Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2 к сессия / Экономико-матем моделирование / Математическое моделирование 2 (2).doc
Скачиваний:
105
Добавлен:
22.02.2016
Размер:
7.41 Mб
Скачать

Задача оптимальной загрузки оборудования

Предприятию нужно выпустить продукции П1 по плану N1 единиц, продукции П2N2 единиц, и так далее, продукции ПkNk единиц. Продукция обрабатывается на взаимозаменяемом оборудовании В1, В2, …, Вт различной мощности. Также известны следующие величины: aij – норма времени на обработку единицы продукции i-го вида на оборудовании j-го вида; Аj – фонд времени оборудования j-го вида, сij – себестоимость обработки продукции i-го вида на оборудовании j-го вида. Спланировать выпуск продукции Пj, чтобы себестоимость ее была наименьшей и план выпуска продукции был выполнен.

Для построения экономико-математической модели условие задачи удобно представить в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Вид

оборудования

Себестоимость обработки продукции i-го вида на оборудовании j-го вида

Фонд времени оборудования

Вид продукции

П1

П2

Пk

В1

а11

а12

а1k

А1

В2

а21

а22

а2k

А2

Вт

ат1

ат2

атk

Ат

План выпуска продукции

N1

N2

Nk

Обозначим хij – количество продукции i-го вида, которая обрабатывается на оборудовании j-го вида.

Фактические затраты времени на обработку всей продукции П1 на оборудовании В1 составят а11х11, на обработку всей продукции П2 на оборудовании В1а12х12, и, так далее, на обработку всей продукции Пkа1пх1п. Общие затраты времени на обработку всей продукции на оборудовании В1 можно представить в виде суммы:

а11х11 + а12х12 + … + а1kх1k.

Поскольку фактические затраты времени не могут превышать отведенные фонды, то эта сумма не должна превышать А1, т.е.

а11х11 + а12х12 + … + а1kх1k А1.

Проведя аналогичные рассуждения для всех оборудования, получим остальные неравенства системы ограничений:

а21х21 + а22х22 + … + а2kх2k А2,

……………………………….

ат1хт1 + ат2хт2 + … + атkхтk Ат.

Поскольку по условию задачи план должен быть выполнен, то имеем систему ограничений:

х11 + х21 + … + хm1 = N1.

х12 + х22 + … + хm2 = N2,

…………………………

х1т + х2т + … + хтk = Nk.

К системе ограничений также должны быть добавлены требования неотрицательности переменных хij, поскольку количество продукции любого вида не может быть отрицательным.

Общая себестоимость обрабатываемой продукции равна

z = c11х11+c12х12+…+c1kх1k+c21х21+c22х22+…+c2kх2k+…+cт1хт1+cт2хт2+…+cтkхтk.

Таким образом, задача заключается в нахождении таких переменных х1, х2, …, хп , которые удовлетворяют системе ограничений

и обращают функцию себестоимости в минимум.

Задача о смесях

К таким задачам относится класс математических моделей, касающийся экономических проблем, связанных с изготовлением различных смесей (сплавов металлов, химических веществ, производства нефтепродуктов, рационов, диет и др.).

Фирма имеет возможность покупать т различных видов сырья и приготавливать различные виды смесей. Каждый вид сырья содержит разное количество питательных компонентов (ингредиентов). Продукция должна удовлетворять хотя бы минимальным требованиям с точки зрения полезности (питательности). Перед руководством фирмы стоит задача определить количество каждого i-го вида сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и ее питательности.

Пусть хi – количество i-го вида сырья в смеси; т – количество видов сырья; п – количество ингредиентов в смеси; аij – количество ингредиента j-го вида, содержащегося в единице i-го вида сырья; bj – минимальное количество ингредиента j-го вида, содержащегося в единице смеси; сi – стоимость единицы сырья i-го вида; q – минимальный общий вес смеси, используемый фирмой.

Для построения экономико-математической модели условие задачи удобно представить в таблице 2.3.

Таблица 2.3

Вид

ингредиента

Количество ингредиента j-го вида, содержащегося в единице i-го вида сырья

минимальное количество ингредиента

Виды сырья

1

2

п

1

а11

а12

а1п

b1

2

а21

а22

а2п

b2

т

ат1

ат2

атn

bт

Стоимость

единицы сырья

с1

с2

сп

В единице сырья первого вида содержится а11 единиц первого ингредиента, а во всем сырье первого вида этого ингредиента будет а11х1. Этого же ингредиента в единице сырья второго вида содержится а12 единиц, а во всем сырье второго вида этого ингредиента будет а12х2 и так далее, а1nхn – количество первого ингредиента в п-м виде сырья. Общее количество сырья первого вида, содержащегося во всех смесях равно

а11х1 + а12х2 + … + а1nхn.

Поскольку известно, что минимальное количество ингредиента первого вида, содержащегося в единице смеси, должно быть b1 , имеем следующее ограничение

а11х1 + а12х2 + … + а1nхnb1 .

Рассмотрим второй вид ингредиента. Необходимо учесть содержание этого ингредиента во всем количестве смеси первого сырья, второго и т.д. до п-го вида сырья. Суммируя отдельные значения количества единиц второго вида ингредиента во всех смесях, получим общее количество второго вида ингредиента. Она должно быть не меньше минимального количества ингредиента второго вида, содержащегося в единице смеси b2. Аналогично предыдущим рассуждениям, можно установить соотношения между содержанием ингредиента любого вида во всех смесях и минимальным количеством этого ингредиента в смеси. В результате придем к системе ограничений на питательность смеси:

а11х1 + а12х2 + … + а1nхn b1.

а21х1 + а22х2 + … + а2nхn b2,

……………………………….

ат1х1 + ат2х2 + … + атnхn bт.

Переменные х1, х2, …, хn , представляющие собой количества ингредиента первого, второго и т.д., до п-го вида, не могут быть отрицательными. В случае, если какой-либо ингредиент не входит в состав смеси, то соответствующая переменная будет равно нулю. Таким образом, придем к системе ограничений на неотрицательность переменных

х1 0,х20, …,хn 0.

В связи с тем, что известен минимальный общий вес смеси q, используемый фирмой, придем к ограничению на расход смеси

х1 + х2 + … + хn q.

Зная, что цена единицы сырья первого вида с1, можем вычислить стоимость всего сырья первого вида – с1х1. Аналогично стоимость всего сырья второго вида – с2х2 и т.д., стоимость всего сырья п-го вида – сnхn. Суммарная стоимость всех видов сырья, используемых в приготовлении смеси, равна сумме всех этих стоимостей.

Таким образом задача о смесях заключается в нахождении величин ,, …,хn , удовлетворяющих ограничениям

а11х1 + а12х2 + … + а1nхn b1.

а21х1 + а22х2 + … + а2nхn b2,

……………………………….

ат1х1 + ат2х2 + … + атnхn bт.

х1 + х2 + … + хn q.

х1 0,х20, …,хn 0

и дают минимум целевой функции

z = с1х1 + с2х2 +…+ сnхn.