Критерий оптимальности опорного плана

• Если в индексной строке среди оценок оптимальности есть хотя бы одна положительная, то опорный план не является оптимальным.

• Если в индексной строке все оценки оптимальности для небазисных переменных являются отрицательными числами, то опорный план является оптимальным и единственным.

• Если в индексной строке небазисным переменным отвечают нулевые оценки, а среди оценок оптимальности нет положительных, то опорный план является оптимальным, но не единственным.

В нашем случае опорный план, соответствующий первой симплекс-таблице оптимальным не является.

Для перехода к следующей симплекс-таблице в М-строке выбирают наибольшую положительную оценку, начиная со столбца “р₁”. В нашем случае – это число 8 в столбце “р₁”.

Столбец, содержащий наибольшую положительную оценку, называется разрешающим. Он показывает, какой вектор следует ввести в базис.

В нашем случае вектор “р₁” следует ввести в базис.

Найдем симплексноеотношение оптимальности: элементы столбца “р₀” разделим на положительные элементы разрешающего столбца.

Строка, соответствующая наименьшему отношению оптимальности , называетсяразрешающей. Она показывает, какой вектор следует вывести из базиса.

В нашем случае . Таким образом, векторр₇следует вывести из базиса. Кроме того векторр₇можно исключить из рассмотрения, поскольку он является искусственным.

Генеральный элемент– это элемент, который расположен на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки.

В нашем случае это число 7.

Переход к следующей симплекс-таблице осуществляют по правилам:

• все элементы разрешающей строки делят на генеральный элемент;

• разрешающий столбец дополняют нулями;

• если в разрешающей строке есть нули, то соответствующие столбцы переписывают без изменений;

• все другие элементы рассчитывают с помощью метода прямоугольников: если г – генеральный элемент,с– старый элемент,аиb– элементы разрешающей строки и разрешающего столбца, то п– новый элемент находят по формуле:

а		с
г		b

Таким образом, вторая симплекс-таблица имеет вид:

Таблица 2.3.2

Вторая симплексная таблица

Базис	С	р0	– 1	– 4	0	0	0	М	С.О.
			р1	р2	р3	р4	р5	р6
р6	М	4	0	34/7	–1	0	1/7	1	4/(34/7)=14/17
р4	0	5	0	6/7	0	1	1/7	0	5/(6/7)=30/7
р1	– 1	1	1	1/7	0	0	–1/7	0	1/(1/7)=7
z-строка		– 1	0	27/7	0	0	1/7	0
М-строка		4	0	34/7	–1	0	1/7	0

Этой симплексной таблице соответствует опорный план:

x₁= 1,x₂= 0,x₃ = 0,х₄ = 5,x₅ = 0,x₆ = 4.

Он не является оптимальным, так как в М-строке есть положительные оценки.

По правилам, описанным выше, перейдем к третьей симплексной таблице:

Таблица 2.3.3

Третья симплексная таблица

Базис	С	р0	– 1	– 4	0	0	0
			р1	р2	р3	р4	р5
р2	– 4	14/17	0	1	–7/34	0	1/34
р4	0	73/17	0	0	3/17	1	2/17	(73/17)/(3/17)=73/3
р1	– 1	15/17	1	0	1/34	0	–5/34	(15/17)/(1/34)=30
z-строка		–71/17	0	0	27/34	0	1/34

В этой таблице отсутствует М-строка, поскольку искусственные векторы выведены из базиса, и в дальнейшем не рассматриваются.

Третьей симплексной таблице соответствует опорный план:

x₁= 15/17,x₂= 14/17,x₃ = 0,х₄ = 73/17,x₅ = 0.

Он не является оптимальным, так как в z-строке есть положительные оценки.

Перейдем к четвертой симплексной таблице:

Таблица 2.3.4

Четвертая симплексная таблица

Базис	С	р0	– 1	– 4	0	0	0
			р1	р2	р3	р4	р5
р2	– 4	35/6	0	1	0	7/6	1/6
р3	0	73/3	0	0	1	17/3	2/3
р1	– 1	1/6	1	0	0	–1/6	–1/6
z-строка		–47/2	0	0	0	–9/2	–1/2

Этой симплекс-таблице соответствует опорный план:

x₁= 1/6,x₂= 35/6,x₃ = 73/3,х₄ = 0,x₅ = 0.

Он является оптимальным и единственным, так как в z-строке нет положительных оценок. Значение целевой функции min (–z) = – 47/2, значит,

max z= – min (–z) = 47/2.

Замечание.

• Если в симплексной таблице есть две одинаковые положительные наибольшие оценки оптимальности, то выбирают любую.

• Если в разрешающем столбце симплексной таблицы нет положительных чисел, то целевая функция является неограниченной на области допустимых решений ЗЛП, т.е. ЗЛП не имеет решений.

• В последней симплексной таблице нет необходимости заполнять все клетки, а нужно только заполнить z-строку и столбец р₀.