конспекты / end_3

21

6.Приведите формулу замены переменной в определенном интеграле. Приведите пример.

7.Приведите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла. Приведите пример.

8.Дайте определение несобственного интеграла первого рода (интеграла, у которого один или оба предела интегрирования бесконечны); укажите его геометрический смысл в случае, когда подынтегральная функция неотрицательна; приведите примеры сходящегося и расходящегося интегралов первого рода.

9.Дайте определение несобственного интеграла второго рода (интеграла от неограниченной функции). Укажите его геометрический смысл в случае, когда подынтегральная функция неотрицательна; приведите примеры сходящегося и расходящегося интегралов второго рода.

10.Приведите формулу для вычисления площади криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат.

11.Приведите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной уравнением в декоративной системе координат. Приведите примеры.

12.Приведите формулу для вычисления объема тела по известным площадям поперечных сечений. Вычислите с ее помощью объем эллипсоида. Приведите формулу для вычисления объема тела вращения. Приведите примеры.

Тема XI. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1.Дайте определения дифференциального уравнения первого порядка и его общего и частного решения (интеграла). Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка и укажите ее геометрический смысл.

2.Дайте геометрическое истолкование дифференциального уравнения первого порядка, выясните геометрический смысл общего и частного решений.

3.Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Найдите общее решение

уравнения dydx = 2xy и укажите, где условия этой теоремы не выполняются.

4.Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите примеры.

5.Дайте определение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

6.Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите

22

пример.

7.Дайте определение уравнения Бернулли. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

8.Изложите метод решения дифференциального уравнения вида yn=f(x). Приведите пример.

9.Изложите метод решения дифференциального уравнения вида y''=f(х, у'). Приведите пример.

10.Изложите метод решения дифференциального уравнения вида y''=f(y, y'). Приведите пример.

11.Дайте определение линейного дифференциального уравнения n-го порядка (однородного и неоднородного).

12.Дайте определение линейно зависимых и линейно независимых функций и приведите примеры. Сформулируйте обратную теорему для линейно независимых решений (интегралов) однородного линейного дифференциального уравнения.

13.Приведите теорему об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

14.Изложите метод нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если известно одно его частное решение. Приведите пример.

15.Приведите формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней характеристического уравнения. Приведите пример.

16.Приведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных равных корней характеристического уравнения. Приведите пример.

17.Приведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения. Приведите пример.

18.Приведите теорему об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

19.Покажите, что сумма частных решений уравнений y''+py'+qy=f1(x) и y''+py'+qy=f2(x) является решением уравнения y''+py'+qy=f1(x)+ f2(x).

20.Изложите правило нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными

коэффициентами и правой частью вида eαxPn(x), где Рn(х) — многочлен степени n≥0.

21. Изложите правило для нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными

23

коэффициентами и правой частью вида eαx(A cos βx+B sin βx).

Тема XII. Кратные интегралы.

1.Что называется двойным интегралом от функции f(x, у) по области D? Укажите его геометрический смысл.

2.Сформулируйте теоремы о двойном интеграле от суммы и вынесении постоянного множителя за знак двойного интеграла.

3.Что называется двукратным интегралом от функции f(x, у) по области D? Как он вычисляется?

4.Приведите теорему о среднем для двойного интеграла, укажите ее геометрический смысл.

5.Приведите формулу для вычисления двойного интеграла с помощью двукратного. Дайте геометрическое толкование формулы в случае неотрицательной подынтегральной функции.

6.Приведите формулы, служащие для вычисления объема цилиндрического тела и площади плоской фигуры с помощью двойных интегралов.

7.Приведите формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах.

8.Что называется тройным интегралом от функции f(x,у,z) по пространственной области V? Укажите его механический смысл.

9.Что называется трехкратным интегралом от функции f(x, у, z) по области V? Как он вычисляется?

10.Сформулируйте теорему о среднем для тройного интеграла.

11.Приведите формулу для вычисления тройного интеграла с помощью трехкратного. Напишите формулу для вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах.

12.Обоснуйте формулу, служащую для вычисления объема тела с помощью тройного интеграла.

Тема XIII. Криволинейные интегралы.

1.Что называется криволинейным интегралом по координатам? Сформулируйте известные вам свойства криволинейного интеграла.

2.Что называется криволинейным интегралом по длине дуги плоской кривой?

3.Приведите формулу для вычисления криволинейного интеграла по кривой, заданной параметрическими уравнениями.

4.Как вычисляется криволинейный интеграл по кривой, заданной уравнением y=f(x) или x=φ(y)?

5.Приведите формулу для вычисления площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла.

24

Тема XIV. Ряды.

1.Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов. Исследуйте сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.

2.Приведите необходимый признак сходимости ряда.

3.Приведите теорему о сравнении рядов с положительными членами. Приведите пример применения этого признака.

4.Приведите признак Даламбера сходимости знакопеременных рядов. Приведите пример применения этого признака.

5.Приведите признак Коши сходимости рядов с положительными членами. Приведите пример применения этого признака.

6.Приведите интегральный признак сходимости ряда Коши. Приведите примеры применения этого признака.

7.Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Сформулируйте свойства абсолютно сходящихся рядов. Приведите примеры абсолютно и условно сходящихся рядов.

8.Приведите признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Приведите пример на применение этого признака.

9.Дайте определение области сходимости функционального ряда. Приведите примеры рядов с различными областями сходимости.

10.Дайте определение понятия равномерной сходимости последовательности функций. Какой ряд называется равномерно сходящимся?

11.Сформулируйте признак Вейерштрасса абсолютной и равномерной сходимости ряда.

12.Сформулируйте основные свойства равномерно сходящихся рядов.

13.Приведите теорему Абеля о сходимости степенных рядов.

14.Приведите формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

15.Приведите условия разложимости функции в ряд Тейлора.

16.Разложите функцию y=sinx в степенной ряд.

17.Разложите функцию у=еx в степенной ряд.

18.Сформулируйте теорему об интегрировании степенных рядов и с ее помощью получите разложение в ряд функции y=arctgx.

19.Сформулируйте теорему об интегрировании степенных рядов и с ее помощью получите разложение в ряд функции у=ln(1+х).

20.Сформулируйте теорему о дифференцировании степенных рядов и с ее помощью получите разложение в ряд функции y=cosx.

21.Приведите пример оценки точности вычисления суммы знакочередующегося ряда.

22.Изложите метод приближенного вычисления определенных интегралов с помощью рядов. Приведите примеры.

23.Изложите метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Приведите пример.

25

Тема XV. Ряды Фурье.

1.Приведите формулы для коэффициентов ряда Фурье.

2.Приведите формулы для коэффициентов ряда Фурье для четных и нечетных функций.

3.Можно ли при нахождении коэффициентов Фурье интегрировать соответствующие функции не на симметричном периоде?

4.Как разложить непериодическую функцию в ряд Фурье по синусам и косинусам?

Тема XVI. Элементы теории уравнений математической физики.

1.Дайте классификацию уравнений с частными производными второго порядка. Приведите примеры.

2.Сформулируйте краевую задачу о колебаниях струны, закрепленной на концах.

3.Изложите метод Даламбера нахождения решения задачи Коши о колебаниях бесконечной струны.

4.Изложите метод Фурье нахождения решения краевой задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах.

5.Сформулируйте краевую задачу уравнения распространения теплоты в стержне.

6.Изложите метод Фурье для нахождения решения уравнения теплопроводности.

7.Сформулируйте краевые задачи для уравнений Лапласа. Приведите примеры решения уравнения Лапласа методом Фурье.

Тема XVII. Теория вероятностей.

1.Сформулируйте аксиомы теории вероятностей и следствия из них.

2.Дайте классическое определение вероятности. В чем состоит различие между вероятностью и относительной частотой?

3.Дайте определение условной вероятности. Какие события называются независимыми?

4.Дайте определение произведения событий. Приведите теоремы умножения.

5.Приведите формулу полной вероятности.

6.Приведите формулу Байеса.

7.Дайте определение последовательности независимых испытаний, изложите схему Бернулли и приведите формулу Бернулли.

8.Сформулируйте локальную теорему Муавра—Лапласа и теорему Пуассона. Когда применяются эти теоремы?

9.Дайте определение случайной величины. Приведите примеры.

10.Дайте определение функции распределения случайной величины и

26

приведите ее свойства.

11.Дайте определение плотности распределения вероятностей и приведите ее свойства.

12.Дайте описания дискретных и непрерывных распределений: биномиального, пуассоновского, геометрического, гипергеометрического, нормального, показательного, равномерного.

13.Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, если она распределена по нормальному или показательному закону?

14.Дайте определение математического ожидания случайной величины и приведите его свойства.

15.Дайте определение дисперсии случайной величины и приведите ее свойства.

16.Дайте определение среднего квадратического отклонения случайной величины и укажите его преимущества по сравнению с дисперсией.

Тема XVIII. Элементы математической статистики.

1.Что называется выборкой? Напишите формулу для вычисления выборочной средней.

2.Какие оценки называются точечными? Дайте определения несмещенной и состоятельной оценок.

3.Какие оценки являются интервальными? В каких случаях следует использовать интервальную оценку?

4.Для чего служит метод наибольшего правдоподобия? Как им пользоваться для дискретных и непрерывных случайных величин?

5.Как найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения?

6.Дайте определение статистической гипотезы, приведите примеры статистической проверки гипотез.

ЛИТЕРАТУРА

1.Ильин В.А., Позняк Э.Г.. Аналитическая геометрия.— М.: Наука, 1981.

2.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. — М.: Наука, 1967.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.— М.: Высшая школа, 1967-1971. Ч. I, II, III.

4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов.—

М.: Наука, 1970—1985, т. 1, 2.

5.Шкіль М.І., Колесник Т.В., Котлова В.М.. Вища математика.– К.: Либідь, 1994. Т. 1-3.

6.Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике — М.: Наука, 1967.

27

7.Привалов И.И. Аналитическая геометрия.— М., 1956.

8.Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах.— М.: Высшая школа, 1985.

9.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. – Харьков, 1967.

10.Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П. Курс высшей математики.— М.: Высшая школа, 1987.

11.Бермант А.Ф., Абрамович И.Г. Краткий курс математического анализа.—

М.: Наука, 1973.

12.Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики.— М.: Высшая

школа, 1986.

13. Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк І.О. Диференціальні рівняння.— К.: Либідь, 1994.

14.Самойленко А.М., Кривошия С.А., Перестюк М.О. Диференціальні рівняння у прикладах і задачах.— К.: Либідь, 1994.

15.Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу.— М.: Высшая школа, 1966.

16.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.— М.: Высшая школа, 1972.

17.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.— М.: Высшая школа, 1975.

18.Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики. – М.: Высшая школа, 1971.

19.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. Задачи и упражнения.—

М.: Наука, 1969.

20.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / под ред. Свешникова А.А. — М.: Наука, 1970.

21.Овчинников П.Ф., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Высшая математика. — К.: Вища школа, 1987.

22.Высшая математика. Сборник задач / под ред. Овчинникова П.Ф.. — К.: Вища школа, 1991.

23.Методические указания по разделу “Уравнения математической физики”./Сост. Герасимчук В.С. – Макеевка: МИСИ, 1985. – 56с.

24.Баженов В.А., Гранат С.Я., Шишов О.В. Будівельна механіка. Комп’юний курс. – К., 1999.

25.Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах. Ч.1, Донецк. Норд-компьютер, 2002, 528с.

26.Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах. Ч.2, Донецк. Норд-компьютер, 2004, 458с.

28

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Литература к задачам 1-10: [1], гл.1, §1-3; гл.2, §1-3; гл.5, §3-5; [2], §5, 18-22; [3], т.1, гл.I, гл.II; гл.III, §1; [5], т.I, р.I, гл.III, §10-16; т.I, р.I, гл.IV,V; [7], ч.1, гл.I, §3; ч.1, гл. III; ч.2, гл.II,IV; [8], гл.3, §1, гл.4, §2,4; [9], с.139-188, [21], гл.1, §2; гл.2,§2-4; [22], §2.1-2.5; [25], гл.3, §3.1-3.8.

Пример. A(2;8), B (3;−5); C(− 2;5).

1) Найдем сначала координаты векторов AB , AC и BC . Для этого из координат конца вектора вычитаем координаты его начала:

AB ={3 − 2;−5 −8}={1;−13}.

AC ={− 2 − 2;5 −8}={− 4;−3}.

BC ={− 2 − 3;5 + 5}={−5;10}.

Модуль вектора (равный расстоянию между точками A и B, A и C, B и C) представляет собой корень из суммы квадратов координат соответствующего вектора:

AB = 12 +(−13)2 = 170 .

AC = (− 4)2 +(−3)2 = 25 = 5.

BC = (−5)2 +102 = 125 = 5 5 .

2) Внутренний угол при вершине A треугольника найдем как угол между сторонами AB и AC треугольника. Этот угол равен углу между

векторами AB и AC и находится по формуле:

произвольной точки, лежащей на высоте. Запишем скалярное

−5 (2 − x)+10 (8 − y)= 0 .

После раскрытия скобок и приведения подобных получим

−10 + 5x + 80 −10y = 0; x − 2y +14 .

точки этого вектора. Из условия параллельности векторов b и BC

30

2 − x = −4 + 2y ; 2x + y −12 = 0.

11-20. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 1) длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами A1A2 и A1A4; 3) площадь грани A1A2A3; 4) объем пирамиды; 5) уравнение плоскости A1A2A3; 6) уравнения прямой A1A4; 7) Угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины A4 на плоскость A1A2A3.

11.A1 (3;5;0), A2 (2;1;7); A3 (4;2;1); A4 (3;5;3).

12.A1 (2;4;1), A2 (3;0;5); A3 (9;2;1); A4 (0;2;5).

13.A1 (5;1;4), A2 (−1;0;3); A3 (3;2;7); A4 (1;4;8).

14.A1 (1;2;3), A2 (0;5;4); A3 (3;2;2); A4 (4;2;4).

15.A1 (− 2;3;5), A2 (1;2;4); A3 (−3;3;6); A4 (2;0;4).

16.A1 (0;1;4), A2 (1;2;4); A3 (3;−2;0); A4 (− 2;5;3).

17.A1 (2;1;4), A2 (−3;0;2); A3 (4;−1;3); A4 (5;2;7).

18.A1 (0;5;−1), A2 (2;4;3); A3 (1;5;3); A4 (2;−2;1).

19.A1 (3;1;2), A2 (−1;4;0); A3 (−5;1;4); A4 (2;4;6).

20.A1 (2;−3;5), A2 (− 4;0;6); A3 (1;2;2); A4 (3;4;5).

Литература к задачам 11-20: [1], гл.1, §2,3; гл.2, §2,3; гл.5, §3-5; [2], §5, 18-22; [3], т.1, гл.II; гл.III, §1; [5], т.I, р.I, гл.III, §10-16; т.I, р.I, гл.IV,V; [7], ч.1, гл.I, §3; ч.1, гл. III; ч.2, гл.II,IV; [8], гл.3, §1, гл.4, §2,4; [9], с.139-188, [21], гл.1, §2; гл.2,§2-4; [22], §2.1-2.5; [25], гл.3, §3.1-3.8.

Пример. A1 (3;2;4), A2 (2;5;1); A3 (3;1;0); A4 (5;4;1).

Если точка A(x1 , y1 , z1 ) - начало вектора, а точка B(x2 , y2 , z2 ) - его конец, то координаты вектора находятся по формулам

X = x2 − x1 , Y = y2 − y1 , Z = z2 − z1. 1) Найдем сначала координаты вектора A1 A2 :

A1 A2 = {2 −3;5 − 2;1− 4}= {−1;3;−3}.

Модуль вектора (равный расстоянию между точками A1 и A2) представляет собой корень из суммы квадратов координат вектора:

A1 A2 = X 2 +Y 2 + Z 2 = (−1)2 + 32 + (− 3)2 = 19 .

2) Угол между ребрами A1A2 и A1A4 равен углу между соответствующими векторами и находится по формуле: