Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донбасская национальная академия строительства и архитектуры

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

конспекты / end_3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

855.41 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

101

N =1000

n =100

x = 50

σ =1

γ = 0,95

m =10

N = 2000

n = 400

x =100

σ =1,5

γ = 0,954

m = 30

N =1500

n = 200

x = 40

σ = 0,8

γ = 0,99

m = 20

N = 2500

n = 300

x = 70

σ =1,2

γ = 0,95

m =15

N =1200

n = 200

x = 45

σ =1

γ = 0,954

m = 30

N = 2500

n = 300

x =120

σ = 2

γ = 0,99

m = 30

N =1800

n = 200

x = 75

σ =1,5

γ = 0,95

m = 20

N =1500

n = 300

x =150

σ = 2

γ = 0,954

m =15

N = 2000

n = 400

x = 80

σ =1

γ = 0,99

m = 20

10.

N =1000

n = 200

x = 90

σ =1,3

γ = 0,954

m = 30

Пример.

Из 1000 образцов бетона для контроля прочности

бесповторным путем отобрали 200 образцов. Изучение выборочной

совокупности

дало

величину выборочной

средней

x = 50 МПа и

выборочное

среднее

квадратическое отклонение σ = 2 МПа. Двадцать

образцов признано некондиционными (не соответствующими стандартам

качества).

Найти:

а) с вероятностью 0,95 доверительный интервал для генеральной средней;

б) с вероятностью 0,954 долю некондиционных изделий в генеральной

совокупности.

N =1000 ,

n = 200,

x = 50мм,

σ = 2мм,

а) По

условию,

γ = 0,95.

Доверительный интервал для генеральной средней имеет границы:

≤ x + ∆x ,

x − ∆x ≤ x

где ∆x

- предельная ошибка для бесповторной выборки

∆x = tµx

= t

−

Параметр t определяется из равенства 2Φ(t)=γ ,

или

Φ(t)= γ . По

102

таблице функции Лапласа находят аргумент t , которому соответствует значение функции Лапласа, равное γ2 .

В нашем примере t =1,96 .

∆x = tµx = t	σ 2		−	n	= 2	4		−	200	= 0,248 (МПа).
∆x = tµx = t	n	1	−		= 2	200	1	−	1000	= 0,248 (МПа).
	n			N		200			1000

Тогда доверительный интервал для нашего примера: 50 −0,248 ≤ ~x ≤ 50 + 0,248 ;

49,752 ≤ ~x ≤ 50,248 .

Свероятностью 0,95 (в строительстве применяют термин

надежность) генеральная средняя прочности бетона находится от 49,752 МПа до 50,248 МПа, т.е. с надежностью 0,95 прочность образцов лежит в найденном интервале. На практике при вычислении доверительного интервала для прочности используется нижняя граница интервала, т.к. нас интересует большая прочность. Тогда прочность образцов будет больше, чем x −∆x , с вероятностью (1−γ) / 2 .

В нашей задаче прочность будет больше, чем 49,752, с вероятностью

0,025.

б) γ = 0,95,

t =1,96 .

Выборочная доля некондиционных изделий

W =

= 0,1.

200

Предельная ошибка для генеральной доли

∆p = tµp = t

W (1−W )

−

= 2

0,1 0,9

−

200

= 0,0372.

200

1000

W − ∆p ≤ p ≤W + ∆p ,

0,1−0,0372 ≤ p ≤ 0,1+ 0,0372,

0,0628 ≤ p ≤ 0,1372.

С вероятностью 0,95 доля некондиционных изделий во всей партии составляет от 6,28% до 13,72%.

411-420. С целью изучения статистического признака Х проведено исследование. Результаты представлены в таблице. Определить:

1)среднее значение признака Х;

2)дисперсию, среднее квадратическое отклонение;

3)коэффициент вариации;

4)моду признака Х (аналитически и графически);

5)медиану признака Х (аналитически и графически).

103

411. Распределение рабочих цеха по возрасту.

	Возраст (X),						17 - 20					20 - 30					30 - 40			40 - 50					50 - 59				всего
		годы
	Количество						29						40				14					11				6			100
	рабочих
	412. Распределение рабочих по стажу работы.

Стаж работы (X),
	годы						до 5				5-10			10-15			15-20		20-25					25-30				св. 30	всего
Кол - во рабочих							11				19			40			25			15				6				4	120
	413. Распределение студентов по росту.

Рост		до			164-				168-				172-				176-				180-
(X)	в	164			168				172				176				180				184					св. 184			всего
(см)
кол-во		12			18					22			31				27					22				8			140
	414. Распределение рабочих цеха по уровню зарплаты.

Зар. пл.			100-				110-				120-				130-			140-				150-				160-
(X), (грн.)			110				120				130				140			150				160				170			всего
Число			5				10				20				25			20				15				5			100
рабочих
	415. Распределение рабочих механического завода по общему стажу
работы.

Общий		стаж			до 5			5-10					10-15				15-20			20-25							25 и		итого
(лет)																										более
Число					35					25			15				11					9				5			100
рабочих
	416. Распределение рабочих цеха по производительности труда.

Производи				до 100				100-102				102-104					104-106			106-108						св. 108			итого
тельность				до 100				100-102				102-104					104-106			106-108						св. 108			итого
труда (%)
Число					11					21			37				24					5				2			100
рабочих
	417. Распределение рабочих по уровню зарплаты.

Зарплата (грн.)						до 100				100-			120-			140-			160-				180-				св. 200		итого
										120			140				160		180				200
Число рабочих							7			13			20				40		34				26				10		150

104

418. Распределение рабочих по выработке изделий за смену.

	Кол-во							до 60				60-70				70-80			80-90					90-100					итого
изделий, (шт.)
	Число									10			20			50			15							5			100
рабочих (чел.)
	419. Распределение рабочих по возрасту.

Возраст, (годы)										18-20			20-30		30-40			40-50			50-60					св. 60				итого
Число		рабочих,									3		18			42			25			7				5			100
(чел)
	420. Распределение рабочих по уровню зарплаты.

Зарплата,							до				150-		160-			170-			180-			190-						св.		итого
(грн.)						150					160		170			180			190			200					200
Число						11					14		23			37			15			12					8			120
рабочих
		Пример. Распределение рабочих предприятия по уровню зарплаты.


Зарплата						до 150					150-			170-			190-			210-230					св.230					итого
(грн.), xi											170			190			210
Число						11					14			25			40			17						13			120
рабочих						11					14			25			40			17						13			120
(чел.), ni
		Основной характеристикой вариационного ряда является среднее
	значение					(среднее арифметическое взвешенное)																								значение
	значение					(среднее арифметическое взвешенное)																	x. Среднее							значение
	находится по формуле:
					∑xi ni
			x =		∑xi ni					.
			x =			n				.
						n
		Для интервальных рядов в качестве значений вариант берутся
	середины интервалов. Найдем среднее значение для вышеуказанного ряда.
	В качестве x1 берется значение 140 грн. (первый интервал считается 130-
	150), x6 равно 240 грн.
				=	140 11+160 14 +180 25 +200 40 +220 17 +240 30																							=
			x		140 11+160 14 +180 25 +200 40 +220 17 +240 30
			x
					23140								120
		=			23140					=192,83 (грн.)
		=			120					=192,83 (грн.)
					120
		Средняя							зарплата			на данном предприятии										192,83 грн.							Выборки,

105

имеющие одинаковые средние могут значительно отличаться друг от друга по степени разброса (вариации). Для оценки вариации применяется дисперсия:

∑xi 2ni

−(

)2 =

−(

)2 .

D =

Вычислим дисперсию для приведенного распределения

D =

1402

11+1602 14 +1802

25 + 2002 40 + 2202 17 +

2402 13

−

120

4555600

−(192,83)2

−192,432

= 778,64.

120

Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратическим

отклонением.

σ =

Dв .

В рассматриваемом примере

σ =

778,64 = 27,90 (грн.)

Для проверки однородности выборки применяется коэффициент

вариации:

V =

100%,

В тех случаях, когда V ≤ 20%, выборку можно считать однородной.

Для примера

V =

27,90

100% =14,50%.

192,43

Вышеприведенную выборку можно считать однородной.

Модой распределения называется наиболее часто встречающаяся варианта. Для интервального ряда мода находится по формуле:

Mo = xMo + h			nMo −nMo−1			,

где xMo −		nMo −nMo−1 + nMo −nMo+1
	начало		модального интервала, т.е. интервала, имеющего
наибольшую частоту, h −				длина модального интервала, nMo−1 − частота
предмодального интервала,				nMo+1 − частота послемодального интервала.
В рассматриваемом				примере	модальный интервал 190 − 210 грн,
xMo =190,	nMo = 40,		nMo−1 = 25, nMo+1 =17, h = 20.
Mo =190 + 20			40 − 25		=197,89 (грн.)
			40 − 25 + 40 −17

На рассматриваемом предприятии наиболее часто встречается зарплата 197,89 грн.

Графически мода находится с помощью гистограммы. Модальным

106

является наибольший прямоугольник.

130

150

170

190

210

230

250

Медианой называется варианта, делящая вариационный ряд пополам, т.е. количество вариант, меньших медианы и больших медианы, равны между собой. Для нахождения медианы необходимо понятие накопленной частоты.

Накопленной частотой S(x) называется сумма вариант, меньших x. Для указанного распределения напишем накопленные частоты.

130-150

150-170

170-190

190-210

210-230

230-250

11+14=25

11+14+25=

50+40=90

90+17=

107+13=120

=50

=107

Медианным называется интервал, в котором накопленная частота

впервые принимает

половину объема

выборки

= 60. в

примере

медианный интервал 190 − 210 грн. Формула вычисления медианы

− SMe−1

Me = xMe

+ h

nMe

где xMe − начало медианного интервала,

h − длина медианного интервала,

nMe −

частота

медианного интервала,

SMe−1 −

накопленная

частота

107

предмодального интервала. В примере

			120	−50
Me =190 + 20		2		−50	=195 (грн.)
		2
		40
		40
Количество рабочих с зарплатой менее 195 грн. и более равны между
собой.
Графически медиана находится из графика:
S
130
120									*
110							*
100							*
100
90							*
							*
80
70
60						*
50						*
40
30					*
20					*
20
10		*							X
0	*								X
0	*
120	140	160			180	200	220	240	260

421-430. Составить уравнение линейной регрессии, найти коэффициент корреляции и сделать вывод о связи Х и Y. Нанести прямую регрессии на корреляционное поле.

421.

X			2	3			4		5		6		7		8
Y			3	5			5,5		4		7		7,5		8,5
	422.
X		5		2	4			6		7		3		5		6
Y		10		18	14			8		5		15		8		5
	423.
X		8		7,5		6			8,2		7,5		6,5		5,5
Y		3		2,5		1,5			3,5		3		2,5		1,5
	424.
X		1,7		2,4	3			3,5		2,5		2		1,5		4
Y		3		5	6,2			7,1		3,5		2,8		1,5		8,2

108

425.

	X		10				12		8			15						14				16					12				13
	Y		5,5				6,2		3,9			8						7,5				8,5					5				6,2
	426.
	X				3,7		4,2			3,9					4,3						5				5,2					5,3
	Y				11		12,4			15,2				16,6							17,2				18,1					19,2
	427.
	X				5,2		7,1			8,1					9,2						10,2				11,3					11,5
	Y		10,5				14,3			18,5				20,3							22,1				24,2					25,2
	428.
	X		12,2				14,3		10,6			8,2						9,5				14,2					18,1				22,2
	Y		6,5				7,5		5,8			4,7						5,1				7,2					10,2				12,1
	429.
X			36				24			18				25						31					33					24
Y			108				63			47				80						92					102					71
	430.
X		5,9				7,2		6,1		10,2		14,2					15,1					16,8				19,2				20,1
Y		6				5,4		4,3		8,3		12,1					12,4					13,2				15,1				18,2
			Пример.					Имеются			выборочные данные													по 10					однородным
			Пример.					Имеются			выборочные данные													по 10					однородным
	предприятиям

	Электровооруженность
труда на одного рабочего,										2	5		3			7			2			6		4				9	8			4
квт/ч			(х)
Выпуск готовой продукции
на раб., т					(y)					3	6		4			6			4			8	6					9	9			5
			Линейная регрессия выражается уравнением прямой (линейной
	функцией) вида:
				Yx	= a0 + a1x ;

Коэффициенты уравнения регрессии могут быть найдены методом наименьших квадратов.

Сущность метода наименьших квадратов заключается в нахождении параметров модели (a1,a2 ) , при которых минимизируется сумма квадратов

отклонений эмпирических (фактических) значений результативного

109

признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии

S = ∑(Y −Yx )2 → min

Пусть имеются данные о признаках X и Y

X1	X2 ...	Xi ...	Xn
Y1	Y2 ...	Yi ...	Yn
Для линейной зависимости
S= ∑( yi −a0 −a1xi )2 → min

Возьмем частные производные по a0 и a1 :

∂S∂a0

∂S∂a1

=∑2(a0 + a1xi − yi )= 0

=∑2(a0 + a1xi − yi )x = 0

Откуда система нормальных уравнений для нахождения линейной парной регреcсии имеет следующий вид:

na		+ a	x	=	y	i
	0	1 ∑ i			∑
	∑xi		+ a1 ∑xi2 =			∑xi yi
a0

Показателем тесноты линейной связи между факторным и результативным признаком является выборочный коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

r = (x − x)(y − y)

σxσ y

Раскрыв данное соотношение, можем получить его в другой форме:

r= xy − xy

σxσ y

Данная формула может быть преобразована к виду:

r =			n ∑xy − ∑ x ∑ y
r =
n ∑x2 −(∑ x)2 n ∑ y2 −(∑ y)2
			или
			∑ xy − ∑x ∑		y
r =			∑ xy − ∑x ∑		n			(∑ y)2 .
					n
	2		(∑x)2			2
∑x		−		n ∑ y			−
∑x		−	n	n ∑ y			−	n
			n					n

110

Для коэффициента корреляции выполняется	r	≤1.	Если r > 0,	то

между x и y прямая связь (чем больше x, тем больше y),			если r < 0,	то
между x и y обратная связь (чем больше x, тем меньше y).

Если r ≤ 0,3, то между x и y практически отсутствует связь, близкая к линейной, если 0,3 ≤ r ≤ 0,5, то между x и y умеренная связь, если r ≥ 0,7, то между x и y функциональная связь.

При помощи коэффициента корреляции уравнение линейной

регрессии может быть записано в виде:
yx − y = r						σ y		(x − x) .
yx − y = r								(x − x) .
						σx
Вернемся к решению задачи.
Составим расчетную таблицу:
x				y				xy		x2	y2	yx	(y-yx)2
2				3				6		4	9	3,61	0,3721
5				6				30		25	36	6,01	0,0001
3				4				12		9	16	4,41	0,1682
7				6				42		49	36	7,60	2,56
2				4				8		4	16	3,61	0,1521
6				8				48		36	64	6,80	1,44
4				6				24		16	36	5,20	0,64
9				9				81		81	81	9,18	0,0324
8				9				72		64	81	8,38	0,381
4				5				20		16	25	5,20	0,04
Σ = 50				60				343		304	400	60	5,761
среднее=				6				34,3		30,4	40,0	6,0	0,5761
5
na0 + a1 ∑x = ∑ y
a	0	∑x + a ∑x2 = ∑xy
	0			1
10a				+50a			= 60		;
			0		1				;
50a0 +304a1 = 343
решая систему уравнений, получаем решения:
a	0	= 2,02			.
	0			0,796	.
a1 =				0,796
yx	= 2,02 + 0,796x .
Коэффициент корреляции:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке конспекты

#
21.02.2016441.9 Кб17---.---.1-- -.--.pdf
#
21.02.2016706.64 Кб23---_-------_Excel (1).pdf
#
21.02.2016706.64 Кб20---_-------_Excel.pdf
#
21.02.20164.64 Mб43123.pdf
#
21.02.20161.55 Mб201234.pdf
#
21.02.2016855.41 Кб32end_3.pdf