Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донбасская национальная академия строительства и архитектуры

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

конспекты / end_3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

855.41 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

y′′ = −2Ae−x + (Ax + B)e−x ,

−2Ae−x +(Ax + B)e−x −5Ae−x +5(Ax + B)e−x +6(Ax + B)e−x = (12x −7)e−x ,

12Ax +12B − 7A = 12x − 7 ,

12A =12,		A =1,
	= −7,	B = 0.
12B −7A	= −7,	B = 0.

Частное решение неоднородного уравнения

y= xe−x ,

аобщее решение неоднородного уравнения

y= y0 + y = C1e2x + C2 e3x + xe−x .

Найдём произвольные константы C1 и C2 , используя начальные условия y(0) = 0 , y′(0) = 0 .

y′ = 2C1e2x +3C2e3x + e−x + xe−x .

Подставляя в общее решение и найденную производную x = 0, y = 0, y′ = 0 , получим систему уравнений для определения C1 и C2 :

C + C		= 0	C1	= 1,	C2 = −1.
1	2
2C1 + 3C2 +1 = 0

Частное решение y = e2x − e3x + xe−x .

231-240. Найти общее решение системы уравнений:

	dx		= 2x + y		dx		= x − y


231.	dt			232.	dt
		dy	= 3x + 4y			dy	= y − 4x
			= 3x + 4y				= y − 4x
	dt				dt
	dx		+ x −8y = 0		dx		= x + y


233.	dt			234.	dt
		dy	− x − y = 0			dy	= 3y − 2x
			− x − y = 0				= 3y − 2x
	dt				dt
	dx		= x −3y		dx		+ x +5y = 0


235.	dt			236.	dt
		dy	= 3x + y			dy	− x − y = 0
			= 3x + y				− x − y = 0
	dt				dt
	dx		= 2x + y		dx		= 3x − y


237.	dt			238.	dt
		dy	= 4y − x			dy	= 4x − y
			= 4y − x				= 4x − y
	dt				dt

	dx		= 2y −3x		dx		−5x −3y = 0


239.	dt			240.	dt
		dy	= y − 2x			dy	+3x + y = 0
			= y − 2x				+3x + y = 0
	dt				dt

Литература к задачам 231-240: [4], гл.XIII,§ 29-30; [26], гл.11, §11.9.

Пример. Найти общее решение системы уравнений:

dxdt = y − x

dy = −x −3y

Сведем систему дифференциальных уравнений к одному уравнению второго порядка. Для этого выразим из первого уравнения y , получим

		y = dx + x						( ) .
				dt
Дифференцируем полученное равенство:
			dy	=	d 2 x	+	dx	.
	dy		dt	=	dt 2	+	dt	.
			dt		dt 2		dt
Подставив значения		и y			во второе уравнение системы ( ) ,
	dt

получим:

d 2 x	+	dx	= −x − 3	dx	− 3x .
dt 2		dt		dt

Приводя подобные, имеем:

d 2 x	+ 4	dx	+ 4x = 0 .
dt 2		dt

Получили однородное линейное уравнение постоянными коэффициентами относительно функции

( )

2-го порядка с x(t).Чтобы решить

данное уравнение, составляем фундаментальную систему решений данного уравнения для чего частные решения ищем в виде

x = ekt ,	dx	= kekt ,	d 2 x	= k 2ekt . Подставив данные значения в уравнение ( ) ,
	dt		dt 2

получим:

k 2ekt + 4kekt + 4ekt = 0 ;

ekt (k 2 + 4k + 4) = 0 , ekt ≠ 0 ;

Значит, характеристическое уравнение, соответствующее данному

однородному уравнению, имеет вид:

k 2 + 4k + 4 = (k + 2)2 = 0 k1,2 = −2

Корни уравнения действительные и кратные, значит, общее решение заданного однородного уравнения имеет вид:

x(t) = c1e−2t + c2te−2t .

Чтобы найти y(t) , мы должны в уравнение ( ) подставить значение

функции x(t) и ее производную dxdt = −2c1e−2t + c2e−2t − 2c2te−2t . Получаем:

y(t) = −2c1e−2t + c2e−2t − 2c2te−2t + c1e−2t + c2te−2t = −c1e−2t + c2e−2t (1 − t)

Таким образом, совокупность двух найденных функций есть общее решение данной системы:

x(t) = c1e−2t + c2te−2t , y(t) = −c1e−2t + c2e−2t (1 −t) .

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

241 – 250. Дана тонкая однородная пластина, ограниченная линиями. Найти площадь, статический момент, положение центра тяжести и осевые моменты инерции фигуры. Сделать чертеж.

241. x2		+ y 2	= R 2 ,	x ≥ 0 .
242.	y = x2 ,			y =1.
243.	x2	+ y 2	= R 2 ,	y ≥ 0.
244.	y 2	= x ,	x =1.
245.	x2	+ y 2	= R 2 ,	x ≤ 0 .
246.	y = 3 − x2 ,			y = 0 .
247.	x2	+ y 2	= R2 ,	y ≤ 0.
248. 1 − y 2 = x ,				x = 0 .
249.	4 (x2 + y 2 )= 25,			y ≥ 0.
250.	y =1 − x2 ,			y = 0 .

Литература к задачам 241-250: [3], т.2, гл.III, §1-3; [4], т.2, гл.XIV, §1-5; [5], т.III, р.III, гл.I, §4-6,9; [6], гл.XVI, §4; [7], ч.1, гл.I, §11; [10], §6.1-6.4; [11], гл.VIII, §1; [15], гл.VII, §1-3; [21], гл.6, §7; [22], §6.5, 6.7.

Пример. y = 4 − x2 , y = 0 .

Уравнение y = 4 − x2 задает на плоскости параболу симметричную относительно оси Oy с вершиной в точке (0; 4), ветви которой направлены

вниз. Уравнение y = 0		задает на плоскости прямую, совпадающую с осью
Ox . Эти линии определяют на плоскости область D . Сделаем чертеж.
		y	4
			4
у=4-x	2	D	.	0,	8

					5
			C

-2 0 2 x

Площадь фигуры найдем по формуле

				2		4−x2		2	4−x2		2	− x	2
									4−x2				2
S = ∫∫dx dy = ∫dx ∫dy = ∫ y									0	dx = ∫(4				)dx =
S = ∫∫dx dy = ∫dx ∫dy = ∫ y									0	dx = ∫(4				)dx =
D				−2			0	−2			−2
	1		3		2		32
	1		3		2		32
= 4x −		x				=		.
= 4x −	3	x				=	3	.
					−2
					−2

Так как область D имеет ось симметрии, то центр тяжести фигуры лежит на оси Oy . Следовательно, статический момент относительно оси

Oy равен нулю S y									= 0 . Статический момент относительно оси Ox найдем
по формуле																					4−x2
	x				∫∫					2			4−x2		2	1 2
										2			4−x2		2	1 2
S			=				y dx dy =			∫	dx		∫	y dy =	∫		2	y				dx =
S			=				y dx dy =				dx			y dy =				y				dx =
						D				−2			0		−2						0								2
						D				−2			0		−2						0
	1 2							2 2				1	2		2				4			1		8		3		x5			256
	1 2							2 2				1	2		2				4			1		8		3		x5			256
=				∫(4 − x ) dx =									∫(16 −8x + x							)dx =					x		+			=

												2										2	16x −	3							15
		2 −2										2	−2									2		3				5	−2		15
		2 −2											−2															5	−2
Координаты центра тяжести
x			=			S y		= 0
x			=					= 0
C						S
						S

																																													75
				Sx					256					8
yC		=		Sx			=		15			=		8		.
yC		=			S		=			32		=		5		.
					S					32				5
									3
Осевые моменты инерции найдем по формулам
							2							2					4−x2				2						2			y3						4−x2
							2							2					4−x2				2						2			y3						4−x2
J x = ∫∫y								dx dy				= ∫dx ∫y													dy =					∫										dx =
																																		3
				D									−2							0									−2					3				0
				D									−2							0									−2									0
=	1	∫2 (4 − x2 )3 dx =													1			∫2 (64 − 48x2 +12x4 − x6 )dx =
	3	−2													3		−2
		−2															−2													2
	1										3			12						5			1				7								4096
	1										3			12						5			1				7								4096
=		64x					−16x					+						x			−					x							=							.
=	3	64x					−16x					+			5			x			−		7			x							=		105					.
																														−2
																														−2
														2							4−x2								2								4−x2
			∫∫				2							∫			2					∫							∫				2
							2										2																2
J y =						x dx dy =										x dx								dy =							x					0
J y =						x dx dy =										x dx								dy =							x			y						dx =
				D									−2									0						−2
	2		2						2							2					2					4									4 3						x5	2		128
	2		2						2							2					2					4									4 3						x5	2		128
= ∫x (4 − x )dx = ∫(4x − x )dx =																																				x									.
																																							−				=
																																			3				−		5		=	15
	−2														−2																				3						5	−2		15
	−2														−2																											−2

251 – 260. Вводя полярные координаты, вычислить площадь, ограниченную кривыми. Сделать чертеж.

251.x2 + y2 =8x , y = x , y = 0 .

252.x2 + y2 = 2x , x2 + y2 = 4x , y = 13 x , y = 0 .

253.x2 + y2 =18x , x = 0, y = x .

254.x2 + y2 =14x , x = y , y = 0 .

255.x2 + y2 = 2x , y = x , x2 + y2 = 4x , y = 0 .

256.x2 + y2 = 4x , y = x , y = 0 .

257.(x2 + y2 )2 = 2a2 xy , a > 0.

258.(x2 + y2 )2 = a2 (x2 − y2 ), a > 0.

259.(x2 + y2 )2 = a2 x2 , a > 0.

260.(x2 + y2 )2 = a2 y2 , a > 0.

Литература к задачам 251-260: [3], т.2, гл.III, §1-3; [4], т.2, гл.XIV, §1-5; [5], т.III, р.III, гл.I, §4-6,9; [6], гл.XVI, §4; [7], ч.1, гл.I, §11; [10], §6.1-6.4; [11], гл.VIII, §1; [15], гл.VII, §1-3; [21], гл.6, §7; [22], §6.5, 6.7; [26], гл.10, §10.3.3.

Пример. (x2 + y2 )3 = a4 x2 , a > 0.

Перейдем к	полярным	координатам	по формулам	x = r cosϕ ,
y = r sinϕ . Тогда	уравнение	кривой в этих	координатах	примет вид

r6 = a4r2 cos2 ϕ или r2 = a2 cosϕ . Сделаем чертеж.

r2 = a2 cosϕ

-a

Как видно из уравнения, кривая симметрична относительно

координатных осей и поэтому площадь фигуры

S = 4∫∫r dϕdr ,

где D -

≤ϕ ≤ π ;

часть фигуры, лежащая

первой

четверти,

для которой 0

0 ≤ r ≤ a cosϕ . Следовательно,

cosϕ

a cosϕ

S = 4∫∫r dϕdr = 4∫dϕ ∫r dr = 4∫

dϕ =

= 2∫a

cosϕdϕ = 2a

sinϕ

0 = 2a

261 – 270. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями. Сделать чертеж.

261. z = x2 + y2 , z = 9 .

262. z = x2 + y2 , x2 + y2 =1, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 .

263.z = x2 + y2 , y = 2x , x =1, y = 0 , z = 0 .

264.z = x2 + y2 , x = y2 , y = x2 , z = 0 .

265.y =1 + x2 , z = 3x , y =5 , z = 0 .

266.y = x , y = 2 x , x + z = 4 , z = 0 .

267.z =3x2 + 2y2 , z = 0 , x = 0, x = 5 , y = 0 , y = 3.

268.z = 2x2 + 3y2 , z = 0 , x = 0, x = 2, y = 0 , y = 2.

269.z = 9 − y2 , 3x + 4y =12, x = 0, y = 0 , z = 0 .

270.z =9 − x2 , x + y = 3, x = 0 , y = 0 , z = 0 .

Литература к задачам 261-270: [3], т.2, гл.III, §4; [4], т.2, гл.XIV, §11-13; [5], т.I, р.I, гл.VII; т.III, р.III, гл.I, §7,9; [6], гл.X, §2; гл.XVI, §3; [7], ч.2, гл.VI; [10], §6.1-6.4; [11], гл.VIII, §2; [15], гл.VII, §6,7; [21], гл.6, §7; [22], §6.6, 6.7.

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 + y2 ;

x + y = 1; x = 0; y = 0; z = 0.

Данное тело ограничено координатными плоскостями, плоскостью

x + y = 1,

параллельной

оси

и параболоидом

вращения

z = x2 + y2 .

Сделаем чертеж.

Искомый объем можно вычислить по формуле:

x2 +y2

1−x

V = ∫∫∫dxdydz = ∫∫dxdy

∫dz = ∫∫(x2

+ y2 )dxdy =∫dx ∫ (x2 + y2 )dy =

1−x

(1− x)

= ∫ x

y +

dx =

∫

− x

−

z = x2 + y2

x + y =1

Рис. 1. Чертеж тела.

1 x

Рис. 2. Чертеж проекции тела на плоскость xOy.

	271 – 280. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от
точки M к точке N . Сделать чертеж.								x2
271.	F = (x2 + 2y)i + (y2 + 2x)j,			L :	y = 2 −				, M (− 4;0), N (0;2).

					8
272.	F = −y i + x j,			L : y = x3 , M (0;0), N (2;8).
273.	F = (xy − x) i +	x	j,	L :	y = 2 x ,				M (0;0), N (1;2).

	2								M (π;0), N (0;0).
274.	F = −xy i,			L :	y =sin x ,
275.	F = (xy − y2 )i + x j,			L : y = 2x , M (0;0), N (1;2).
276.	F = (x2 − 2y)i + (y2 − 2x)j,			L : MN - отрезок, M (− 4;0), N (0;2).
277.	F = x2 y i − y j,			L : MN - отрезок, M (−1;0), N (0;1).
278.	F = (x2 + 2y)i + (y2 + 2x)j,			L : MN - отрезок, M (− 4;0), N (0;9).
279.	F = (x + y) i + (x − y) j,			L :	y = x2 , M (−1;1), N (1;1).
280.	F = (x + y) i + (x − y) j,			L :	x2 +	y	=1		(x ≥ 0; y ≥ 0), M (1;0), N (0;3)

					3

Литература к задачам 271-280: [3], т.2, гл.IV, §1; [4], т.2, гл.XV, §1,2; [5], т.III, р.III, гл.II, §2; [10], §7.1; [11], гл.IX, §1; [15], гл.VII, §8; [21], гл.6, §7; [22], §6.4.

Пример. F = −x2 yi + xy2i , L : MN – отрезок прямой, соединяющий точки,

M (0;4), N (4;0).

Работа силы F = Xi +Yi вдоль линии L от точки M до точки N равна

(N )

A = ∫Xdx +Ydy = ∫− x2 y dx + xy2dy .
L	(M )

Сделаем чертеж.

M(0,4)

N(4,0)

Запишем уравнение прямой MN , как уравнение прямой в отрезках на осях

=1. У нас a = 4, b = 4, поэтому

=1, следовательно

y = 4 − x .

dy = −dx .

Найдем

Сведем

криволинейный

интеграл к

обычному

определенному интегралу по переменной

x ,

подставив вместо y и dy

соответствующие выражения (0 ≤ x ≤ 4).

Следовательно,

(N )

(4 − x)dx + x(4 − x)2 (− dx)]=

A = ∫− x2 y dx + xy2dy = ∫[− x2

(M )

128

= ∫(4x

−16x)dx = 4

− 2x

= −

РЯДЫ.

∞

281 – 290. Исследовать сходимость числового ряда ∑un

n=1

281.

un =

(n +

2)!

;

282.

;

+ 2) ln(n + 2)

283.

un =

;

284.

2n +1

(2n +1)3n

n2 + 4

285.

un =

(

n +1

)

;

286.

;

+1)!

287.

un =

;

288.

;

n(n +

2n (n +

289.

un = (

n +1

)3n ;

290.

2 + 2n +

Литература к задачам 281-290: [3], т.2, гл.V, §1; [4], т.2, гл.XVI, §1-6; [5],

Т.е. интеграл расходится, а значит, данный ряд также расходится.

∞

291 – 300. Найти интервал сходимости степенного ряда ∑un .

n=1

т.II, р.III, гл.I, §1-3; [6], гл.XVII, §1; [11], гл.XI, §1; [15], гл.IX, §1; [22], §9.2-9.4.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

∞

∑

Применим признак Даламбера.

n=12n−1

Поскольку un =

; un+1

(n +1)2

, то

2n−1

un+1

q = lim

= lim (n +1)2 2n−1

1 lim(n +1)2 = 1

<1.

n→∞

2n n2

2 n→∞

Следовательно, данный ряд сходится по признаку Даламбера.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

∞

n +

)n .

∑(

n=1

8n −1

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

q = lim n ( n +1 )n

= lim n +1 =

1 <1.

n→∞

8n −1

n→∞ 8n −1

Следовательно, данный ряд сходится.

∞

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд ∑

n=1

Применим интегральный признак Коши.

Положим f (x) =

. Тогда несобственный интеграл

A d(x2 +

+∞

∫

= lim

∫

dx =

lim

∫

A→+∞

2 A→+∞

lim ln(x2 +1)

lim ln(A2 +1)−

ln 2 = +∞.

2 A→+∞

291.	un =		xn				.
291.	un =		n		2n		.
			n		2n
293.	un =		x3n
						.
			8n			.
			8n
295.	un =			x2n				.
295.	un =		n		25n			.
			n		25n
297.	un	= 3n xn .
			3	n

292.	un =	xn	.
292.	un =	n2	.
		n2
294.	un =	xn		.
294.	un =	n		.
		n
296.	un =	10n xn
296.	un =		.
				n
298.	un =	(0,1)n x2n .
				n

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке конспекты

#
21.02.2016441.9 Кб17---.---.1-- -.--.pdf
#
21.02.2016706.64 Кб23---_-------_Excel (1).pdf
#
21.02.2016706.64 Кб20---_-------_Excel.pdf
#
21.02.20164.64 Mб43123.pdf
#
21.02.20161.55 Mб201234.pdf
#
21.02.2016855.41 Кб32end_3.pdf