводити для кількості і помилок в кодовій комбінації від 0 до 4, оскільки модель Пуртова можна застосовувати тільки для i  n / 3.

Значення ймовірностей Р ( і,15 ) для біноміального каналу знайдемо за виразом (3.16).

Для каналу із групуванням помилок ймовірності Р_Г ( і,15 ) спотворення точно і символів в кодовій комбінації отримаємо таким чином

Р_Г ( і,15 ) = Р (  і,15 ) – Р (  і + 1,15 ) ; i = 1,2,3,4

та Р_Г ( 0,15 ) = 1 – Р (  1,15 ) .

З урахуванням (3.18) маємо при і > 0

Для р = 0,001 та  = 0,5

Результати розрахунків Р ( і,15 ) та Р_Г ( і,15 ) для наведено у таблиці 3.2.

Таблиця 3.2

i	0	1	2	3	4
Р ( і,15 )	0,985105	1,47910 – 2	1,03610 – 4	4,49610 – 7	1,3510 – 9
РГ ( і,15 )	0,996127	1,13410 – 3	5,02510 – 4	2,99610 – 4	2,04410 – 4

Аналіз даних таблиці показує, що ймовірність Р ( і,15 ) виникнення точно і помилок в кодовій комбінації при передачі її через біноміальний канал суттєво зменшується при збільшенні і. Для каналу із групуванням помилок це зменшення є набагато повільнішим.