Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MA_I

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

476.68 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

межу, називається обмеженою знизу (зверху). Обмежена знизу i зверху множина називається обмеженою.

Найбiльша (найменша) з усiх нижнiх (верхнiх) меж множини X називається точною нижньою (верхньою) межею множини X i позначається inf X (sup X).

Теорема. Число 2 R є точною нижньою (верхньою) межею множини X R, тодi i тiльки тодi, коли виконуються такi умови:

1)x (x ) для кожного x 2 X;

2)для довiльного > ( < ) iснує таке x 2 X, що x < (x > ).

Якщо множина X R не є обмеженою знизу (зверху), то вважають, що inf X = 1 (sup X = +1).

1.Довести, що множина X R обмежена тодi i тiльки тодi, коли iснує C > 0 таке, що jxj C для кожного x 2 X.

2.Встановити, чи є нижченаведенi множини обмеженими зверху, обмеженими знизу, обмеженими:

а) fx 2 R : x2 < 5g;

в) fx 2 R : x3 + x < 1g;

ґ) fx 2 R : sin x xg;

е) S fx 2 R : x2 + x = ng;

n=1

б) fx 2 R : x2 x + 2g; г) fx 2 R : x5 x 1g;

д) fx 2 R : j cos xj pxg;

є) S fx 2 R : x2 + 1 = nxg.

n=1

3.	Нехай A B R. Довести, що:
	a) inf A inf B;	б) sup A sup B.
4.	Нехай A R i A = f a : a 2 Ag. Довести, що:
	а) inf( A) = sup A;	б) sup( A) = inf A.

5.	Нехай A; B R i C = fa + b : a 2 A; b 2 Bg. Довести, що:
	а) inf C = inf A + inf B;			б) sup C = sup A + sup B.
6.	Нехай	A; B	– множини	невiд’ємних дiйсних чисел,
	C =	fab : a	2 A; b 2 Bg. Довести, що:
	а) inf C = inf A inf B;			б) sup C = sup A sup B.

7.Нехай A = fai : i 2 Ig та B = fbi : i 2 Ig – множини дiйсних чисел, C = fai + bi : i 2 Ig. Довести, що:

а) inf C inf A + inf B;

б) sup C sup A + sup B.

Знайти sup A та inf A, де A = fxn : n 2 Ng, якщо:

8. xn = 1 n1 ;

9. xn = 1 + n2 ;

10.

xn = ( 1)n(1 + n3 );

11.

xn = ( 1)n

;

n+2

( 1)n+1

( 1)n

1+( 1)n

12.

xn = ( 1)

;

13.

xn =

;

14.

xn = 1 +

cos(

);

15.

xn = 2 n+1n sin(

);

n+1

16.

xn =

nn+11

cos(

2 n

);

17.

xn = n+2n sin(

2 n

);

18.

n(n+1)

19.

(n 1)n

n+3

;

xn = ( 1)

(1 + n );

xn = ( 1)

20.

xn = ( 1)np

;

21.

xn = n(2 + ( 1)n);

22.

xn = n( 1)n ;

23.

xn = 1 + n sin(

);

24.

xn = sin n;

25.

xn = tg n.

26.Нехай непорожня множина A R така, що a < sup A для кожного a 2 A. Довести, що A мiстить множину значень деякої строго зростаючої послiдовностi.

27.Довести, що довiльна нескiнченна обмежена множина

A R мiстить множину значень деякої строго монотонної послiдовностi.

1.5. Означення границi послiдовностi

Число a називається границею послiдовностi (xn)1n=1

(позначається a = lim xn), якщо для довiльного " > 0 iснує

n!1

такий номер N, що для кожного n N виконується нерiвнiсть


x	n	a	j	< "	. Кажуть також, що послiдовнiсть		(x )1	збiгається
j	n		j		. Кажуть також, що послiдовнiсть		n n=1	збiгається
до a i пишуть xn ! a при n ! 1.						= +1 чи nlim!1 xn =
	Вважають, що nlim!1 xn = 1 (nlim!1 xn					= +1 чи nlim!1 xn =

1), якщо для довiльного E > 0 iснує такий номер N, що для кожного n N виконується нерiвнiсть jxnj > E (xn > E чи xn < E).

Послiдовностi, якi мають скiнченнi границi, називаються збiжними. А послiдовностi, якi не мають скiнченних границь, називаються розбiжними.

Якщо lim xn = 0, то послiдовнiсть (xn)1n=1 називається

n!1

нескiнченно малою. Якщо ж lim xn = 1, то послiдовнiсть

n!1

(xn)1n=1 називається нескiнченно великою.

1.Використовуючи означення границi послiдовностi довести такi рiвностi:

а)

lim

= 1;

б)

lim

n+1

= 1

;

в)

lim

2n2

2+1

= 2;

n!1 n+1

n!1

2n 1

n!1 n +2n

г)

lim

= 3;

ґ)

lim

n+1

= 5;

д)

lim

= 1.

3n2

n 2

n!1 n +2

n!1

2.З допомогою "" N"-мiркувань довести, що послiдовнiсть (xn)1n=1 є нескiнченно малою, якщо:

( 1)n

а) xn = n ;

б) xn =

;

в) xn =

;

г) xn =

2n2 1

;

ґ) xn =

;

д) xn = (2 )n;

n +n

n+1

е) xn = ( 1)

, де jaj < 1;

є) xn =

lg(n+1)

3.Довести, що послiдовнiсть (xn)1n=1, де xn 6= 0, є нескiнченно великою тодi i тiльки тодi, коли послiдовнiсть

( 1 )1 є нескiнченно малою.

xn n=1

4. З допомогою "E N"-мiркувань довести такi рiвностi:

а)			n	n) = 1;	p		= +1;
						n
	nlim (( 1)				б) nlim 2
	!1	3			!1
в)			= 1;		г) nlim!1(45 )n = +1;
	nlim!1	n
		1 2n

ґ) lim lg(lg(n + 1)) = +1.

n!1

5. Послiдовнiсть (xn)1n=1 збiгається до a. Довести, що:

а)

lim

б)

lim p3

= p3

;

n!1 j

n!1

lim

= p

в) n!1

, якщо

для кожного

2 N.

6.Використовуючи означення границi послiдовностi, довести розбiжнiсть послiдовностi (xn)1n=1, якщо:

а) xn = ( 1)n;			б) xn = ( 1)n + n1 ;
в) xn = sin	n	;	г) xn	= cos	n	.

2				3
7. Довести, що послiдовнiсть			(xn)1	, де xn = n( 1)n , є
			n=1

розбiжною послiдовнiстю, яка не є нескiнченно великою, хоча множина fxn : n 2 Ng необмежена.

8. Нехай (xn)1n=1 – збiжна послiдовнiсть, причому lim xn > 0.

n!1

Довести, що множина fn 2 N : xn 0g скiнченна.

9. Нехай (xn)1n=1 – збiжна послiдовнiсть, причому множина

fn 2 N : xn 0g – нескiнченна. Довести, що lim xn 0.

n!1

1.6. Правила знаходження границь

Теорема 1 (арифметичнi дiї над збiжними послiдовностями). Нехай (xn)1n=1 i (yn)1n=1 – збiжнi

послiдовностi. Тодi:
1)	lim (xn+yn) = lim xn+ lim yn;
	n!1		n!1		n!1
2)	nlim (xnyn) = nlim xn				nlim yn;
	!1	!1			!1
3)	xn		lim xn
			n!1
	nlim!1 yn	=		, якщо yn 6= 0 для кожного n 2 N i
			nlim!1 yn

lim yn 6= 0.

n!1

Теорема 2 (граничний перехiд пiд знаком нерiвностi).

Нехай (xn)1n=1 i (yn)1n=1 – збiжнi послiдовностi, причому iснує номер n0 2 N, такий, що xn yn для кожного n n0. Тодi

lim xn lim yn.

n!1 n!1

Послiдовнiсть (xn)1n=1 називається обмеженою, якщо множина fxn : n 2 Ng обмежена.

Теорема 3. Кожна збiжна послiдовнiсть є обмеженою.

Теорема 4. Добуток нескiнченно малої послiдовностi на обмежену є нескiнченно малою послiдовнiстю.

Обчислити такi границi:

lim

3n2+2n2 5

;

n!1

1 6n

lim

7n3 5n2 4n2+1

;

n!1

(n+3)(3 2n )

5n+3

;

lim

n!1

9999n

lim

0;001n2 5n+3 ;

n!1

1000+n

lim

n2+n

;

2n+p

n2+3n

n!1

11.

;

lim

10n

+3n

99 n

n!1

13.

lim

4nn 3nn

;

n!1

4 +3

15.

lim

( 2)n+5n

;

n+1

n+2

n!1

17.

lim

(2n+1)(3n 2)

;

n+1

n!1

19.

lim

(6n+1+4n)(2n 10)

;

)(2

+10)

n!1

21. lim 1+2+22+:::+2n ; n!1 1+3+32+:::+3n

;

lim

n!1

18+n 4n +5n

+3n

lim

(n+1)2(10 5n2)

;

n!1

13n

+100

lim

15 45n+62n2 4n3

;

n!1

n +8n +180

lim

5+4n+n23

;

n!1

5+4n+n

10.

lim

4n2+8+n

;

4n2+8

n!1

12.

lim

27n +1

;

p64n3+n+n

14.

n!1

5n+2n

;

lim

n n

n!1

( 4)

16.

lim

( 3)n+7n+1

;

n+2

n+1

n!1

18.

n+1

;

lim

n12 n+1 11

)

n!1

)(1 4

20.

lim

(8n+1 7n)(18n 17n+1)

;

(12

n+1

)

1+ 1 + 1 +:::+ 1

22. lim 2 4 2n ;

n!1 1+ 13 + 19 +:::+ 31n

23. lim a+a2+:::+an , якщо jaj; jbj < 1;

n!1 b+b2+:::+bn

(4+42+:::+4n)(9n 100) 24. lim (6+62+:::+6n)2 ;

n!1

25.

nlim (

n + 1

);

26.

nlim ( n + 2

n 1);

!1 p

27.

nlim (

+ 3n

n);

28.

nlim (

n + 2n n);

!1 p3

29.

+ 3n

1);

30.

nlim (

n + n

pn);

!1 p3

31.

+ n

1);

32.

+ n);

nlim (

n + n

cos(n2 nn)

33.

lim sin n ;

34.

lim

;

n!1

(1;02)

2n+cos(n2+1)

n2+n

35.

lim

;

36.

lim

;

n!1

n+2

n!1 n sin(n

+n)

n pn3+1

pn2 cos(n!)

37.

nlim

;

38.

nlim (( 1)

);

n+6

(n+2)2

39.

lim

arctgp

;

40.

lim ((

n(n+1)

n4+3n

);

n!1

n+2

n!1

n +18

41.

pn2+5 arcsin

;

42.

pn4+7n3+5 arccos

n2 1

);

n+1

lim

n +1

pn4+4n2+3

pn6

+8n3+11

n!1

43.

n!1

2 + 4 +

+ 2 ) sin

1 + 3 +

+ (2 1)

lim

: : :

44. Нехай lim xn = 1, причому xn 6= 1 для кожного n 2 N.

n!1

Знайти такi границi:

pxn+1 p2

а) lim

xn 1

;

б) lim

; в) lim

pxn 1

n!1 xn 3xn+2

n!1

xn 1

n!1 xn+5xn 6

1.7. Ознаки iснування границь послiдовностей

Теорема 1 (про затиснену послiдовнiсть). Нехай

(xn)1n=1, (yn)1n=1 i (zn)1n=1 – такi послiдовностi, що yn xn zn для кожного номера n n0, (yn)1n=1, (zn)1n=1 – збiжнi, причому

lim yn = lim zn = a. Тодi послiдовнiсть (xn)1n=1 також збiжна

n!1 n!1

i lim xn = a.

n!1

Теорема 2 (ознака збiжностi монотонної послiдовностi). Монотонна послiдовнiсть є збiжною тодi i тiльки тодi, коли вона є обмеженою.

Послiдовнiсть називається фундаментальною, якщо для довiльного " > 0 iснує такий номер N 2 N, що для всiх m; n N виконується нерiвнiсть jxm xnj < ".

Теорема 3 (критерiй Кошi збiжностi числової послiдовностi). Послiдовнiсть (xn)1n=1 є збiжною тодi i тiльки тодi, коли вона є фундаментальною.

Послiдовнiсть		1	n	1	є збiжною, а її границя
	(1 + n )			n=1
називається числом	Ейлера i			позначається через e, тобто
1		n
n!1 1 + n
lim		= e = 2; 718281828459045 : : : :

1.Використовуючи теорему про збiжнiсть монотонної послiдовностi, довести такi рiвностi:

а) lim		n	= 0; б) lim	nn2	= 0;	в) lim	2n	= 0;
		n					n!
n!1	2		n!1	3		n!1

г) nlim nank			= 0, де k 2 N i a > 1;			ґ) nlim ann!		= 0;
!1						!1
д) lim		n!	= 0.
		n
n!1 n

2. Використовуючи теорему про затиснену послiдовнiсть,

довести такi рiвностi:

а)

lim

= 1, де a > 0;

б)

lim

= 1;

в)

n!1

log

= 0, де a > 1;

г)

n!1

log n

= 0, де a > 1.

lim

n!1

Використовуючи теорему про затиснену послiдовнiсть, обчислити такi границi:

lim

p2n;

p3n + 5;

n!1

nlim p5n2 + 7;

nlim p4n2 n + 1;

lim

p2n + 3n;

p5n+1 + 4n;

n!1

10.

n!1

nlim

p8n 7n;

p12n 11n;

11.

n!1

;

12.

n!1 p7

;

5 n

lim

2010n2010 + (1; 01)n

p100n3 + 5n

13.

lim (n ) ;

14.

lim (

) ;

15.

n!1

;

16. lim

n!1

, де a > 0;

lim

pn!

(1+na)

n n +2

p(1+a)(1+2a)

:::

n!1

n +n

17.

lim

+ : : : +

;

n2+1

18.

n!1 n2+1 + n2+2 +

+ n2

+2n ;

lim

: : :

19.	n!1	pn3+12		+ pn3+22 +			+ pn3+n2
	lim		1		1	: : :		1
			3		3			3

;

n!1

20.

;

lim

n4+1

n4+2

+ : : : +

n4+n2

n!1

2n 1

21.

lim

+ : : : +

;

2+1

n2+2

n2+n

n!1

22.

lim

n4+1

4+2

+ : : : +

n4+n

;

23.

n!1

pn9+1

+ pn9+2

+ pn9+2n ;

lim

: : :

(2n)

	lim		1		1	: : :		1
24.		lg(10n+1)		+ lg(10n+2) +			+ lg(10n+3n)
	n!1

;

25.	n!1	2n+1	+ 2n+2	+ 2n+3 +		+ 2n+n
	lim	1	2	22	: : :		2n 1
	lim				: : :

Використовуючи теорему про збiжнiсть монотонної

послiдовностi, обчислити lim xn, якщо:

n!1

26. x1 = 12 , xn+1 = xn2+1 при n 2 N;

27.	x1 = 1, xn+1		=	2xn+3		при n 2 N;
				8
28.	x1	= 2, xn+1	=	xn		при n 2 N;
				2+xn
29.		= 3, xn+1		1		1			) при n 2 N;
	x1		=	2 (xn		+
								xn
30.	x1	= 2, xn+1	=	2+x2		при n 2 N;
				2xn
				n
						2
31.	x1	= 41 , xn+1 = 41 +			xn		при n 2 N;
					2

32.

xn =

2 +

2 + : : : +

}

n коренiв

33.

x2n =

13 +

5 +

13 + : : : +

}

2n коренiв

x2n 1 =	13 + 5 +		13 + : : : +		13		при n 2 N;
\|				{z		}
\|		2n		{z		}
		2n	1 коренiв
s
s	r

34. xn = a +	a + a + : : : +		a, де a > 0.
\|		{z	}
	n коренiв

Використовуючи теорему про збiжнiсть монотонної послiдовностi, довести збiжнiсть послiдовностi (xn)1n=1, якщо:

35.xn = 2+11 + 221+1 + : : : + 2n1+1 ;

36.xn = 112 + 212 + : : : + n12 ;

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.2019410.9 Кб5matematika.docx
#
21.12.201891.9 Кб6matematuka.docx
#
18.12.2018134.66 Кб6materiali_do_lektsiyi_Fenomen_svidomosti.doc
#
23.02.2016773.12 Кб66Materialna_tochka.doc
#
28.07.201936.24 Кб2maugham 7-9.docx
#
23.02.2016476.68 Кб20MA_I.pdf
#
23.02.2016564.91 Кб12MA_Metod3.pdf
#
13.08.2019157.7 Кб3MD_Doslidzh.doc
#
13.08.2019144.9 Кб2MD_Kompl_dosl.doc
#
13.08.2019163.33 Кб2MD_Komunik_1.doc
#
13.08.2019259.07 Кб1MD_Komunik_2.doc