умк_Дегтярев_Геодезия_ч.1_2010г

В качестве ориентирной линии а может быть выбрана любая физическая или теоретическая линия. Таким образом, название системы ориентирования зависит от исходной ориентирной линии:

– если в качестве ориентирной линии выбрана линия на плоскости, параллельная вертикальной координатной оси, то ориентирный угол, откладываемый от такого исходного направления по часовой стрелке от 0 до направления на объект, но не более чем в 360°, называется дирекционным углом α;

–если в качестве ориентирной линии выбрана линия на плоскости, ориентированная на север, то ориентирный угол от такой линии называет-

ся азимутом А;

–если в качестве ориентирной линии выбрана вертикальная координатная линия на плоскости, а ориентирный угол откладывается от верха или низа этого исходного направления вправо или влево в пределах от 0 до

90° с указанием четверти, то такой угол называют румбом. Между румба-

III четверти – ЮЗ: r.

Например, румб во второй четверти может быть записан как ЮВ: 37° 51′. В международных обозначениях по сторонам света N, E, S, W – север, восток, юг, запад соответственно, предыдущий пример записывается как S37° 51′E.

Очевидно, что, зная румб, также несложно из рис. 3.2 получить дирекционный угол;

– если в качестве исходной линии взята произвольная линия с любой ориентировкой, то получаем локальную (местную) систему ориентирования с локальным ориентирным углом.

Пересчет ориентировки из одной системы в другую, производится путем исправления угла ориентирования на величину разности в исходных ориентирных направлениях двух систем.

142

Следует заметить, что большинство ориентирных углов изменяются от 0 до 360° по часовой стрелке и не бывают больше 360° и отрицательными.

В качестве исходного ориентирного направления может быть взято и какое-либо физическое направление, например, на северный магнитный полюс, направление стрелки гироскопа и т.д. В первом случае, ориентирные углы, откладываемые от направления на северный магнитный полюс,

получили название магнитных азимутов.

Очень часто в геодезической практике необходимо получить ориентировку нескольких последовательно соединенных линий. Решение такой задачи возможно, если задан ориентирный угол одной из сторон (например, начальной) и все стороны соединены между собой измеренными горизонтальными углами βi (углами поворота) (рис. 3.3). Для получения рабочих формул используем правило, по которому угол, к которому стоишь лицом, является разностью между правым и левым ориентирным направлением (отсчетами). Тогда из рис. 3.3 для движения слева – направо и левого по ходу угла поворота β2 имеем:

β2 = α2−3 −α2−1.

Рис. 3.3. Ориентирование последовательности линий

Заметим, что первый индекс в идентификации ориентирного угла, это всегда точка стояния, второй – точка наведения. Не сложно показать, что ориентирный угол α1-2 отличается от угла α2-1, который называется обратным к α1-2, ровно на 180° (см. рис. 3.4). Учитывать, что отрицательных и больших 360° ориентирных углов не бывает, то есть следует результат исправить на величину ± 360°.

143

Дистанцирование на плоскости. Пусть в качестве координатных элементов этой системы позиционирования выбран центр в виде точки О и отрезок е, принятый за масштаб. Масштаб в этом случае удобнее откладывать в виде концентрических окружностей с центром О и расстоянием между ними е (рис. 3.5). Тогда имеем недоопределенную систему позиционирования с одним элементом d (расстоянием до определяемой точки) и 1 степенью геометрической свободы. Такого рода системы называют сис-

темами дистанцирования.

Чтобы дистанцировать точку Р в определенной системе соединим ее прямой с центром системы О и замерим полученное расстояние d1 = |OР| с

Основной элемент дистанцирования – измеренное горизонтальное расстояние, изучается подробно в теме «Линейные измерения».

3.3. Системы координирования на плоскости

Основные вопросы: построение основных систем координирования; связь между основными системами координирования; другие системы координирования.

Построение основных систем координирования. Рассмотрим за-

дачу позиционирования на поверхности, размерность которой N = 2 и, следовательно, для введения однозначной теоретической системы координат требуется n = 2 параметра (координатных элемента). Выберем в качестве исходной поверхности плоскость А и в любом месте центр О. В качестве координатного элемента возьмем прямую линию (графический элемент

145

размерности 1), на которой зададим масштаб, в виде единичного отрезка e (рис. 3.6, а). Таким образом, мы получили простейшую, однозначную, плоскую, линейную, однородную, со стационарным центром систему координат (систему опор, репер).

Определим положение (позиционируем) во введенной системе координат объект в виде точки С. Для этого надо выбрать из возможных n = 2 некоторое число параметров (координат). По количеству это может быть 1 или 2 элемента, по составу – углы, линии или смешанный набор. Если выбраны все возможные элементы, то система однозначная (или совместная), а если 1 из 2, то недоопределенная с t = 1 степенями геометрической свободы (1-свободная).

Пусть в качестве закона связи между системой координат и определяемой точкой выбрано простое соединение ее с центром системы О. Такая связь образует два элемента: расстояние до точки d и ориентирный угол α. Если принять в качестве элементов позиционирования длину d и угол α, получим совместную (однозначную) систему позиционирования, называе-

мою полярной системой координат.

Если в качестве закона связи между точкой и системой координат взять ортогональный закон проектирования точки на координатную линию ОХ, то реализовав проектирование (см. рис 3.6, б), получим длину перпендикуляра – отрезок у и длину х, в виде отсекаемого перпендикуляром отрезка на линии ОХ. Эти два линейных элемента и будут координатами точки С во введенной системе, получивших название прямоугольной декартовой системы координат. Система весьма древняя, но изначально использовалась в виде пересечения под прямым углом двух прямых линий X и Y.

Закон проецирования может быть задан под любым углом ϕ. В этом случае система носит название косоугольной декартовой системы коорди-

нат (рис. 3.7).

146

Системы координат на плоскости, следуя подходу известного французского геометра Эли Картана, можно задавать в виде 3 точек, решая сразу задачу фиксирования, ориентирования и масштабирования. Например, для косоугольной декартовой системы, задаем 3 точки A, B и C так, чтобы В была центром системы, отрезок В-А задавал масштаб e1 по одной оси и исходное направление, а отрезок В-С задавал масштаб e2 по другой оси и был под нужным углом ϕ относительно отрезка В-А (рис. 3.8).

В дальнейшем будем подразумевать, что масштабы по всем осям одинаковы, если не было дополнительных оговорок.

Очевидно, что между всеми системами координат на плоскости существует связь.

Связь между основными системами координирования. Выделим на плоскости самые распространенные системы координирования:

–прямоугольная декартова система, представляющая собой два перпендикулярных отрезка (x, y), однозначно позиционирующих точку на плоскости (см. рис. 3.6, б);

–полярная система (α, d), состоящая из ориентирного угла α и полярного расстояния d до однозначно позиционируемой точки (см. рис. 3.6, б).

Связь между этими системами на плоскости называют главными геодезическими задачами. При этом выделяют:

1. Прямую геодезическую задачу, или переход от полярных коор-

динат к прямоугольным декартовым. Дано: декартовы координаты точки 1

(x1, y1) и полярный угол и расстояние с этой точки на точку 2 (α1-2, d1-2). Эти величины могут считаться как результатами измерений, так и полярными координатами точки 2. По данным требуется найти декартовы координаты точки 2 (x2, y2). Из рис. 3.9 видно, что искомые координаты можно представить как:

147

Величины x1-2 и y1-2 называют разностями соответствующих координат или приращениями координат. При этом:

x1-2 = x2 – x1, y1-2 = y2 – y1.

Из прямоугольного треугольника 1-2-Р приращения координат полу-

Таким образом, решение прямой геодезической задачи, или переход от полярных к прямоугольным координатам сводится к нахождению приращений координат по (3.4) и самих декартовых координат по (3.3).

2. Обратную геодезическую задачу, или переход от декартовых ко-

ординат к полярным. Здесь даны координаты точки 1 и точки 2 (x1, y1), (x2, y2), а требуется найти полярные координаты (α1-2, d1-2). Из прямоугольного треугольника 1-2-P сторона d1-2 может быть найдена по теореме Пифагора через стороны 1-P и 1-P, которые в свою очередь являются приращениями соответствующих координат (рис. 3.9):

Полярный угол α1-2 получают из выражения:

Следует не забывать, что при вычислении приращений координат, всегда от координаты конечной точки вычитают координаты начальной. Обычно изначально получают не конечный ориентирный угол α, а проме-

148

Используя для нее формулу разности арктангенсов двух величин, получим другой вид решения задачи:

Иногда в геодезии выделяют третью главную геодезическую задачу,

которая звучит так: точкой А и точкой B с известными координатами задана линия а. Вне линии задана координатами точка Р. Необходимо найти величину перпендикуляра |СP| = c, опущенного с точки P на линию a и ве-

координатами, называемые полюсами и которые образуют базис b. Требуется закоординировать точку Р в системе базиса b, то есть определить

150