умк_Дегтярев_Геодезия_ч.1_2010г

рот локальной системы для перехода в глобальную систему на угол ϕ по часовой стрелке.

Если поменять местами локальную и глобальную системы (см. рис. 4.1, б), то для получения глобальных координат через локальные, эту систему нужно повернуть на угол ϕ против часовой стрелки. Проделав подобные вычисления, получим аналог формул (4.5):

x = x′ cos(ϕ) + y′ sin(ϕ);

(4.6)

y = x′ sin(ϕ) + y′ cos(ϕ).

Таким образом, достаточно общую трансформацию одной системы координат в другую можно провести последовательным использованием трансляции (4.1) и ротации (4.5) или (4.6). При этом не важно, какую систему в какую мы трансформируем.

Прямая и обратная задача трансформации. Кроме задач трансля-

ции и ротации при процессе трансформации выделяют прямую и обратную задачи. При прямой задаче, известны координаты точек в локальной системе координат и элементы трансформирования в виде величин сдвигов по осям x, y и угла разворота ϕ. Требуется пересчитать все локальные координаты в глобальные.

В обратной задаче, по набору точек, имеющих координаты в одной и другой системе (базовые точки) требуется получить элементы трансформации x, y и ϕ. Очевидно, что количество точек, умноженное на размерность плоскости должно быть не менее количества определяемых параметров. Для определенных выше трех параметров, это 2 точки; для определения только угла разворота – 1 точка. Исходя из этого, для определения 3 параметров можно записать систему уравнений для общей трансформации 2 точек:

систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными, решение которой и будут искомые элементы трансформации. Несложно заметить, что (см. рис. 4.1, а и б) трансформация сдвига и трансформация вращения независимы друг от друга.

191

Из этого и (4.7) следует, что при отсутствии вращения:

где с1 – разность между координатой Х точки, имеющейся в глобальной и локальной системе;

с2 – разность между координатой Y точки, имеющейся в глобальной и локальной системе.

Таким образом, трансляцию сдвига (и соответственно 2 уравнения для его определения) можно изъять из системы (4.7). В результате будем иметь упрощенную систему

толькодляопределенияэлементоввращения. Такаясистемарешаетсяпросто:

Последовательность простейшей трансформации. Достаточно часто используются следующая схема. Относительно стороны хода, с длиной S, которую принимают за локальный базис, засечкой определены локальные координаты какой либо точки А. При этом, левой точке базиса дают координаты (0, 0), а правой (0, S). После определения координат хода (и точек локального базиса в том числе) в глобальной системе координат, требуется пересчитать локальные координаты точки А в глобальные. В этом случае первым делом получают угол разворота локальной системы относительно глобальной, что можно сделать по (4.10). Но проще это выполнить, исходя из того, что дирекционные углы горизонтальной оси локального базиса известны в глобальной и локальной системах координат (рис. 4.2). В случае глобальной системы это αA-B, а в локальной системе α = 90°. Тогда угол разворота есть их разность:

Теперь, используя формулы (5) или (6) можно выполнить трансформацию вращения, а по (1), трансформацию сдвига, пересчитав таким образом локальные координаты точки Р(x′, y′) в глобальные координаты Р(x, y).

192

4.2. Определение высот точек ходами и сетями

Основные вопросы: общие положения определения высот точек; некоторые способы определения высот; определение высот точек посредством нивелирных ходов; полевые работы при определении высот ходами; камеральные работы при определении высот точек ходами; понятие о нивелирных сетях.

Общие положения определения высот точек. Определение высот точек, то есть позиционирование объектов по вертикали сводится к определению абсолютной отметки НА точки А (рис. 4.3) относительно поверхности Р0 (или линии) принятой за нулевую (исходную) и определению относительной отметки hA-B точки А. Превышение является разностью высот между двумя точками, имеющими абсолютные высоты:

B

PB

hA-B

A HB

HA

P0

Рис. 4.3. Высоты точки

В (4.12) обязательно от конечной высоты вычитается начальная высота, что дает превышение со своим знаком: вверх – «+», вниз – «–».

Исходя из формулы (4.12) и рис. 4.3, зная абсолютную высоту точки НА и превышение hA-B между ней и точкой В, абсолютную высоту (отметку) можно получить как:

Формула (4.13) позволяет получить последовательно отметки ряда точек и является высотным аналогом прямой геодезической задачи, а (4.12), соответственно обратной. Таким образом, для позиционирования точки по высоте необходимо получить каким-либо образом превышение между точ-

194

кой с известной отметкой и определяемой точкой и использовать формулу (4.13). Вспомним, что процесс определения высотных составляющих (превышений, отметок) называют нивелированием. Нивелирование делят на геометрическое и физическое. В данном курсе мы изучаем геометрическое нивелирование, которое делится в свою очередь на уровенное и тригонометрическое. В зависимости от метода получения превышений, методы получения отметок также делят на уровенные и тригонометрические.

При определении одной отметки относительно точки, принятой за исходную (точки имеющей высоту в какой либо системе высот), используют формулу (4.13). Формула может считаться реализацией своеобразной высотной засечки.

Некоторые способы определения высот. Если определяются не-

сколько точек не последовательно, а вразброс, относительно одной исходной (рис. 4.4) то обычно формулу (4.13) преобразуют.

Рис. 4.4. Схема определения нескольких точек относительно одной

Здесь величина ГИ = H0 + a называется горизонтом инструмента и широко используется для последовательного вычисления отметок точек относительно одной точки с заданной высотой. Точку с заданной высотой, в какой либо системе высот, будем называть исходной точкой, или репером.

Еще одно выражение превышения hi-j, которое также достаточно широко используется, можно получить из треугольника ABC на основе рис. 4.5.

195

При использовании (4.15) уклон берут в десятичной записи. Несложно заметить (см. рис. 4.5), что уклон, это тангенс угла наклона i = tg(ν).

Определение высот точек посредством нивелирных ходов. Для определения последовательно ряда точек используют высотные (нивелирные) ходы. По аналогии с линейно-угловыми, высотные ходы бывают разомкнутые, замкнутые, сомкнутые, висячие и свободные. В разомкнутом нивелирном ходе, он начинается и заканчивается не совпадающими реперами (рис. 4.6, а) РП-1 и РП-2. Часть хода между точками (например, РП-1 – Т-1, Т-2 – Т-3) называют секцией хода. На схеме обязательно стрелкой показывается направление передачи отметок, желательно все время в одну сторону.

Замкнутый нивелирный ход (рис. 4.6, б) начинается и заканчивается одним репером. В сомкнутом ходе (рис. 4.6, в), отметка передается как минимум дважды с реперов на ближайшую точку хода, с которой он начинается и ею же заканчивается. Два последних хода часто называют нивелирными полигонами с разными видами привязок.

Висячий ход (рис. 4.6, г) начинается с репера и заканчивается определяемой точкой, то есть является бесконтрольным. Поэтому его используют весьма осторожно. В свободном ходе вообще нет исходных реперов.

196

Рис. 4.6. Схемы основных нивелирных ходов:

а – разомкнутый ход; б – замкнутый ход; в – сомкнутый ход, г – висячий ход

Рассмотрим подробнее полевые и камеральные работы при определении высот точек разомкнутым нивелирным ходом на основе получения превышений геометрическим уровенным способом.

Полевые работы при определении высот ходами. Работы в поле начинают с рекогносцировки, которая включает в себя выбор и закрепление точек, отыскание исходных реперов и выбора способа привязки.

При проектировании ходов следует выбирать наиболее удобные для нивелирования пути: дороги, просеки в лесу, берега рек, участки с небольшим уклоном и твердым грунтом.

Допустимая длина хода зависит от его вида. Так, длина разомкнутого (рис. 4.6, а) или замкнутого (рис. 4.6, б, в) хода может достигать 16 км, а длина висячего хода (рис. 4.6, г) не должна превышать 8 км. В разомкнутом и замкнутом ходе, нивелирование выполняют один раз в прямом направлении. В висячем ходе – два раза: в прямом и обратном направлении.

197

Если нивелирный ход прокладывают по существующим точкам, например, теодолитного хода, то необходимость рекогносцировки и проектирования (кроме выбора способа привязки) отпадает.

Следующий шаг – собственно производство нивелирования, для чего нужен нивелир, штатив, комплект из пары реек и нивелирные башмаки. Башмаки используются в случае, когда секция состоит из более чем одной станции, то есть необходимо измерение промежуточных, далее не нужных и не закрепляемых, точек, основное назначение которых – передача отметок. Если расстояние между пунктами невелико (до 150 м) и превышение между ними также небольшое (до 2 м), то превышение можно измерить с одной установки (одной станции) нивелира и обойтись без башмаков. При необходимости башмаки заменяются любым твердым контуром местности в районе измерений (обечайка канализационного люка, край бордюра и т.п.) или воткнутым в землю топором.

Порядок измерения превышения на станции обычный, при определении превышения геометрическим уровенным нивелированием из середины: установка нивелира и реек, снятие отсчета на заднюю рейку (например, РП-1, рис. 4.7) по черной стороне рейки и на переднюю (например, Т-1) по черной стороне; снятие отсчетов по красной стороне рейки на переднюю и по красной стороне на заднюю рейку. Не забывать, перед каждым отсчетом выводить цилиндрический уровень в середину. Результаты заносят в стандартный журнал нивелирования (см. М-2). Нивелирование, выполненное по такой методике нивелиром класса Н-3 и ему подобным, носит название технического.

Рис. 4.7. Схема определения высот нивелирным ходом

198

Камеральные работы при определении высот точек ходами. Вы-

числительные работы после производства всех измерений по ходу и привязки хода к реперам, начинают с вычисления количества избыточных измерений t. Не сложно заметить, что для основных типов ходов, разомкнутого и замкнутого (см. рис. 4.6, а, б), общее количество измерений n всегда на 1 меньше числа определяемых пунктов. Так как размерность пространства высотных измерений 1 (вертикальная линия), то количество избыточных измерений в перечисленных построениях всегда будет равно 1. Таким образом, в основ-

199

ных схемах нивелирных ходов должно возникать одно математическое условие, и требуется обработка результатов измерений (уравнивание).

Запишем формулы для последовательного вычисления отметок определяемых точек нивелирного хода, расположенных между исходными реперами РП-1 и РП-2:

Формула (4.17) и является видом геометрического условия, возникающего в нивелирном ходе. Из (4.17) получают сумму превышений теоретическую (то есть то, что должно быть) как:

Так как результаты измерений имеют неизбежные погрешности, то сумма теоретическая не совпадает с суммой практической (∑hi)П, вычисленной по измеренным величинам. Их разность называется невязкой хода и обозначается fh:

fh = (∑hi)П – (∑hi)Т.

На величину невязки накладывается условие, производимое нивелирование техническое