Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донбасская национальная академия строительства и архитектуры

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

конспекты / end_3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

855.41 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

	− x,	x <1;
55.	f (x)= x2 ,	1 ≤ x ≤ 3;
	− 2x +15,		x > 3.

	sin x,	x ≤ 0;
57.	f (x)= 2x,	0 < x < 2;
		x ≥ 2.
	4 − x,	x ≥ 2.
	cos x,	x ≤ −π 2;
59.	f (x)= x + π 2,		− π 2 < x ≤1;
		x >1.
	x2 ,	x >1.

	2(x +1), x ≤ −2;
56.	f (x)= − 2 − x,			− 2 < x ≤ 2;
	− x +1,		x > 2.

	−sin x,		x	< −π			2	;
							2
58. f (x)= −sin x +1,				−π			2	≤ x <π	2	;
		x ≥π					2		2
						.
	cos x,				2	.
					2
	− 2 +3x,			x <1;
60.	f (x)= x2 + 2,		1 ≤ x ≤ 3;
	4x −1,		x > 3.

Литература к задачам 51-60: [3], т.1, гл.IV, §6; [4], т.1, гл.II, §9; [5], т.I, р.II, гл.III, §15,16; [6], гл.III, §4; [9], с.343-358; [11], гл.II, §2; [12], §2.8; [15], гл.I, §10; [21], гл.3, §5; [22], §3.4; [25], гл.4, §4.7.

x +1, x < −3;
Пример. f (x)= x2 −11,	−3 ≤ x ≤ 4;
x − 4,	x > 4.

Очевидно, в каждом из трех интервалов функция является непрерывной, поэтому исследуем функцию на непрерывность в точках x = −3 и x = 4, в которых она меняет свой вид. Для этого вычислим пределы слева и справа, а также значения функции в этих точка. Если для одной точки все эти величины совпадают, то функция непрерывна, в противном же случае она терпит разрыв, характер которого определяется из значения пределов.

При расчете предела слева в точке x = −3 необходимо учесть, что в этом интервале f (x)= x +1, поэтому

lim	f (x)=	lim	(x +1)= lim(−3 −ε +1)= −2 .
x→−3−ε	x→−3−ε		ε→0	f (x)= x2 −11,
При расчете же предела справа в точке x = −3 имеем				f (x)= x2 −11,
поэтому	f (x)=		(x2 −11)= lim((−3 +ε)2 −11)= −2 .
lim	f (x)=	lim	(x2 −11)= lim((−3 +ε)2 −11)= −2 .
x→−3+ε	x→−3+ε		ε→0
Кроме	того,	f (−3)= (−3)2 −11 = −2 , так как,		по условию,
f (x)= x2 −11 при x = −3 . Итак,
lim	f (x)=	lim	f (x)= f (−3),
x→−3−ε	x→−3+ε

следовательно, функция y = f (x) непрерывна в точке x = −3 .

Аналогично,		(x2 −11)= lim((4 −ε)2 −11)= 5,
lim	f (x)= lim	(x2 −11)= lim((4 −ε)2 −11)= 5,
x→4−ε	x→4−ε	ε→0
lim	f (x)= lim	(x − 4)= lim(4 +ε − 4)= 0 ,
x→4+ε	x→4+ε	ε→0
f (4)= (4)2 −11 = 5.
Таким образом,
lim	f (x)≠ lim	f (x),
x→4−ε	x→4+ε

следовательно, в точке x = 4 функция y = f (x) терпит разрыв первого

рода.

Сделаем чертеж. При этом если одна из ветвей функции не задана в точке, то будем отмечать ее стрелкой

y=x

-3

O			x
		4





	-2
	-2

y=x+1

							y=x2-11
				-11
	ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
61-70. Найти производные			dy данных функций.
			dx		x
61.	а) y =tgx ;		б) y =		x		;		в) y = xarctg ln x ;
61.	а) y =tgx ;		б) y =		cos x		;		в) y = xarctg ln x ;
	г) y = cose3x ;				cos x
	г) y = cose3x ;	д) x + y + arcsin x = 0 .
62.	а) y = 3 x2 ;		б)	y =		5x + 2		;	в) y = x2tg	x	;
	г) y = cos(sin x);					2x −1			2
	г) y = cos(sin x);	д)	x2 + xy3 − y = 0 .

63.а)

г)

64.а)

г)

65.а)

г)

66.а)

г)

67.а)

г)

68.а)

г)

69.а)

г)

70.а)

г)

y =

;

б) y

sin 3x

;

sin 2x

y =

3 x +

tg 5 x ; д) ln y − arctgy = 2x .

y = 3x2 +5x +1;

б) y =

;

1− x3

1+ x

y =

; д)

exy + yx = x .

1− x

y =sin x −cos x ;

б)

y =

;

y = ln3 x2 ;

д) exy − xy =1.

y = x + x2 − 2 ;

б) y

;

cos x

y = arctg sin x ;

д)

x2 y + y2 sin x =1.

y =

б) y =

x3 + 2x

;

y = 2tg

ytgx −exy = 0.

;

д)

y =

;

б)

y =

1 −sin x

;

1 + sin x

y = ln(ln x);

д) ln y + xy = 0 .

y =

;

б) y

;

4 x3

sin x

y = cos(ln 3x);

д) ex cos(xy)+ ey

= 0 .

y =1+33 x ;

б) y =

ln x

; в)

+ x2

y = ln(x2 −3x + 2);

д) y2 cos x − 4sin 3x = 0 .

в) y = (1+ x)2 (1− x2 );

в) y = x arccos 1x ;

в) y = x ln 1+ x ;

в) y = (x4 +1)ex2 ;

в) y = sin 2 x cos x ;

в) y = x3 arccos2x ;

в) y = (2 − x2 )cos5x ;

y = (x3 + 2x)(1+ 3 x2 +3x);

Литература к задачам 61-70: [3], т.1, гл.V, §1; [4], т.1, гл.III, §2, 9, 11, 12, 15, 16, 18; [9], с.358-407; [11], гл.III, §2; [15], гл.II, §1-7,9,10; [21], гл.4, §4-7, 19; [22], §4.5, 4.7, 4.19; [25], гл.5, §5.1-5.3.

Пример.			2 .
	а) y = 5 x3	+	2 .
			x4			−4 ′
	y′ =		3			−4 ′		3		3		−1	+ 2 (− 4)x	−5		3		−2			−5			3		8
		x		5	+ 2x		=		x		5				=		x		5	−8x		=			−	x5	.
		x		5	+ 2x		=	5	x		5				=	5	x		5	−8x		=	55	x3	−		.
								5								5							55	x3

б) y = x + 1− x2 arccos x .

Воспользуемся формулами для производной суммы двух функций и их произведения:

′

= u

′

Будем иметь:

(u + v)

+ v ,

(uv)

= u v +uv

′

− x

arccos x +

1− x

′

′ =1+

(arccos x)

=1+ arccos x

(1− x2 )′ −

1− x2

=1− 2x arccos x

−1 = − x arccos x .

2 1− x2

1− x2

2 1− x2

1− x2

в)

y = sin 2x .

cos2 x

Применим правило дифференцирования частного двух функций:

′

−uv

′

u v

Будем иметь:

(sin 2x)′cos2 x −(cos2 x)′sin 2x

sin 2x

y′ = cos2 x

cos4x

2cos2xcos2 x + 2cos xsin xsin 2x

cos4 x

2cos2 x(cos2x + 2sin2 x)

(cos2 x −sin2 x + 2sin2 x)=

cos

г)

y = ln arcsin

Применим правило дифференцирования сложной функции:

если y = f

(u), а u =ϕ(x), то y′x = fu′

ϕ′x . Тогда получим:

′ =

′

arcsin

2 x

arcsin x

1−

−

= −

−1

arcsin

1−

arcsin

д) x3 y + e y = 0 .

y = f (x)

Так как функция

задана неявно, то продифференцируем

левую и правую части, помня, что y = y(x):

3x2 y + x3 y′+ e y y′ = 0 .

Выражая отсюда y′, получаем:

(x3 + e y ) y′ = −3x2 y ;

′

3x2 y

= − x

3 + e y .

71-80. Найти

d 2 y

для

заданных

функций: а) y = f (x);

dx2

б) x =ϕ(t), y =ψ(t).

71. а)

y = x ln x ,

б)

x = 3t −t3 ,

y = 2t −t 2 .

72. а)

y = x arcsin x ,

б)

x = et sin t ,

y = et cost .

73. а)

y = x tgx ,

б)

x = a cost ,

y = a sin t .

74. а)

y = ex sin 2x ,

б)

x = sin 2t ,

y = cos 2t .

75. а)

y =

б)

x = t 2 + 4,

y = t3 −t .

− x2

x = e2t , y = e3t .

76. а)

y = sin

x ,

б)

77. а)

y = esin x ,

б)

x = 2(t −sin t),

y = 2(1−cost).

78. а)

y = ln tgx ,

б)

x = 2t −t 2 ,

y = 3t −t3.

79. а)

y =

ln x

б)

x = a(cost +sin t), y = a(sin t −cost).

80. а)

y =

sin x

б)

x = t 2 , y =

−t .

Литература к задачам 71-80: [3], т.1, гл.V, §1; [4], т.1, гл.III, §22, 24; [9], с.418-423; [11], гл.III, §5; [15], гл.II, §8,10; [21], гл.4, §12; [22], §4.12; [25], гл.5, §5.4.

Пример. а) y = x

1+ x

б) x = cos

2 t

, y = t

−sin t .

а)

′

1+ x

1+ 2x2

1+ x2

1+ x2 ,

4x 1+ x2 −

x + 2x3

x(3 + 2x2 )

′′

1+ x2

3x + 2x3

1+ x2

= (1+ x2 )3 2 = (1+ x2 )3 2 .

б) Так как

yt′

, а

xt′

xt′ = −cos

sin

yt′ =1−cost

= 2sin

, то

2sin

2 t

= −

= −2tg

cos

sin

Чтобы найти вторую производную по х, необходимо

продифференцировать

по

полученное

значение dy dx , являющееся

опять таки функцией переменной t, поэтому

′

d 2 y

d dy

dx2

xt′

dx dx

′

− 2tg

′

, следовательно,

= −

cos2 (t 2)

d 2 y

− cos2 (t 2)

dx2

− cos(t

2)sin(t

sin(t

2)cos3(t 2)

81-90. Найти пределы функций, воспользовавшись правилом Лопиталя.

81.а)

lim

sin2 3x

б)

lim

ln x

x→0

x→∞ x

82.а)

lim

2cos5x − 2 ,

б)

lim

ln x

x→0

x→1

1− x3

83.а)

lim

x − a

б)

lim

1−cos x

xn − an

x→a

x→0

84.а)

lim

1−cos ax

б)

lim

x −1

1−cosbx

x→0

x→1

ln x

85.а)

lim

2x2

+3x − 2

б)

lim

tgx −sin x

4x2 +8x +

x −sin x

x→+∞

x→0

86.а)

lim

tgx

б)

lim

ex −1

x→0 tg3x

x→0 sin 2x

87.а)

lim

ln x

б)

lim

x→0 ctgx

x→+∞ x3

88.а)

lim

eax

−ebx

б)

lim

1−tgx

sin x

cos 2x

x→0

x→π

ax − ex

89.а)

lim

−

2sin x

б)

lim

cos3x

tgx

x→0

x→6

90.а)

lim

б)

lim

x −sin x

x→+∞ x3

x→0

Литература к задачам 81-90: [3], т.1, гл.5, §2; [4], т.1, гл.4, §4,5; [15],

гл.2, §2; [25], гл.5, §5.5.

Пример.

f (x)

Рассмотрим предел отношения двух функций lim

. Если в результате

g(x)

x→a

вычисления

предела получается

неопределенность типа

∞

или

, то

∞

предел может быть вычислен по правилу Лопиталя. Если существуют

производные

от

функций f(x)

g(x)

на

некотором

интервале

(

b ) (и

′

существует

конечный

или

бесконечный

предел

g (x) ≠ 0, x (a;b) ),

lim

f ′(x)

= k ,

то

исходный

предел

может

быть

вычислен

по

формуле

g′(x)

x→a

f ′(x)

lim

f (x)

= lim

= k .

g(x)

g′(x)

x→a

ln(x)

− ∞

a) lim

неопределеность

− ∞

, поправилу Лопиталя

x→0 ln(sin x)

= lim

(ln(x))′

= lim

1 x

= lim

sin x

= lim

sin x

lim

x→0 (ln(sin x))′

x→0 cos x sin x

x→0 xcos x

x→0

x→0 cos x

=1 lim

=1, так как lim

sin x

=1(Первыйзамечательныйпредел).

x→0 cos x

x→0

−

б) lim

неопределеность

, по правилу Лопиталя

x→0 ln(1+ 2x)

= lim

(ex

−1)′

= lim

(ln(1+ 2x))′

2 (1+

2x)

x→0

91-100. Найти наименьшее и наибольшее значения функции y = f (x) на отрезке

[a;b].

91. y = x5 −5x , [−2;2]. 92. y = 4 − x2 , [−2;1].

93.

y = 3x3 −36x +1,

[1;3].

94.

y = 2x4 + x ,

[−2;1].

95.

y =

−cos x ,

[−

;

96.

y = x6 −2x3 ,

[−1;1].

97.

y = x −tgx ,

[−

;

98.

y = 3x5 −20x3 + 2 ,

[−1;2].

99.

y = 3sin x −

x +1,

[0; π

100. y = 6x7 − 21x2 +5,

[−1;1].

Литература к задачам 91-100: [3], т.1, гл.V, §2; [4], т.1, гл.V, §6; [5], т.II, р.I, гл.II, §3; [6], гл.IV, §6; [9], с.439-449; [11], гл.IV, §2; [12], §4.1; [15], гл.III, §5; [25], гл.6, §6.7.

Пример. y = 3x2 + 6x +1,

[−2;0] .

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке необходимо определить значения функции в критических точках (если такие существуют на заданном отрезке) и на границах отрезка, после чего выбрать из всех значений наибольшее и наименьшее.

Найдем критические точки:

y′ = 6x + 6 , y′ = 0 x = −1; −1 [−2;0]; y(−1)= −2 .

Значения на границах: y(− 2)=1, y(0)=1.

Таким образом,

yнаиб = y(−1)= −2 , yнаим = y(− 2)= y(0)=1.

101. Кусок проволоки длиной 36 см согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.

102. Из квадратного листа жести, сторона которого равна a, требуется сделать открытый сверху ящик, возможно большей емкости, вырезая по углам равные квадраты и затем, загибая края, чтобы образовать бока ящика. Какова должна быть длина стороны вырезанных квадратов?

103. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью в S квадратных метров и разделить, затем этот участок на 3 равные прямоугольные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора окажется наименьшей, и чему она равна?

104. Величина угла при вершине А трапеции ABCD равна α . Длина боковой стороны AB вдвое больше длины меньшего основания BC. При каком значении α величина угла BAC будет наибольшей, и чему она будет равна?

105. Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, имеющего наибольшую площадь при данной постоянной длине медианы, проведенной к его боковой стороне.

106. Нормандское окно имеет форму прямоугольника, завершенного

полукругом. Дан периметр фигуры P. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света.

107. Кровельщик делает из жести открытый сверху желоб, имеющий в поперечном сечении форму равнобедренной трапеции, причем основание трапеции и боковая сторона должны быть длиною 2 дм. Чему должно быть равно верхнее основание трапеции, чтобы площадь поперечного сечения желоба была наибольшей?

108. Поверхность открытого сверху резервуара, имеющего квадратное дно, требуется выложить изнутри свинцом. Каковы должны быть измерения резервуара, чтобы потребовалось наименьшее количество свинца, если он должен вмещать 32 литра воды?

109. Известно, что мощность P, отдаваемая электрическим элементом, определяется по формуле P=E2R/(R+r)2, где E -постоянная электродвижущая сила элемента, r-постоянное внутреннее сопротивление, R-внешнее сопротивление. Каким должно быть внешнее сопротивление R, чтобы мощность P была наибольшей? Каково значение этой мощности?

110. Прочность балки прямоугольного поперечного сечения пропорциональна произведению ширины балки на квадрат высоты. Определить размеры наиболее прочной балки, которую можно вырезать из цилиндрического бревна диаметром d.

Литература к задачам 101-110: [4], т.1, гл.V, §7; [6], гл.IV, §1; [9], с.358364, 439-463; [15], гл.III, §6.

Пример. Площадь поверхности сферы равна S. Какова высота цилиндра наибольшего объема, вписанного в эту сферу? Чему равен этот объем?

Пусть цилиндр образован вращением

прямоугольника ABCD вокруг диаметра MN.

Полагая AD=x, выразим объем V цилиндра

как функцию

от x. Имеем,

S = 4πOB2 ,

откуда

OB2 = S 4π.

Далее,

из

∆AOB

AB2 = OB2 −OA2 ,

получим

то

есть

AB2 =

−

S − πx2

. Тогда

объем

4π

Sx − πx3

цилиндра равен V (x)= πAB2 AD =

′

S −3πx2

′

;

при

V (x)=

V (x)= 0

S −3πx2 = 0. Отсюда находим

x =

(так как x>0). При 0 < x <

3π

′

а если x >

x = 3π

имеем V

(x)> 0 ,

3π , то V (x)< 0 . Следовательно,

является

точкой

максимума и соответствует

наибольшему

объему

− π

V (x)==

3π

3π = S S .

3π

ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

111-120. Исследовать

методами

дифференциального

исчисления функцию

y = f (x) и, используя результаты исследования, построить ее график.

111.	y =		x2		.
111.	y =				.
	1 − x2
113.	y =		x3			.
113.	y =	3 − x		2		.
		3 − x		2
115.	y =		x3			.
115.	y =		x2 −	3		.
			x2 −	3
			2x −1
117.	y =						.
117.	y =		(x −1)2				.

119.y = x3 −3x .

x2 −1

112.	y =			x		.

			x2 −1
114.	y =			x3	.
		1		− x

116.	y =			4x2			.
			3 + x2

118.y = x2 − 2 .

120. y = exx .

Литература к задачам 111-120: [3], т.1, гл.V, §2; [4], т.1, гл.V, §2-5, 9-11; [5], т.II, р.I, гл.II; [6], гл.IV, §6,7; [9], с.471-481; [11], гл.IV, §2,3; [12], §4.1,4.2; [15], гл.III, §3-9; [21], гл.4, §27-31; [22], §4.30-4.33; [25], гл.6, §6.2-6.6.

Пример. y = x2 −5 . x −3

1.Область определения: x (−∞;3) (3;+∞).

2.f (− x)≠ f (x), f (− x)≠ − f (x), -следовательно, функция не является

четной, нечетной, периодической.

3. Исследуем характер точки разрыва x = 3 и поведение функции вблизи этой точки:

lim	x2 −5	= lim	(3 −ε)2 −5	= lim	4		= −∞,
	x −3		3 −ε −3		−ε
x→3−ε		ε→0		ε→0
lim	x2 −5	= lim	(3 + ε)2 −5	= lim	4	= +∞.
	x −3		3 + ε −3		ε
x→3+ε		ε→0		ε→0

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке конспекты

#
21.02.2016441.9 Кб17---.---.1-- -.--.pdf
#
21.02.2016706.64 Кб23---_-------_Excel (1).pdf
#
21.02.2016706.64 Кб20---_-------_Excel.pdf
#
21.02.20164.64 Mб43123.pdf
#
21.02.20161.55 Mб201234.pdf
#
21.02.2016855.41 Кб32end_3.pdf