2. Модели оптимизации

Математическое программирование – самостоятельное направление математики, рассматривающее методы решения задач оптимизации. Каждая задача оптимизации содержит три важнейших элемента:

• набор переменных, удовлетворяющих определенным требованиям (неотрицательность, целочисленность и др.):

• систему ограничивающих условий, отражающих технологические и экономические особенности процессов;

• целевую установку, экстремальное значение которой необходимо найти.

Методы решения оптимизационных задач зависят от свойств переменных, вида функции многих переменных (целевой функции), вида ограничений.

Для экономической системы целевая функция – это функция эффективности ее функционирования и развития или также функция затрат.

Перед математическим программированием стоят следующие проблемы:

• моделирование экономических задач;

• поиск методов оптимального решения (плана) на основе построенной математической модели;

• анализ полученного оптимального решения при изменении внешних условий.

Классификация задач математического программирования

Условно задачи математического программирования, которые заключаются в исследовании функции на экстремум, на переменные которой наложены определенные ограничения, можно классифицировать следующим образом:

• задачи детерминированного и стохастического программирования (в зависимости от присутствия вероятностных переменных);

• задачи динамического и статического программирования (в зависимости от учета фактора времени);

• задачи линейного и нелинейного программирования (в зависимости от вида целевой функции и ограничений).

Задачи, в которых переменные, а также параметры ограничений и целевой функции не являются случайными величинами, называются детерминированными. Например, если в экономико-математической модели величины заданы своими математическими ожиданиями, то такая задача относится к детерминированным. Задачи, в которых критерий оптимальности и ограничения содержат случайную составляющую, т.е. включают неопределенность, называютсястохастическими.

Задачи, в которых нахождение оптимального решения можно рассматривать как мгновенный акт, называются статическими.Задачи, в которых нахождение оптимального решения экономико-математической модели можно рассматривать не как застывшую задачу, а в динамике, находя решение на несколько периодов времени, называютсядинамическими. В динамическом программировании рассматриваются методы, позволяющие путем многошаговой оптимизации получить общий оптимум. Например, если субъект в ходе принятия решения изменяет свое информационное состояние, получая или теряя информацию, то в этом случае решение целесообразно принимать поэтапно (многошаговое решение). Например, если рассматривается план развития предприятия до 2010 года, должны быть обоснованы значения соответствующих микроэкономических показателей не только на 2010 год, а и на все промежуточные годы, т.е. учтена динамика развития хозяйственной деятельности данного предприятия.

Задачи, в которых критерий оптимальности (целевая функция) и система ограничений являются линейными, а переменные принимают любые неотрицательные значения, называются задачамилинейного программирования (ЗЛП). В противном случае возникаетзадача нелинейного программирования. Важным преимуществом задач линейного программирования является то, что для их решения разработан универсальный метод – симплекс-метод. Для некоторых классов ЗЛП разработаны более эффективные методы решения. Например, распределительные задачи можно решить симплекс-методом, однако более эффективным для их решения является метод потенциалов.

Линейные модели зачастую являются неадекватными природе моделируемого объекта или процесса, поэтому приходится строить нелинейные модели. Решать нелинейные задачи более сложно, чем линейные, поскольку нет универсальных методов решения таких задач. Для некоторых видов нелинейных задач разработаны численные специальные эффективные методы решения, такие как метод наискорейшего спуска, метод дробления шага. Однако, на практике чаще используют линейные экономико-математические модели. Часто нелинейные зависимости аппроксимируют линейными. Модели линейного программирования находят широкое применение при решении плановых задач в различных сферах хозяйственной деятельности.

Задачи, в которых критерий оптимальности является суммой функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, называются задачамисепарабельного программирования.

Задачи, в которых на переменные наложено условие целочисленности, называются задачамицелочисленного программирования.Многие экономические задачи характеризуются тем, что объемы управляемых ресурсов могут принимать только целые значения, такие как автомобили, бытовая техника и другие объекты. Особую группу составляют задачидискретного программирования, в которых переменные могут принимать отдельные значения, например 0 или 1.

Задачи, в которых критерий оптимальности является выпуклой функцией, называются задачамивыпуклого программирования.Для таких задач существует ряд эффективных и обоснованных методов их решения. ЗЛП являются частным случаем задач выпуклого программирования.

Задачи, в которых критерий оптимальности является квадратичной функцией и система ограничений линейная, называются задачамиквадратичного программирования.

Рассматривают так же отдельные классы задачи дробно-линейного программирования, когда система ограничений являются линейной, а целевая функция – дробно-линейная;задачи параметрического программирования, когда система ограничений является линейной, а целевая функция содержит параметр.

Особый класс представляют задачи теории игр, которые широко применяются в рыночной экономике. Среди них наиболее изучены матричные парные игры.

Следует заметить, что многие классы параметрических задач стремятся преобразовать так, чтобы была возможность использовать для решения методы линейного программирования.