- •Математическое моделирование Учебное пособие
- •Донецк 2006
- •Содержание
- •Введение
- •1. Построение экспериментальных законов распределения
- •1.1. Общие положения
- •1.2. Статистические критерии согласия
- •Г) Критерий согласия Романовского
- •1.3. Построение закона Пуассона
- •1.4. Построение показательного закона
- •1.5. Построение нормального закона
- •2. Модели оптимизации
- •2.1. Принципы формирования моделей оптимизации
- •Задача производственного планирования
- •Задача оптимальной загрузки оборудования
- •Задача о смесях
- •Транспортная задача
- •2.2. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •Алгоритм графического метода решения злп
- •2.3. Универсальный метод решения линейных задач оптимизации
- •Алгоритм симплекс-метода решения злп
- •Пример 2.3.1. Решить злп (2.2.1), (2.2.5) симплекс-методом.
- •Критерий оптимальности опорного плана
- •Переход к следующей симплекс-таблице осуществляют по правилам:
- •2.4. Двойственная задача линейного программирования
- •Свойства двойственных задач
- •2.5. Методы анализа конфликтных ситуаций с помощью матричных игр
- •Алгоритм принципа максимина (минимакса)
- •Решение. Этаматричная игра имеет размерность (3х4), т.Е. Игрок а имеет три стратегии, а игрок в – четыре. Запишем ее в нормальной форме.
- •Последовательность действий при решении игры
- •3. Регрессионный анализ
- •3.1. Однофакторные модели
- •3.1.1. Построение однофакторных моделей
- •3.1.2. Оценка качества моделей
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Построение доверительного интервала для прогнозного значения
- •Пример 3.1.Исследовать зависимость объема прибыли от количества торговых точек. Сделать прогноз в предположении, что количество торговых точек будет увеличено до 25.
- •Вспомогательная расчетная таблица
- •Пример 3.2.Исследовать зависимость показателяуи факторахс помощью логарифмической, степенной и полиномиальной регрессий.
- •3.1.3. Модели рядов динамики
- •3.2. Автокорреляция данных и остатков
- •3.2.1. Автокорреляция данных
- •Пример 3.4. Исследовать на автокорреляцию динамический ряд:
- •Вспомогательная таблица для расчета коэффициента автокорреляции
- •3.2.2. Автокорреляция остатков
- •Причины возникновения автокорреляции
- •Вспомогательная таблица для расчета d-статистики
- •С помощью формулы (3.2.2) найдем d -статистику:
- •3.3. Мультиколлинеарность
- •Причины возникновения мультиколлинеарности:
- •Методы исследования мультиколлинеарности
- •Меры по устранению мультиколлинеарности:
- •3.4. Множественная линейная регрессия
- •3.4.1. Построение множественной линейной регрессии
- •Расчет элементов коэффициента
- •3.4.2. Матричный подход
- •Построение корреляционной матрицы
- •Построение модели множественной линейной регрессии и ее анализ
- •3.4.4. Нелинейные модели
- •3.4.5. Эластичность
- •4.Экспертные оценки и элементы теории графов
- •4.1. Ранговая корреляция
- •4.1.1. Экспертное оценивание
- •4.1.2. Этапы работ в системе экспертных оценок
- •4.1.3. Метод ранговой корреляции
- •Вспомогательные расчеты
- •Б) Случай многих экспертов
- •4.2. Элементы сетевого планирования
- •Основные элементы сетевого графика
- •Основные требования к сетевой модели
- •5. Индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов по курсу “математическое моделирование”
- •5.1. Задания к разделу “Построение законов распределения”
- •5.2. Задания к разделу “Математическое программирование”
- •5.3. Задания к разделу “Регрессионный анализ”
- •Задание 2.
- •Задание 3.
- •5.4. Задания к разделу “Экспертные оценки и элементы теории графов” Задание 1.
- •Значение критерия Пирсона
- •Критерий Колмогорова
- •Критерий Колмогорова
- •Квантили распределения Стьюдента
- •Коефициентов автокорреляции
- •Литература
- •Пеніна Галина Геннадіївна, канд. Екон. Наук, доцент
Построение доверительного интервала для прогнозного значения
Предположим, что мы хотим распространить нашу модель на другие значения независимой переменной и поставить проблему прогнозирования среднего значения усоответствующего некоторому данному значению, которое может лежать как между выборочными наблюдениями отдо, так и вне этого интервала. Прогноз может быть точечным или интервальным.
Точечный прогноз– это вычисленное по уравнениюзначение.
Интервальный прогноз– это доверительный интервал, покрывающий с заданной надежностью 1-ожидаемую величину:
, (3.1.13)
где
. (3.1.14)
Построение доверительного интервала для коэффициента
Можно построить доверительный интервал для параметра , который покрывает истинное значение параметрас заданной надежностью 1-:
, (3.1.15)
где
. (3.1.16)
Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции
Доверительный интервал для коэффициента корреляции находят по формуле (3.1.17):
, (3.1.17)
где
. (3.1.18)
Для нелинейных регрессий рассчитывают индекс корреляции равный квадратному корню из коэффициента детерминации, вычисляемого по формуле (3.1.10).
Оценку надежности индекса корреляции проводят с помощью -статистики, вычисляемой по формуле (3.2.19):
, (3.1.19)
где m– число параметров в уравнении регрессии. По таблицам Фишера (приложение Е) по заданной надёжности 1-и числу степеней свободы () и () находят табличное значение. Если, то с заданной надёжностью 1-можно сделать вывод о надежности индекса корреляции.
Адекватность построенной модели изучаемому процессу может быть установлена с помощью средней ошибки аппроксимации (среднего процента расхождения теоретических значений и фактических):
. (3.1.20)
При моделировании экономических показателей чаще всего допускается 5-% погрешность (иногда 7-%, редко 10-%). Модель считается адекватной (а значит и пригодной), если .
Поскольку одна и та же тенденция может быть выражена разными моделями, то часто используют ряд функций, а затем и выбирают наиболее предпочтительную. Выбор наиболее предпочтительной модели можно проводить на основе остаточного среднеквадратического отклонения (остаточной дисперсии):
, (3.1.21)
где - число параметров в уравнении.
Лучшей будет та функция, у которой меньше.
Пример 3.1.Исследовать зависимость объема прибыли от количества торговых точек. Сделать прогноз в предположении, что количество торговых точек будет увеличено до 25.
Объем прибыли, (тыс. грн.), у |
2,2 |
2,25 |
2,24 |
2,1 |
2,9 |
3,1 |
1,9 |
1,85 |
2,16 |
1,68 |
Количество торговых точек, (шт.), х |
15 |
17 |
16 |
13 |
18 |
19 |
11 |
10 |
14 |
9 |
Решение. Для нахождения параметров линейного уравнения регрессии (3.1.1) с помощью системы линейных уравнений Гаусса (3.1.2) составим вспомогательную расчетную таблицу 3.1:
Таблица 3.1