19.13. Механічний та магнітний момент атома

Результуючий момент імпульсу для багатоелектронної системи залежить від того, яка взаємодія моментів сильніша: спін-спінова й орбітально-орбітальна – LS - зв’язок, чи спін-орбітальна  сильний jj-зв’язок.

У першому випадку окремо об’єднуються спінові моменти електронів у М_S, а орбітальні моменти у M_L. Потім моменти M_S і M_L об’єднуються в сумарний момент атома M_J. Такий зв’язок зустрічається найчастіше і називається LS-зв’язком. Наведемо результати розрахунків для цього зв’язку. Величина орбітального моменту атома

,

де L  орбітальне квантове число. Для двох електронів в атомі

L=l₁+l₂, l₁+l₂-1, l₁+l₂-2, ... , | l₁-l₂|,

де l₁, l₂  орбітальні квантові числа електронів. Результуючий момент у цьому випадку може мати 2l_mіn+1 значень, де l_mіn  менше з чисел l₁ і l₂.

Якщо число електронів більше 2, то спочатку знаходиться найбільше значення L, яке дорівнює сумі всіх орбітальних квантових чисел електронів. Мінімальне значення L знаходяться шляхом додавання якихось двох моментів. Потім одержані результуючі значення складаються з третім моментом і т.д. Наступні значення L знаходяться послідовним відніманням від максимального числа одиниці аж до одержаного мінімального значення L. Проекція орбітального моменту на вісь Оz дорівнює

М_Lz=m_Lћ,

де m_L=0, 1, ... , L.

Результуючий спіновий момент М_S  може бути цілим або напівцілим числом у залежності від числа електронів в атомові. При парному числі електронів S приймає цілі значення від , коли всі моменти попарно компенсуються. При непарному числі електронів S напівціле. При непарному числі електронів S  приймає всі напівцілі значення від , коли лише один момент одного електрона залишається некомпенсованим.

Моменти створюють результуючий момент

,

де J= L+S, L+S-1, L+S-2, ... , |L-S|. При парному числі електронів J ціле число, при непарному  J напівціле число. Проекція

,

де =0,1,2,..., J. Відповідні значення результуючого магнітного моменту атома записуються так

,

а

,

де

є фактор Ланде для атома.

Стан атома визначаються значеннями чисел L, S, J. Символіка станів записується у вигляді , де під літерою L розуміють одну з літер S, P, D, F і т.п. в залежності від значення результуючого квантового числа L. Так при L=0, стан позначається літерою S, при L=1 буде стан Р, при L=2 буде стан D, при L=3 буде стан F і т.д. Наприклад, символозначає стан із результуючим спіновим квантовим числом S=1/2. Значення S знайдено з рівняння 2S+1=2. Орбітальне квантове число L=1 і результуючим квантовим числом J=3/2. Виродження енергетичного стану дорівнює 2S+1 при S>L і 2L+1 при S<L.

19.14. Принцип Паулі

При розгляді багатоелектронних систем виявляються їхні особливості, яких не мають багаточастинні системи в класичній теорії. Один із фундаментальних принципів багатоелектронної системи є принцип нерозрізнюваності тотожних частинок  частинок, що мають однакові фізичні властивості (маса, заряд, спін і т.п.). Ці частинки повністю втрачають свою індивідуальність. Якщо позначити сукупність квантових характеристик для кожної з частинки, наприклад, для системи з двох частинок через х₁ та х₂, то їх -функція має вигляд (х₁,х₂). У зв’язку з нерозрізнюваністю частинок можна записати |(х₁,х₂)|²=|(х₂,х₁)|², при цьому можливі два випадки

•  -функція, яка симетрична відносно перестановки частинок місцями;

•  -функція, яка антисиметрична відносно перестановки частинок місцями.

Як показують розрахунки, до першого випадку відносяться частинки з цілим спіном S=0,1,2... і такі частинки називаються бозонами. Їх статистичні властивості дослідили Ш.Бозе та А.Ейнштейн. Згідно статистики, названої їх іменами (статистика Бозе-Ейнштейна), в межах системи таких частинок у кожному з можливих станів може знаходитися необмежене число частинок.

До другого випадку відносяться частинки з напівцілим спіном і вони називаються ферміонами. Їх статистику досліджували Е.Фермі та П.Дірак. Згідно статистики, названої їх іменами (статистика Фермі-Дірака), в межах системи таких частинок у кожному з можливих станів може знаходитися лише одна частинка.

В багатоелектронних атомах взаємодія електронів із ядром носить складний характер і розрахунок їх станів в атомі дещо ускладнюється. Проте наближено їх стани можна характеризувати чотирма квантовими числами, так як це зроблено для атома водню. На підставі дослідних даних, ще до створення квантової теорії, в 1925 році В.Паулі сформулював закон, названий принципом Паулі. Згідно цього закону в будь-якому атомі не може бути два електрони, що знаходяться в одному стаціонарному стані, який визначається набором чотирьох квантових чисел: головного  n, орбітального  l, магнітного  m, спінового  m_s. Класифікація станів багатоелектронних атомів відповідає класифікації станів атома водню, а електрони у стаціонарному стані атома наповнюють стани відповідно до значень квантових чисел.