конспекты / 1234
.pdf61
Дві незбіжні точки утворюють симплекс прямої; три точки, які не належать прямій утворять симплекс площини; чотири точки, які не належать площині утворять симплекс простору. Симплекс складає геометричну частину визначника лінійної геометричної форми (прямої, площини або простору). Щоб заповнити симплекс безперервною безліччю точок і цим цілком визначити пряму, площину або простір, необхідно задати алгоритм утворення поточної точки М.
Поточну точку М площини АВС (рис. 5) B визначимо як вершину паралелограма NATM, де N,T
– поточні точки прямих АС, АВ:
P = (A - C)p + C; Q = (B - C)q + C. |
|
Q |
M |
M = (A – C)p + C + (B - C)q + C – C = |
|
||
|
|
||
= Ap + Bq + C(1 – p - q). |
|
|
|
Отже, рівняння площини визначається симплексом |
C |
|
А |
АВС за допомогою двох незалежних параметрів p і q. |
|
P |
|
|
|
|
Рис. 4.5 |
4.5. ТОЧКОВЕ РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ І ПРОСТОРУ В СТАНДАРТНІЙ ТА ПРИРОДНІЙ ПАРАМЕТРИЗАЦІЯХ.
|
У симплексі АВС (рис. 4.6) поточну точку М |
|
C |
|
|||||
визначимо орієнтованими площами: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
S = SABC; |
SA = SMBC; |
SB = SAMC; |
SC = SABM. |
MB |
|
|
|||
|
|
MA |
|||||||
|
|
|
|
|
|
SB |
M |
||
З точкового числення відомо, що рівняння площини |
SA |
||||||||
|
|
||||||||
через |
площини |
орієнтованих |
трикутників |
|
|
||||
SC |
|
|
|||||||
розташованих |
проти |
вершин |
симплексного |
|
|
||||
трикутника виражається співвідношенням: |
А |
|
|
M = |
AsA +BsB +CsC |
, |
MC |
B |
||
|
||||||
|
|
|||||
|
sA |
+sB |
+sC |
Рис. 4.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
де sA +sB + sC = s.
Якщо в отриманому співвідношенні, площі замінити пропорційними величинами a, b, c, одержимо рівняння площини в стандартній параметризації:
|
62 |
M = |
Aa+Bb+Cc . |
|
a+b+c |
Введемо позначення:
p = a+ab+c ; q = a+bb+c ; r = a+cb+c .
Тоді рівняння площини в природній параметризації матиме вигляд:
M = Ap + Bq +Cr, |
де p +q +r =1. |
Геометрична форма в площині визначається областю зміни параметрів відповідно до таблиці:
Значення параметрів p, q, r
p ≥ 0, q ≥ 0, r ≥ 0, p + q + r =1 p = 1, q = r = 0
q = 1, p = r = 0 r = 1, p = q = 0 p = 0, q + r = 1 q = 0, p + r = 1 r = 0, p + q = 1 p + q + r = 1
Таблиця
Геометрична форма
Трикутний відсік ABC площини
Точка А
Точка B
Точка C
Пряма BC
Пряма CA
Пряма AB
Площина α(А, B, C)
63
Параметрами визначається положення точки М щодо симплексу відповідно до схеми:
|
Схема |
|
p > 0, q < 0, r > 0 . |
p > 0, q < 0, r < 0. |
p < 0, q < 0, r > 0. |
A |
B |
|
p > 0, q > 0, |
|
r > 0. |
p > 0, q < 0, r < 0. |
p< 0, q < 0, r > 0. |
C |
p < 0, q > 0, r < 0.
Геометрично природні параметри являють собою відношення орієнтованих відрізків
(рис. 4.6):
p = MMA ; q = MMB ; r = MMC . AMA BMB CMC
4.6. ОБЧИСЛЕННЯ ТОЧКИ ПЕРЕТИНУ ПРЯМОЇ ІЗ ПЛОЩИНОЮ
Обчислення точки перетину двох прямих і точки перетину прямої із площиною – найважливіші позиційні задачі курсу нарисної геометрії. Вони, як складові частини, входять у розв’язання багатьох задач. Перетин прямих у курсі розглядається або в площинах проекцій, або в площинах рівня. Отже прямі не можуть бути мимобіжними (точки, що визначають прямі, задаються двома координатами з трьох). Розглянемо цей випадок перетину прямих АВ і СD.
Через площі орієнтованих трикутників АСD |
D |
|
|
BCD визначаємо відношення АК/ВК. |
|
В
К
C
А
Рис. 4.7
64
Введемо позначення:
|
x A |
yA 1 |
|
|
|
|
xB |
yB 1 |
|
|
E |
||
|
|
|
|
||||||||||
ACD = |
xC |
yC |
1 |
|
, |
BCD = |
|
xC |
yC |
1 |
|
. |
C |
|
xD |
yD |
1 |
|
|
|
|
xD |
yD |
1 |
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
Тоді, із точкового числення, маємо:
(А - K)/(B - K) = |
ACD/ BCD K = B ACD |
−A BCD . |
|
B |
|
ACD |
− BCD |
D |
|
Аналогічно, визначимо точку K перетину прямої DE і |
Рис.4.8 |
|||
|
|
|||
площини АВС (рис. 4.8): |
|
|
|
|
DK/EK = DABC/ |
EABC, звідки маємо |
|
|
|
|
K = E DABC −D EABC . |
|
|
|
|
DABC − |
EABC |
|
|
Визначники четвертого порядку складені з координат точок мають вигляд:
|
xE |
yE |
zE |
1 |
|
|
xD |
yD |
zD 1 |
|
|
EABC = |
xA |
yA |
zA |
1 |
, |
DABC = |
xA |
yA |
zA |
1 |
. |
|
xB |
yB |
zB 1 |
|
|
xB |
yB |
zB 1 |
|
||
|
xC |
yC |
zC |
1 |
|
|
xC |
yC |
zC |
1 |
|
Обчислення визначників четвертого порядку
варто проводити способом перетворення або розкладання по координатах точок D і Е.
4.7. МЕТРИКА ТОЧКОВОГО ЧИСЛЕННЯ.
Для розв’язання метричних задач в точковому численні необхідно ввести метрику в точковій формі і на її основі визначити довжину відрізка, кут між прямими, площу трикутника, перпендикулярність прямих і таке інше.
4.7.1. МЕТРИЧНИЙ ОПЕРАТОР ТРЬОХ ТОЧОК. ДОВЖИНА ВІДРІЗКА ПРЯМОЇ. КУТ МІЖ ПРЯМИМИ.
У точковому численні особливе місце займає відношення відрізків прямої. Не менш важливу роль відіграє добуток цих відрізків. Спосіб координатного визначення добутку відрізків задає метрику простору, що характеризує властивості вимірів у цьому просторі.
65
Визначення: Метричним оператором точок АВС при точці А називається число, рівне добуткові довжин направлених відрізків АН і АВ, де Н - ортогональна проекція точки С на пряму АВ:
C
ΣABC = AH ×AB
Для Евклідового простору метричний оператор через Декартові координати заданих точок виражається співвідношенням:
ΣABC = Σ(B−A)(C−A)=
αBC
A B H
Рис. 4.9
=(x - x)(x - x) + (y - y)(y - y) + +(z – z)(z - z).
Звизначення метричного оператора випливає, що він не міняється при перестановці нижніх точок-індексів у позначенні:
ΣABC = ΣCBA .
Проекції Н відповідає безліч точок C на перпендикулярі до прямої АВ, отже, для
ΣCBA = AB2
кожної точки цієї безлічі метричний оператор не міняється. Нехай Н ≡ B, тоді
B частці випадку, коли C ≡ B, одержимо квадрат довжини відрізка.
ТВЕРДЖЕННЯ. Довжина відрізка АВ визначається співвідношенням:
AB = lAB = ΣABB .
Безпосередньо з рисунку (рис. 9), випливає:
|
|
ΣA |
||
ΣABC = AH ×AB = ΣCCA cosαBC × ΣABB |
cosαBC = |
|
BC |
. |
ΣA |
|
|||
|
|
ΣA |
||
|
|
BB |
CC |
|
|
|
|
|
|
|
66 |
|
|
4.7.2. ОСНОВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРА, ОПУЩЕНОГО З ТОЧКИ НА ПРЯМУ. |
|||||||
Визначимо точку Н через метричні оператори (рис. 9). З геометричного змісту |
||||||||
метричних операторів випливає: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ΣCAB = HB×AB, |
|
|
|||
|
|
|
ΣABC = AH ×AB. |
|
|
|||
Розділивши другу рівність на першу, одержимо: |
|
|
||||||
|
|
|
AH = |
ΣABC . |
|
|
||
|
|
|
HB |
ΣCAB |
|
|
|
|
Далі, застосовуючи точкове числення, одержимо: |
|
|
||||||
|
AH = |
ΣABC |
A−H = |
ΣABC H = |
AΣCAB +BΣABC . |
|||
|
HB |
ΣCAB |
H−B |
ΣCAB |
ΣABC +ΣCAB |
|
||
4.7.3. ТОЧКА ВИХОДУ З ПЛОЩИНИ ТА ЇЇ ГЕОМЕТРИЧНА ІНТЕРПРЕТАЦІЯ. |
||||||||
ТОЧКА ВИХОДУ З ПЛОЩИНИ НА ВІДСТАНЬ d. |
|
|||||||
Для побудов над площиною загального положення АВС уведемо поняття точки |
||||||||
виходу з площини на задану відстань d. |
|
|
|
|
||||
ВИЗНАЧЕННЯ. Точкою виходу з площини, заданої |
K |
|
||||||
|
|
|||||||
трикутником АВС, називається точка S(syz, szx, sxy) – |
D |
C |
||||||
координатами якої є дійсні числа рівні подвоєним |
||||||||
d |
|
|||||||
площам проекцій цього орієнтованого трикутника. |
|
|||||||
|
|
|||||||
Точка S має наступні властивості: |
|
|
d |
S |
|
|||
1. |
Довжина відрізка OS чисельно дорівнює |
|
||||||
A |
|
|||||||
площі трикутника АВС. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
s |
|
|||
2. |
Пряма OS перпендикулярна |
площині |
|
|||||
|
|
|||||||
трикутника АВС. |
|
|
|
|
O |
B |
||
Такі ж властивості має векторний |
добуток |
|||||||
Рис. 4.10 |
||||||||
двох векторів, утворених направленими відрізками |
|
|
||||||
сторін орієнтованого трикутника АВС. Отже, точка виходу є точковим аналогом векторного |
||||||||
добутку векторів. Через координати вершин точка виходу з площини трикутника АВС |
||||||||
визначається співвідношеннями: |
|
|
|
|
|
67
sABCYZ = |
yA |
zA 1 |
|
sABCZX = |
zA |
xA 1 |
|
sABCXY = |
xA |
yA 1 |
|
|||
yB |
zB |
1 |
; |
zB |
xB |
1 |
; |
xB |
yB |
1 |
. |
|||
|
yC |
zC |
1 |
|
|
zC |
xC |
1 |
|
|
xC |
yC |
1 |
|
Точка D розташована на прямій OS, для якої відрізок OD по довжині дорівнює числу d, одержала назву точки виходу з площини АВС на величину d:
D = Sd ,
sABC
де sABC – подвоєна площа трикутника АВС.
Точка D успішно використовується для побудов над площиною загального положення. Точка D (рис. 4.10), що піднімається над площиною від точки А на висоту d, визначається з паралелограма OAKD сумою точок:
K = A + D
4.7.4. ПЛОЩА ТРИКУТНИКА, РОЗТАШОВАНОГО В ПЛОЩИНІ ЗАГАЛЬНОГО ПОЛОЖЕННЯ.
Для визначення точки D необхідно мати подвійну площу трикутника АВС. Оскільки довжина відрізка OS, по визначенню, дорівнює цій подвійній площі, то через метричний оператор одержимо:
4s2ABC = ΣSOO = ΣS2 = (sABCyz )2 +(szxABC )2 +(sxyABC )2.
Здобувши корінь квадратний, знаходимо шукану подвійну площу.
4.7.5. ВИЗНАЧЕННЯ ВЕРШИНИ ПІРАМІДИ ПО ЗАДАНІЙ ОСНОВІ І ВИСОТІ.
Розглянемо практичну задачу конструювання піраміди АВСК, по заданій основі АВС і висоті d, що проекціюється в центр ваги основи.
Конструювання піраміди зводиться до визначення вершини К.
1. Визначимо центр Т ваги трикутника АВС:
T = A+B+C . 3
K
d
C
А
ТРис. 4.11 В
68
2. Обчислюємо подвійні площі проекцій трикутника АВС:
sABCYZ = |
|
yA |
zA 1 |
|
|
sABCZX = |
|
zA |
xA 1 |
|
|
sABCXY = |
|
xA |
yA 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
yB |
zB |
1 |
|
; |
|
zB |
xB |
1 |
|
; |
|
xB |
yB |
1 |
|
. |
|||
|
|
yC |
zC |
1 |
|
|
|
|
zC |
xC |
1 |
|
|
|
|
xC |
yC |
1 |
|
|
3. Визначаємо площу трикутника АВС, розташованого в площині загального положення:
s = (sxyABC )2 +(sABCyz )2 +(szxABC )2 .
4. |
Знаходимо точку виходу з площини на висоту d: |
|
|
xD = sABCyz |
d ; yD = sABCzx d |
|
s |
s |
5. |
Обчислюємо координати шуканої вершини К: |
= sxy d
; zD ABC .
s
xK = xD + xT ; yK = yD + yT ;zK = zD +zT .
Підводячи підсумок цієї лекції, відзначимо, що метричний оператор трьох точок споріднений скалярному добуткові векторів, точка виходу з площини – векторному добуткові двох векторів, а об’єм піраміди – змішаному добуткові трьох векторів.
Точкове числення, це математичний апарат інженера, що дозволяє конструювати геометричні об’єкти, а також лінійні і не лінійні форми. Розглянемо, як приклад, побудову піраміди.
4.8. ПОБУДОВА ВЕРШИНИ ТРИКУТНОЇ ПІРАМІДИ ПО ЗАДАНІЙ ОСНОВІ, ВИСОТА ЯКОЇ ПРОЕКЦІЮЄТЬСЯ В ЦЕНТРОИД ОСНОВИ.
Викладки цього розділу є розрахунковою основою одного із епюрів з курсу нарисної геометрії.
4.8.1. ВСТУП.
Будь-яка інженерна діяльність ґрунтується на математичному і геометричному моделюванні плоских і просторових форм. Опис цих форм спирається на одержання результату у виді зображення заданого геометричного образу. Проміжні етапи конструювання знаходять висвітлення у виді усе більш схематичних креслень, тому що процес створення більш конкретних і наочних зображень стає трудомістким і не встигає за мисленням конструктора. У складних інженерних конструкціях процес одержання зображення є гальмом у роботі конструктора.
69
Таким чином, потреби технічного розвитку вимагають значного прискорення етапів конструювання. Використання сучасних обчислювальних машин можуть забезпечити темпи створення не застарілих технологій і конкурентно здатної продукції. Виникає проблема гармонічного з'єднання образного мислення інженера з цифровою мовою ЕОМ. Цю задачу може успішно вирішити точкове числення, що з'єднує в собі геометричні образи з обчислювальними формулами. Точка в цьому численні є об'єктом обчислення і об'єктом геометричної формули. Конструктор, задаючи образ геометричними категоріями, може описувати етапи мислення обчислювальними формулами. Причому геометричний алгоритм конструювання формули знаходить висвітлення в обчислювальному алгоритмі, що переводиться програмістом на мову ЕОМ без посередника – математика. Якщо ж конструктор володіє знаннями програміста, то він у своє розпорядження одержує ЕОМ, як універсальний інструмент швидкого, точного зображення на екрані дисплея процесу конструювання.
4.8.2. БАЗОВІ ПОНЯТТЯ 1. Базові поняття розв’язання інженерно-графічної задачі: побудова піраміди по
заданій основі і висоті d на основі порівняння двох алгоритмів геометричного й обчислювального.
Для побудови креслення, як відомо, необхідно мати об'єкт (оригінал), картинну площину (площина проекцій) і алгоритм (правило) побудови креслення.
Під об'єктом (оригіналом) домовимося розуміти будь-який реальний або уявний технічний пристрій або окрему деталь. При цьому в процесі побудови креслення нас цікавлять тільки його геометричні особливості, тобто характер і ступінь складності обмежуючих його поверхонь, а також окремі точки і лінії. Сукупність цих особливостей оригіналу умовимося називати його геометричним образом.
Геометричний образ оригіналу може бути досить складним. Тому для зручності вивчення розіб'ємо його на більш прості геометричні образи – точки, лінії, поверхні.
Найбільш простим геометричним образом є точка. Геометричні елементи більш високого рівня складності можуть бути утворені кінематичним способом, тобто шляхом переміщення в просторі більш простих геометричних елементів по визначеному закону. Так,
наприклад, лінія може бути утворена рухом точки, |
S |
|
поверхня – рухом лінії. |
||
|
||
Для побудови креслення необхідно задати |
|
|
послідовність виконання дій для досягнення |
|
|
поставленої в умові мети, тобто алгоритм |
|
розв’язання задачі. |
П1 |
|
Як алгоритм побудови креслення прийнята |
|
|
паралельна проекція, в основі якої лежить метод |
O |
|
проектування. |
||
Для побудови креслення оригінал необхідно |
m |
|
|
||
попередньо задати, тобто описати таким чином, |
|
|
щоб побудувати будь-яку його точку, а також |
Рис. 4.12 |
|
зафіксувати його в просторі. За умовою задачі нам |
||
|
70
необхідно задати відсутню вершину трикутної піраміди по заданій основі і висоті d, при цьому висота проекціюється в центроїд основи піраміди.
Ми не будемо зупинятися докладно на способах завдання пірамідальних поверхонь. Зупинимося на способі побудови піраміди.
Якщо пірамідальну поверхню перетнути площиною П1, то тіло, обмежене пірамідальною поверхнею і цією площиною прийнято називати пірамідою (рис.4.12). Частина площини П1, обмежена багатокутником m, називається основою піраміди, а пірамідальна поверхня – бічною поверхнею. Перпендикуляр SO, опущений з вершини S на основу, називають висотою піраміди.
У такий спосіб піраміда – це геометричне тіло, у якого основа – довільний багатокутник, а бічні грані – трикутники з загальною вершиною S, названою вершиною піраміди. Перпендикуляр, опущений з вершини на підставу, називається висотою піраміди. Назва піраміди залежить від кількості бічних граней (тригранна, якщо в неї три бічні грані і т.д.).
Поняття центроїда основи піраміди, як взагалі будь-якої плоскої фігури, довільно заданої в просторі тісно зв'язано з ім'ям німецького вченого А.Ф. Мьобіуса, що у 1827р. у своїй роботі “Барицентричне числення” започаткував основи прямим операціям над геометричними об'єктами.
Числення починається з того, що визначаються об'єкти і дії над ними. Об'єктами алгебраїчних операцій у Мьобіуса служили точки (точкове числення), до яких він приєднував маси, узагальнивши поняття маси в тому напрямку, що вона може приймати не тільки додатні, але і від’ємні значення.
При розв’язанні задач про те, які маси Т1, Т2, Т3 варто помістити в точках A, B, C, щоб вони визначили єдиний центроїд Т площини ABC, як показано на рис. 4.13 А. Мьобіус ввів поняття барицентричних координат, для яких значення має тільки їх відношення. З'єднуючи
точку Т с точками A, B, C |
Мьобіус прийшов до висновку про те, що площі отриманих |
||||||||||||||||||||||
трикутників TBC (a1); TAB (a3); TCA (a2) |
|
C T3 |
|
||||||||||||||||||||
пропорційні |
|
|
|
|
|
барицентричним |
|
|
|||||||||||||||
координатам точки Т, наприклад: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
T1 |
= |
|
a1 |
|
; |
T1 |
|
|
= |
|
a1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
T 3 |
|
|
a 3 |
T 2 |
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
і їхнє відношення з умови визначення |
A |
T |
|
||||||||||||||||||||
центроїда трикутника дорівнює 1, тобто |
T1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
T1 |
= 1 |
|
T1 |
|
|
= 1 |
|
|
T =T =T |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
; T 2 |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
T 3 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Випадок, |
|
|
|
коли |
|
точка |
Т |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.13 |
|
|
||||||||||||||
знаходиться |
|
|
поза |
|
|
|
трикутником |
|
|
B T2 |
|||||||||||||
враховується |
за |
|
допомогою |
угоди |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
орієнтованістю трикутника.
Такі нормовані барицентричні координати були названі ареальними, тому що вони в точності рівні площам трикутників, якщо прийняти площу всього трикутника за одиницю виміру, тобто