конспекты / end_3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ИМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

КИЗУЧЕНИЮ КУРСА “ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА”

(для студентов инженерно-технических специальностей заочной и ускоренной форм обучения)

Утверждено на заседании кафедры Высшей и прикладной

математики и информатики Протокол № 4 от 11.03.2005

МАКЕЕВКА, 2005

УДК 51 (07)

Задания для контрольных работ и методические указания к изучению курса “Высшая математика” (для студентов инженерно-технических специальностей заочной и ускоренной форм обучения) / Сост.: Ковалев И.Н., Кононыхин Г.А., Шитов А.А., Шурко Г.К., Александрова О.В., Жмыхова Т.В., Чудина Е.Ю. – Макеевка: ДонНАСА, 2005. – 111 с.

Данное пособие содержит задачи для контрольных работ по курсу высшей математики с примерами их решений. Указания призваны помочь студентам овладеть основными теоретическими положениями и практическими навыками решений типовых задач. Необходимые теоретические сведения приводятся в разобранных примерах.

Научный редактор: д.т.н., проф. Левин В.М.

Ответственный за выпуск: к.ф.-м.н., доц. Шитов А.А.

3

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют большую роль. Это обусловлено прежде всего быстрым развитием вычислительной техники, благодаря которой все время существенно расширяются возможности успешного применения математики при решении конкретных задач.

Математика является фундаментальной дисциплиной. Ее преподавание предусматривает:

•развитие логического и алгоритмического мышления;

•овладение основными методами исследования и решения математических задач;

•овладение основными численными методами математики и их простейшими реализациями на ЭВМ;

•выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных (инженерных) задач. Общий курс математики является фундаментом математического

образования инженера, имеющим важное значение для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, которые предусмотрены учебными планами различных специальностей.

В настоящее время в системе высшего образования существуют три формы обучения: дневная (или стационарная), ускоренная и заочная. Объем и содержание дисциплин учебного плана той или иной специальности не зависят от формы обучения, но методика их изучения при различных формах обучения различна. В условиях дневной формы обучения содержание курса высшей математики излагается на лекциях; на практических занятиях студенты овладевают основными методами и приемами решения математических задач. Число часов, отводимых на лекции и практические занятия, и определяют объем курса высшей математики для данной специальности.

Настоящее пособие является методическим руководством для изучения общего курса высшей математики студентами-заочниками инженернотехнических специальностей. Оно содержит общие рекомендации студентузаочнику по работе над курсом высшей математики с вопросами для самопроверки и контрольные задания (десять вариантов) с примерами решения задач и соответствующими методическими указаниями по темам курса.

Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение

5

контрольных работ. В помощь заочникам институты организуют чтение лекций, практические занятия и лабораторные работы. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также

впроцессе рецензирования контрольных работ. Однако, студент должен помнить, что при систематической и упорной самостоятельной работе помощь ВУЗа окажется достаточно эффективной. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача зачетов и экзаменов

всоответствии с учебным планом.

Чтение учебника

1.Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, производя на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебнике) и выполняя имеющиеся в учебнике чертежи.

2.Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.

3.Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательств сложных теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих и не обладающих свойствами, указанными в предположениях и утверждениях теорем.

4.При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. д. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя.

5.Письменное оформление работы студента имеет исключительно важное значение. Записи в конспекте должны быть сделаны чисто, аккуратно и расположены в определенном порядке. Хорошее внешнее оформление конспекта по изученному материалу не только приучит студента к необходимому в работе порядку, но и позволит ему избежать многочисленных ошибок, которые происходят из-за небрежных, беспорядочных записей.

6.Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление списка, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой список не только помогает

6

запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником для студента.

Решение задач

1.Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.

2.При решении задач нужно обосновывать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения, то он должен сравнить их и выбрать из них самый лучший. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения.

3.Решения задач и примеров следует излагать подробно, а вычисления в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями. Если чертеж требует особо тщательного выполнения (например, при графической проверке решения, полученного путем вычислений), то следует пользоваться линейкой, транспортиром, лекалом и указывать масштаб.

4.Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием, и по возможности с выводом формулы в общем виде. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если они даны). В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения

корней, числа π и т. п.

5.Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретным физическим или геометрическим содержанием, то полезно, прежде всего, проверить размерность полученного ответа. Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.

6.Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения устойчивых навыков в их решении.

Самопроверка

1.После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем. Вопросы для самопроверки, приведенные в настоящем пособии, даны с целью помочь студенту в повторении, закреплении и проверке прочности усвоения изученного материала. В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в материале учебника, решить ряд задач.

2.Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.

3.Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма

7

распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Часто правильное решение задачи получается в результате применения механически заученных формул, без понимания существа дела. Можно сказать, что умение решать задачи является необходимым, но недостаточным признаком хорошего знания теории.

Консультации

1.Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), то он может обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации.

2.В своих вопросах студент должен точно указать, в чем он испытывает затруднение. Если он не разобрался в теоретических объяснениях, или в доказательстве теоремы, или в выводе формулы по учебнику, то нужно указать, какой это учебник, год его издания и страницу, где рассмотрен затрудняющий его вопрос, и что именно его затрудняет. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести предполагаемый план решения.

3.За консультацией следует обращаться и при сомнении в правильности ответов на вопросы для самопроверки.

Контрольные работы

1.В процессе изучения курса математики студент должен выполнить ряд контрольных работ, главная цель которых – оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса; указывают на имеющиеся у него пробелы

взнаниях, на желательное направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем.

2.Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил это требование.

3.Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателюрецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к устному зачету и экзамену.

4.Не рекомендуется присылать в академию одновременно работы по нескольким заданиям: это не дает возможности рецензенту своевременно

8

указать студенту на допущенные им ошибки и удлиняет срок рецензирования работ.

5. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.

Лекции, практические занятия и лабораторные работы

Во время экзаменационно-установочных сессий для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия. Они носят, как правило, обзорный характер. Их цель обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие места, указать главные практические приложения теоретического материала, привести факты из истории науки. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подробно рассмотрены отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях.

Для студентов ускоренной формы обучения лекции и практические занятия проводятся в течение всего учебного года и носят более систематический характер, однако и они призваны оказать только лишь помощь студенту в его самостоятельной работе.

Зачеты и экзамены

На экзаменах и зачетах выясняется, прежде всего, отчетливое усвоение всех теоретических и практических вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела; решение задач в простейших случаях должно выполняться без ошибок и уверенно; всякая письменная и графическая работа должна быть сделана аккуратно и четко. Только при выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым программой.

При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуется повторить по учебнику и конспекту.

ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ДЛЯ ИНЖЕНЕРНОТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

(600 учебных часов)

I.Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

1.Трехмерное пространство R3. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейные пространства. Линейно независимые системы

9

векторов. Базис.

2.Скалярное произведение в R3 и его свойства. Аксиоматическое определение скалярного произведения в линейном пространстве. Длина

вектора. Расстояние. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами. Пространство Rn. Ортогональный базис. Разложение вектора по базису.

3.Уравнение плоскости в R3 (векторная и координатная формы). Уравнение гиперплоскости в Rn (векторная и координатная формы). Прямая в Rn (векторная и координатная формы).

4.Определители второго и третьего порядков, их свойства. Определители n- го порядка, их свойства. Ранг матрицы.

5.Векторное произведение и его свойства. Смешанное произведение и его свойства.

6.Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера. Обратная матрица. Теорема Кронекера—Капелли.

7.Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Собственные векторы и собственные значения самосопряженных операторов. Теорема о полноте собственных векторов.

II.Введение в математический анализ.

8.Множество вещественных чисел. Числовые последовательности. Предел. Верхние и нижние грани множеств. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функций, имеющих предел.

9.Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций.

10.Бесконечно малые функции и их свойства.

11.Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими функциями и бесконечно малыми.

12.Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Их использование при вычислении пределов.

13.Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность суммы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функции.

14.Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.

15.Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

16.Производная функции, ее геометрический и механический смысл.

10

Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса).

17.Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

18.Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы дифференциала.

19.Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Инвариантность формы дифференциалов порядка выше первого.

20.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя. 21.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Представление функций еx, cos x, sin x, ln (l + x), (1 + x)α по формуле Тейлора. Приложения формулы Тейлора. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

IV. Исследование функций с помощью производных.

22.Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

23.Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.

V. Неопределенный интеграл.

24.Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.

25.Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Использование таблиц интегралов.

VI. Определенный интеграл.

26.Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла.

27.Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона— Лейбница.

28.Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и