Транспортная задача

Одной из часто встречающихся задач хозяйственного управления является задача по разработке рационального плана транспортных перевозок. Основная цель организации перевозок – минимизация затрат на их осуществление. Такая задача носит название транспортной.

Транспортная задача принадлежит к специальному классу распределительных задач линейного программирования. Пусть нужно перевезти однородный груз из m пунктов отправления А₁, А₂,…,А_т в n пунктов потребления B₁, B₂,…, B_п. Известны: количество груза a_i (запасы), находящееся у i-го поставщика (постоянно), а также объемы потребностей в нем b_j (заявки) j-го потребителя. Известны также затраты на перевозку единицы груза от i-го поставщика к j-му потребителю – тариф – с_ij. Необходимо распределить груз таким образом, чтобы затраты на его перевозку были минимальными.

Обозначим х_ij – количество груза, перевозимого из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения.

Решение (план перевозок) определяется матрицей размерности ()

.

Общий вывозимый груз от поставщиков не должен превышать имеющихся у него запасов – это условие выражается системой:

х₁₁ + х₁₂ + … + х_1п а₁.

х₂₁ + х₂₂ + …+ х_2п а₂,

……………………….

х_т1 + х_т2 + … + х_тп а_т.

Заявки, поданные пунктами потребления, должны быть выполнены, что приводит к системе:

х₁₁ + х₂₁ + … + х_m1 = b₁.

х₁₂ + х₂₂ + … + х_m2 = b₂,

…………………………

х_1т + х_2т + … + х_тп = b_п.

Естественно, что все неизвестные не могут принимать отрицательные значения, т.е. .

Общая стоимость перевозок равна

z = c₁₁х₁₁+c₁₂х₁₂+…+c_1пх_1п+c₂₁х₂₁+c₂₂х₂₂+…+c_2пх_2п+…+c_т1х_т1+c_т2х_т2+…+c_тпх_тп.

Таким образом, задача заключается в нахождении таких переменных , которые удовлетворяют системе ограничений

и обращают функцию транспортных расходов в минимум.

Обобщая рассмотренные примеры, можно сделать следующие выводы:

• ограничения в задачах линейного программирования могут быть выражены как равенствами, так и неравенствами.

• линейная функция может стремиться как к максимуму, так и к минимуму.

• переменные в задачах всегда неотрицательны.

В экономике задачи условной оптимизации возникают при реализации принципа оптимальности в планировании и управлении, суть которого состоит в стремлении выбрать такое планово-управленческое решение , которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйственного субъекта.

Реализовать на практике принцип оптимальности в планировании и управлении – это означает решить экстремальную задачу:

,, или,,

где – целевая функция – математическая запись критерия оптимальности.

В задаче линейного программирования (ЗЛП) нужно найти экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции :

, (2.1.1)

при ограничениях:

(2.1.2)

В формулах (2.1.1), (2.1.2) – заданные постоянные величины, причем; символозначает, что в конкретной ЗЛП возможно ограничение типа равенства или неравенства (в ту или другую сторону).

ЗЛП (2.1.1), (2.1.2) можно записать в следующих формах: канонической, векторной, матричной.

Каноническая форма ЗЛП имеет вид (2.1.3):

,

, (2.1.3)

Векторная форма ЗЛП имеет вид (2.1.4):

,

, (2.1.4)

,

где , ,.

Матричная форма ЗЛП имеет вид (2.1.5):

, (2.1.5)

,,

где - матрица размера,,.

Планом ЗЛПилидопустимым решением ЗЛП называется вектор, который удовлетворяет системе ограничений (2.1.2).

Оптимальным планом ЗЛПилиоптимальным допустимым решением ЗЛПназываетсяплан ЗЛП, который оптимизирует целевую функцию (2.1.1).

Областью допустимых решений ЗЛП называется совокупность точек, удовлетворяющих системе ограничений (2.1.2).

Множество называется выпуклым, если вместе с двумя точками ему принадлежит и отрезок их соединяющий. Точка множества называется граничной, если в любой ее окрестности содержатся как точки, которые принадлежат множеству, так и точки, которые ему не принадлежат. Совокупность граничных точек множества образует его границу. Граница выпуклого многоугольника на плоскости состоит из отрезков или прямых. Точки, в которых пересекаются отрезки или прямые границы многоугольника, называются вершинами. Пересечением областейназывается множество точек, которые принадлежат каждой из этих областей.

Выпуклой комбинациейточек многоугольника называется

Для решения ЗЛП приведем на следующие утверждения.

Теорема 1.	Область допустимых решений задачи линейного программирования является выпуклым множеством.
Теорема 2.	Оптимальное значение целевая функция задачи линейного программирования достигает в вершине многоугольника решений.
Теорема 3.	Если оптимальное значение целевая функция задачи линейного программирования достигает в нескольких точках многоугольника решений, то она принимает это же значение в любой точке, которая является их выпуклой комбинацией.