Т.Г. Румянцева

ГЁДЕЛЬ (Gödel) Курт (1906--1978) -- австрийский логик и математик. В 1933--1939 -- приват-доцент Венского университета, член Венского кружка. В 1940 эмигрировал в США, с 1953 -- профессор Института перспективных исследований (Принстон). Основные работы: “Полнота аксиом логического функционального исчисления” (1930), “О формально неразрешимых предложениях Principia mathematica и родственных систем” (1931), “О интуиционистском исчислении высказываний” (1932), “О интуиционистской арифметике и теории чисел” (1933), “Одна интерпретация интуиционистского исчисления высказываний” (1933), “Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств” (1940), “Об одном еще не использованном расширении финитной точки зрения” (1958) и др. Важнейшие результаты получены Г. в области математической логики -- в таких ее разделах, как теория доказательств, теория моделей и теория множеств. С именем Г. связывается новая программа обоснования математического знания -- метод так называемой арифметизации метаматематики. Два главных достижения Г. -- доказательства двух теорем о неполноте четко очерченного формального исчисления с большими изобразительными возможностями -- были бы немыслимы вне данного метода. Подход Г. в целом относится к конструктивному направлению в математике. Так, он придерживается интуиционистской трактовки истинности высказывания: истинной считается только такая формула, которая рекурсивно реализуема. В связи с этим Г. полагает, что интуиционистская арифметика охватывает классическую. Например, закон исключенного третьего -- хотя и доказуем средствами классического исчисления -- однако не является интуиционистски конструктивным (великая теорема Ферма имеет, к примеру, вид закона исключенного третьего, но, тем не менее, ни ее доказательство, ни ее опровержение очень долгое время получены не были), тогда как отрицание этого закона, не доказуемое в рамках классического исчисления, интуиционистски реализуемо. Следовательно, по Г., отрицание закона исключенного третьего можно присоединить к аксиомам интуиционистского исчисления и получить такое же расширение классического исчисления, какое мы наблюдаем с расширением евклидовой геометрии в виде неевклидовой после присоединения к геометрическим аксиомам отрицания аксиомы о параллельных прямых. Следуя конструктивному подходу (суть строя логику и арифметику одновременно), Г. отказывается от логицистского тезиса Фреге, согласно которому математика полностью редуцируема к логике. Конструктивисты провозглашают рекурсивную арифметику образцом строгости, поэтому изучение на арифметических моделях всевозможных логических отношений позволяет точнее оценить возможности последних. Впервые идея создания арифметических моделей для системы логических отношений была высказана еще Лейбницем, который разработал ряд подобных моделей для аристотелевской силлогистики. Заслуга же Г. состоит в том, что он арифметически изобразил отношения выводимости. Прибегая к арифметизации метаматематики, Г. доказал теорему о полноте узкого исчисления предикатов и две теоремы о неполноте расширенного исчисления предикатов. Полнота исчисления свидетельствует о том, что данное исчисление является полным относительно своих интерпретаций в области натуральных чисел; другими словами, каждая правильно построенная формула, истинная в любой структуре, универсумом которой служит множество всех натуральных чисел, выводима, т.е. доказуема в этом исчислении. Теорема о полноте исчисления предикатов первой ступени была сформулирована Г. так: всякая неопровержимая формула (формула, отрицание которой невыводимо) выполнима; вместе с тем, установление выводимости формулы свидетельствует о ее общезначимости. Теорема о полноте верна и в усиленной формулировке: всякая счетная последовательность формул, из которой нельзя вывести противоречия, выполнима (реализуема). Доказательство теоремы возможно благодаря установлению модельного равенства любой правильно построенной формулы узкого исчисления предикатов некоторой сколемовской нормальной форме. Точно так же, для доказательства полноты исчисления высказываний требуется модельное равенство любой правильно построенной формулы этого исчисления некоторой дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной форме. Доказательство теорем о неполноте расширенного исчисления предикатов проводится на основе имитации грамматики данного исчисления средствами рекурсивной арифметики. Вследствие же того, что средств рекурсивной арифметики достаточно для фиксации элементарного синтаксиса любой формализованной системы, результаты доказательства верны и в отношении других, четко очерченных формальных исчислений с богатыми изобразительными возможностями. Согласно первой теореме Г. о неполноте, свойство непротиворечивости рекурсивной арифметики ведет к появлению предложений, формализуемых в исчислении, но дедуктивно неразрешимых, т.е. к существованию таких формул, которые не доказуемы и не опровержимы. Подобные формулы, будучи предложениями рекурсивной арифметики, считаются истинными, но не являются выводимыми несмотря на то, что они должны быть таковыми по определению. Таким образом непротиворечивость ведет к неполноте формализованной системы. Вторая теорема Г. представляет собой более сильный вариант первой. Доказывается, что в случае непротиворечивости формального исчисления, имеющего рекурсивную арифметику в качестве модели, формула, выражающая эту непротиворечивость, не выводима в рамках данного исчисления. Не следует воспринимать теоремы о неполноте как свидетельство ограниченности логического знания: они лишь демонстрируют границы применимости финитного подхода в математике. Г. внес существенный вклад также в теорию множеств, доказав непротиворечивость аксиомы выбора и континуум-гипотезы. С целью доказательства их непротиворечивости, т.е. совместимости с заданной системой теоретико-множественных аксиом, Г. построил особую систему аксиом, представляющую собой существенное упрощение системы П.Бернайса. Данная система пригодна и для более широкого назначения -- доказательства непротиворечивости или независимости аксиом других видов. На основе этой системы и допущения, что каждое множество конструктивно, была установлена некоторая модель, удовлетворяющая системе аксиом без аксиомы выбора, притом такая, что в ней все множества могут быть вполне упорядочены. В этой модели аксиома выбора оказывается выполнимой (истинной), а, значит, и совместимой с исходной системой аксиом, т.е. непротиворечивой. В подобной модели оказывается истинной и континуум-гипотеза. Т.обр., Г. показал, что континуум-гипотеза не может быть опровергнута в виду того, что она совместима с некоторой системой аксиом для теории множеств. Г. сыграл решающую роль в становлении математической логики, многое сделав для признания конструктивного подхода наиболее удовлетворительным средством метаматематики.