конспекты / end_3

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донбасская национальная академия строительства и архитектуры

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Найти: M(X), D(X ), P(−4≤ X ≤−2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

855.41 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Тогда вероятность, что среди выбранных шаров хотя бы три красных

шара:

P = 1499 + 991 = 1599 .

361.25% всех мужчин носят обувь 43 размера. Найти вероятности: а) из 7 мужчин 2 носят обувь 43 размера; б) из 60 ровно 15 носят обувь 43 размера;

в) не меньше 25 из 80 носят обувь 43 размера.

362.Вероятность того, что изделие бракованное 0,15. Найти вероятности: а) из 7 изделий 5 не будут бракованными; б) из 60 изделий 10 будут бракованными;

в) среди 100 изделий бракованных от 12 до 20.

363.Вероятность того, что изделие стандартно 0,8. Найти вероятности:

а) из 5 деталей стандартны 3 детали; б) из 40 деталей ровно 30 стандартны; в) из 50 деталей хотя бы 40 стандартны.

364. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0,8. Найти вероятности:

а) при 5 выстрелах будет 4 попадания; б) при 40 выстрелах будет 32 попадания;

в) при 200 выстрелах попаданий будет больше 150.

365.Вероятность того, что изделие бракованное 0,05. Найти вероятности: а) из 8 изделий 5 не будут бракованными; б) из 40 изделий 12 будут бракованными;

в) среди 120 изделий бракованных от 50 до 90.

366.Вероятность того, что изделие стандартно 0,85. Найти вероятности: а) из 15 деталей стандартны 13 деталей; б) из 40 деталей ровно 25 стандартны; в) из 50 деталей больше 35 стандартны.

367.Вероятность того, что покупатель сделает в магазине покупку 0,4. Найти вероятности:

а) из 5 покупателей 2 сделают покупку; б) из 30 покупателей 20 сделают покупку;

в) из 60 покупателей покупку сделают меньше 20 покупателей.

368. Кидают игральный кубик. Найти вероятности: а) при 5 бросках ровно 2 раза выпадет 6 очков; б) при 50 бросках 15 раз выпадет 6 очков;

в) при 80 бросках 6 очков выпадет не меньше 10 раз.

368. Ученик получает по предмету оценку “отлично” с вероятностью 0,2. Найти вероятности:

а) среди 7 учеников 3 получат оценку “отлично”; б) среди 30 учеников 10 получат оценку “отлично”;

в) среди 80 учеников не меньше 30 получат отличную оценку.

370. Наудачу бросают монету. Найти вероятности: а) герб выпадет 6 раз из 7; б) герб выпадет 20 раз из 40;

в) герб выпадет не меньше 50 раз из 100.

Пример. Вероятность того, что изделие стандартно 0,8. Найти вероятности:

а) из 10 деталей стандартны 9 деталей; б) из 100 деталей ровно 75 стандартны; в) из 100 деталей меньше 80 стандартны.

а) Используем формулу Бернулли, которая принадлежит к схеме независимых повторных испытаний.

Проводится n независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одной и той же вероятностью P(A) = p . Обозначим Pn (k) - вероятность того, что в n испытаниях

событие А появится ровно k раз. Иногда говорят, что Pn (k) - вероятность того, что в n испытаниях было k успехов. Тогда

P (k) = C k pk qn−k , q =1− p, 0 ≤ k ≤ n .
n	n

Количество испытаний в данной задаче n = 10. Вероятность того, что изделие стандартно p = 0,8; q =1−0,8 = 0,2.

Найдем вероятность, что стандартны 9 деталей из 10, т.е. число успехов равно 9.

P10 (9) = C109 (0,8)9 (0,2)10−9 = 9!(1010−! 9)!(0,8)9 (0,2)1 = 0,268.

б) Так как число испытаний велико и вычисление по формуле Бернулли трудоемко, то при решении необходимо пользоваться теоремами Лапласа.

Локальная теорема Лапласа:

Pn (k) =

ϕ(x) =

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна P, событие наступает ровно k раз (безразлично в какой последовательности), приближенно равна

npq1 ϕ(x),

где

21π e−x2 / 2 , x = k −npqnp .

Для функции ϕ(x) имеются специальные таблицы. Функция ϕ(x) -

четная функция, то есть

ϕ(x) =ϕ(−x).

Если x > 4, то можно с большой степенью точности считать, что ϕ(x) = 0.

В данной задаче n = 100, вероятность успеха p = 0,8, q = 1 - 0,8 = 0,2. Вероятность того, что событие появится ровно 75 раз, вычисляется

по локальной теореме Лапласа

		1		75 −0,8 100		1		5
P100 (75)	=				=		ϕ −		=
P100 (75)	=	0,8 0,2	ϕ	100 0,8 0,2	=	4	ϕ −	4	=
	100	0,8 0,2		100 0,8 0,2		4		4

= 0,25 ϕ(1,25)= 0,25 0,1826 = 0,0457.

Здесь было использовано тот факт, что ϕ(−1,25) =ϕ(1,25). Значение ϕ(x) найдено по таблице.

в) Интегральная теорема Лапласа:

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна

Pn (k1,k2 ) = Φ(x′′) −Φ(x′),

где

	1	x	t2		x′ = k1 −np		x′′ = k2 −np .
Φ(x) =		∫e−		dt,		,
			2
	2π	0			npq		npq
Для Φ(x) -функции Лапласа составлены специальные таблицы.
Функция Φ(x) - нечетная функция, т.е.
Φ(−x) = −Φ(x) .
Если x > 4,		то можно с большой степенью точности считать, что
Φ(x) = 0,5.

в) Событие “меньше 80 деталей стандартны” означает, стандартная деталь встречается от 0 до 80 раз:

		80 −0,8 100		0 −0,8 100
P100					=
P100	(0,80) = Φ	100 0,8 0,2	−Φ	100 0,8 0,2	=
		100 0,8 0,2		100 0,8 0,2

=Φ(0)−Φ(− 20)= Φ(20)−Φ(0)= 0,5.

371.Закон распределения случайной величины X имеет вид:


	X	-8	-4	-2					0
	P	0,3	P2	0,2					0,1
	Вычислить: P2 , M (X ),		D(X ), σ(X ),	M (		X		),	P(1 ≤ X ≤ 2), D(2X − 4).
	Вычислить: P2 , M (X ),		D(X ), σ(X ),	M (		X		),	P(1 ≤ X ≤ 2), D(2X − 4).
372. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

	X	-5	0	1						5
	P	P1	0,2	0,1						0,3
	Вычислить: P1 , M (X ),		D(X ), σ(X ),	M (2X + 2), P(−3 ≤ X ≤1),							D(3X ).
373. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

	X	-5	-3	-1						0	1
	P	P1	0,1	0,2						0,3	0,2
	Вычислить: P1 , M (X ),		D(X ), σ(X ),	M (2X + 2), P(−1 ≤ X ≤1),							D(3X ).
374. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

	X	-4	-1	0						4	9
	P	0,3	0,1			P3				0,1	0,3
	Вычислить: P3 , M (X ),		D(X ), σ(X ),	M ( X ), P(−1 ≤ X ≤ 4), D(3X + 4).
375. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

	X	0	2	4					9
	P	0,3	0,2		P3				0,2
	Вычислить: P3 , M (X ),		D(X ), σ(X ),	M (	X		),		P(1 ≤ X ≤ 2), D(2X − 4).
	Вычислить: P3 , M (X ),		D(X ), σ(X ),	M (	X		),		P(1 ≤ X ≤ 2), D(2X − 4).

376. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

	X	1	5	9				13	18
	P	0,1	0,36	0,35				0,14	P5
	Вычислить: P5 , M (X ),		D(X ), σ(X ),	M (	X	),	P(1 ≤ X ≤ 8), D(2X −1).
	Вычислить: P5 , M (X ),		D(X ), σ(X ),	M (	X	),	P(1 ≤ X ≤ 8), D(2X −1).
377. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

	X	0	1	3				4
	P	0,3	0,2	0,1				P4
	Вычислить: P , M (X ),		D(X ), σ(X ),	M (X 2 +1), P(−1 ≤ X ≤ 2),					D(X −3).
		4
378. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

	X	-4	-1	0				4	9
	P	0,2	0,1		P3			0,2	0,1

Вычислить: P3 , M (X ),

D(X ), σ(X ),

M (X + 7),

P(−1 ≤ X ≤ 5),

D(3X + 4).

379. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

0,2

0,3

0,1

0,05

Вычислить: P3 , M (X ),

D(X ), σ(X ),

M (

), P(10 ≤ X ≤ 20), D(2X −3).

380. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

-100

-25

100

0,3

0,1

0,3

Вычислить: P3 , M (X ),

D(X ), σ(X ),

M (X / 4),

P(10 ≤ X ≤ 30),

D(X −3).

Пример. Случайная величина X имеет распределение:

-30

-20

0,2

0,3

0,1

0,2

Вычислить: P3 , M (X ),

D(X ), σ(X ),

M (

), P(− 40 ≤ X ≤ 25),

D(2X +8).

Пусть закон распределения случайной величины представлен в виде


X	x1	x2	x3	x4	x5
P	p1	p2	p3	p4	p5

Т.к. закон распределения данной дискретной величины представляет полную группу событий, то сумма всех вероятностей равна 1.

p1 + p2 + p3 + p4 + p5 =1.

Тогда искомая вероятность: p1 =1−0,2 −0,3 −0,1−0,2 = 0,2 .

Математическое ожидание случайной величины находится по формуле:

MX = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +x4 p4 + x5 p5 ;

в нашей задаче

MX = −30 0,2 − 20 0,3 + 0 0,2 + 20 0,1+30 0,2 = −4.

Дисперсия случайной величины:

DX = M (X 2 ) −(MX )2 .

Чтобы найти M (X 2 ) , найдем закон распределения величины X 2 . Для этого возведем все значения, которые принимает X , в квадрат.

X	900	400	0	400	900
P	0,2	0,3	0,2	0,1	0,2

Тогда

M (X 2 ) = 900 0,2 + 400 0,3 + 0 0,2 + 400 0,1+900 0,2 = 520 .

Отсюда

DX = 520 −(−4)2 = 504 .

Среднее квадратическое отклонение случайной величины:

σ(X ) = DX ;

тогда

σ(X ) = 504 = 22,45 .

Чтобы найти M X , найдем распределение величины X :

X	30	20	0	20	30
P	0,2	0,3	0,2	0,1	0,2

Найдем M X :

M X = 30 0,2 + 20 0,3 + 0 0,2 + 20 0,1+30 0,2 = 20 .

Для нахождения D(2X +8) следует знать соотношения:

D(aX +b) = a2 DX ;

M (aX +b) = aMX +b.

Тогда для нашего примера

D(2X +8)= 22 DX = 4 504 = 2016.

Чтобы найти P(− 40 ≤ X ≤ 25), следует рассмотреть те значения X , которые попадают в заданный интервал. Это значения −30, − 20, 0, 20 .

Этим значениям	соответствуют вероятности 0,2; 0,3; 0,2; 0,1. События,
состоящие в том, что X		принимает данные значения, несовместны,
следовательно,	искомая	вероятность P(− 40 ≤ X ≤ 25)	равна сумме

вероятностей:

P(− 40 ≤ X ≤ 25)= 0,2 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,8 .

381-390. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

		0,		x ≤ 0;
381.	F(x)= x2		16,	0 < x ≤ 4;
		1,		x > 4.

		0,		x ≤ 0;
383.	F(x)=	sin x,		0 < x ≤π 2;

				x >π 2.
		1,		x >π 2.
		0,		x ≤1 2;
385.	F(x)= x −1 2,			1 2 < x ≤ 3 2;
				x > 3 2.
		1,		x > 3 2.
		0,		x ≤ −π 4;
387.	F(x)=	cos 2x,		−π 4 < x ≤ 0;

				x > 0.
		1,		x > 0.
		0,		x ≤ 0;
389.	F(x)= x3		8,	0 < x ≤ 2;
		1,		x > 2.

		0,	x ≤ 0;
382.	F(x)= 2x2 − x,		0 < x ≤1;
		1,	x >1.

		0,	x ≤ 0;
384.	F(x)=	1−cos x,	0 < x ≤π 2;

			x >π 2.
		1,	x >π 2.
		0,	x ≤ −4 3;
386.	F(x)=	3x 4 +1,	− 4 3 < x ≤ 0;

			x > 0.
		1,	x > 0.
		0,	x ≤ 0;
388.	F(x)= 2sin 2x,		0 < x ≤π 12;
			x >π 12.
		1,	x >π 12.
		0,	x ≤ −π 2;
390.	F(x)= 2cos x,		−π 2 < x ≤ −π 3;
			x > −π 3.
		1,	x > −π 3.

Пример. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое

		0,	x ≤ 2;
ожидание и дисперсию случайной величины. F(x)= x 2 −1,			2 < x ≤ 4;
			x > 4.
		1,	x > 4.
Найдем плотность распределения:
	0,	x ≤ 2;
′		< x ≤ 4;
f (x)= F (x)= 1 2, 2		< x ≤ 4;
		x > 4.
	0,	x > 4.

Используя определения математического ожидания и дисперсии для непрерывных случайных величин:

+∞										+∞
M (X )= ∫xf (x)dx , D(X )= M (X 2 )−[M								(X )]2 = ∫x2 f (x)dx −[M (X )]2 ,
−∞										−∞
получаем:																	4
+∞	2	4	1					+∞							x	2
+∞	2	4						+∞								2
M (X )= ∫xf (x)dx = ∫x 0 dx +∫x				dx + ∫x 0 dx =													= 3.
M (X )= ∫xf (x)dx = ∫x 0 dx +∫x			2	dx + ∫x 0 dx =													= 3.
−∞	−∞	2	2					4					2				2
−∞	−∞	2						4						4			2
+∞		4		1							x	3						5
+∞		4										3
D(X )= ∫x2 f (x)dx −[M (X )]2 = ∫x2							dx −9 =							−9 =					.
D(X )= ∫x2 f (x)dx −[M (X )]2 = ∫x2				2			dx −9 =							−9 =			3		.
−∞		2		2				6						2			3
−∞		2												2
391. Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
		1		1				(x−1)2
	f (x) =		e
	f (x) =		e			2		9 .
Найти: M(X), D(X ),	3	2x	P(						≤ 0,3).
	P(0,5≤ X ≤2),				X −1
	P(0,5≤ X ≤2),				X −1

392. Случайная величина имеет нормальное распределение с плотностью:

393. Плотность распределения случайной величины имеет вид:

−(x−2)2

f (x) = 21π e 2 .

Найти: M(X), D(X ), P(1≤ X ≤2), P(X − 2 ≤1).

394. Плотность распределения случайной величины имеет вид:

−(x−2)2

f (x) = 21π e 2 .

Найти: M(X), D(X ), P(1≤ X ≤ 2), P(X − 2 ≤ 3).

395. Плотность распределения случайной величины имеет вид:

396. Плотность распределения случайной величины имеет вид:

−(x−1)2

f (x) =

18 .

3 2π

Найти: M(X), D(X ),

P(0≤X ≤3)

, P(

X −1

≤ 5).

397. Случайная величина X имеет плотность распределения:

−(x−2)2

f (x) =

32 .

4 2π

Найти: M(X), D(X ),

P(1≤X ≤4)

X − 2

≤ 4).

398. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

	1	x	−(x−1)2
f (x) =	1		e 8 dx.
	2 2π −∞∫

Найти: M(X), D(X ), P(0 ≤ X ≤3) , P(X −1 ≤ 7).

399. Плотность распределения случайной величины имеет вид:


	1		1		(x−1)2
f (x) =	1	e	2		9 .
3	2x	P(				≤ 0,3).
Найти: M(X), D(X ), P(0,5≤ X ≤2),				X −1
Найти: M(X), D(X ), P(0,5≤ X ≤2),				X −1

100

400. Случайная величина имеет нормальное распределение с плотностью:

	1		1 (x−1)2
f (x) =		e				.
			2		9
	3 2x	P(					≤ 0,3).
Найти: M(X), D(X ), P(0,5≤ X ≤2),				X −1

Пример. Плотность распределения случайной величины имеет вид:

	1		−(x−2)2
f (x) =			e 2 .
	2π
Найти: M (X ), D (X ), P (1 ≤ X ≤1),		P(		X − 2	≤ 4).

Нормально распределенная случайная величина имеет плотность распределения:

f (x) =σ 12π e

−(x−m)2

2σ2 , где математическое ожиданиеM (X ) = m, дисперсия

D(X ) =σ 2 .

В нашем примере M (X ) = 2; D(X ) =1.

Для нормальной случайной величины вероятность P (a ≤ X ≤ b) равна:

P (a ≤ X ≤ b)=

a − m

b − m

a − m

≤ X

≤

= Φ

−Φ

1−

−1− 2

P (−1 ≤ X ≤1)= Φ

−Φ

= Φ(3)−Φ(1)=

= 0,499 −0,341 = 0,158 .

− a

X − m

− a

X − m

≤ a)= P

≤

= Φ

−Φ

= 2Φ

;

X − 2

≤ 4)=

2Φ

= 2 0,499 = 0,998.

401-410. Из партии в N образцов бетона путем бесповторной выборки отобрано n образцов. Измерения прочности отобранных деталей дали выборочное среднее x МПа и выборочное среднее квадратическое отклонение σ МПа. Некондиционными признано m образцов. С вероятностью γ найти:

1.Доверительный интервал для генеральной средней ~x .

2.Доверительный интервал для генеральной доли некондиционных изделий p .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке конспекты

#
21.02.2016441.9 Кб17---.---.1-- -.--.pdf
#
21.02.2016706.64 Кб23---_-------_Excel (1).pdf
#
21.02.2016706.64 Кб20---_-------_Excel.pdf
#
21.02.20164.64 Mб43123.pdf
#
21.02.20161.55 Mб201234.pdf
#
21.02.2016855.41 Кб32end_3.pdf