Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
18
Добавлен:
21.02.2016
Размер:
1.55 Mб
Скачать

21

1.3.2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ДВОХ ПЛОЩИН

Умова перпендикулярності прямої площини в просторі

ПРЯМА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ПЛОЩИНІ В ПРОСТОРІ ТОДІ І ТІЛЬКИ ТОДІ, КОЛИ ВОНА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ДВОМ ПЕРЕТИННИМ ПРЯМИМ ЦІЄЇ ПЛОЩИНИ.

На підставі цієї умови в попередній лекції нами розроблена

Умова перпендикулярності прямої і площини на кресленні

ПРЯМА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ПЛОЩИНІ, ЯКЩО ЇЇ ГОРИЗОНТАЛЬНА ПРОЕКЦІЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ГОРИЗОНТАЛЬНІЙ ПРОЕКЦІЇ ГОРИЗОНТАЛІ, А ЇЇ ФРОНТАЛЬНА ПРОЕКЦІЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ФРОНТАЛЬНІЙ ПРОЕКЦІЇ ФРОНТАЛІ.

Ця умова легше сприймається в символічній формі запису: d α (d1 h1) + (d2 f2).

Умова перпендикулярності двох площин

ДВІ ПЛОЩИНИ ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТОДІ І ТІЛЬКИ ТОДІ, КОЛИ ОДНА З ЦИХ ПЛОЩИН МІСТИТЬ ПЕРПЕНДИКУЛЯР ДО ІНШОЇ ПЛОЩИНИ.

Ця умова є конструктивною, вона дозволяє розв’язувати практичні задачі пов’язані з перпендикулярними площинами.

Задача 3. Визначити чи перпендикулярні площини, сліди яких взаємно перпендикулярні.

Відповідь: ні, такі площини не перпендикулярні. Для доказу цього твердження з точки перетину слідів однієї з площин (рис.1.21) проведемо пряму d перпендикулярну іншій площині. Проекції d1, d2 збігаються зі слідами hα, fα , а це означає, що площина α не містить прямої d β і, за умовою перпендикулярності двох площин випливає запропонована негативна відповідь.

Задача 4. Через пряму а провести площину β(а × ?) перпендикулярну площині

α(АВС).

Пряма d, що повинна визначити площину β(а × d) може збігатися з перпендикуляром до заданої площини α(АВС).

 

 

fβ

fα

 

d2

 

a2

 

 

 

 

 

90°

 

 

 

 

 

 

 

90°

f1 d1

hβ

hα

a1

До задачі 3 α(hα, fα) ні β(hβ, fβ)

90°

 

 

 

 

 

f2

 

 

 

 

 

 

 

d2

12

C2

 

 

 

A2

 

 

 

 

22 h2

 

 

 

 

 

 

C1

 

B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d1

 

11

 

21

 

B1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90°

 

 

 

A1

До задачі 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h1

β(a × d) α (ABC)

Рис. 1.21

22

1.3.3. ПЕРЕТИН ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ

Цей розділ займає особливе (центральне) положення в нарисній геометрії, насамперед тому, що задача, яка буде поставлена і розв’язана настільки важлива в практичних додатках, що одержала власне найменування “Перша основна позиційна задача курсу нарисної геометрії”. З іншого боку, при розв’язанні цієї задачі нами вперше буде застосований один із двох основних методів нарисної геометрії “Метод посередників”.

Перша основна позиційна задача курсу нарисної геометрії:

ПОБУДУВАТИ ТОЧКУ ПЕРЕТИНУ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ.

Пряма і площина, відносно одне одного, можуть займати кожне з трьох положень. Пряма, або належить, або паралельна або перетинає площину. Для визначення того, яке з цих положень має місце в конкретному випадку, а також визначення точки перетину прямої і площини, якщо така існує, використовується спосіб площин-посередників. Сутність способу полягає в наступному:

Будується допоміжна площина-посередник, утримуюча задану пряму.

Визначається лінія перетину площини-посередника з заданою площиною.

Далі проводиться аналіз взаємного положення двох прямих ліній (заданої прямої і отриманої лінії перетину). У результаті цього аналізу з'ясовується, який із трьох випадків має місце:

1.Якщо ці лінії збігаються, то задана пряма належить заданій площині.

2.Якщо ці лінії паралельні, то задана пряма паралельна заданій площині.

3.Якщо ці лінії перетинаються, то точка їх перетину є точкою перетину заданої прямої і заданої площини.

На (рис.1.22) графічно зображені ці три випадки для площини α(АВС) і прямої МN.

 

 

С2

 

 

 

С2

 

 

 

 

С2

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

N2

12

M2

N2

12

22

N2

12

 

22

 

 

 

 

 

M2

 

 

 

M2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ2

 

B2

τ2

 

 

B2 τ2

 

 

 

B2

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

 

 

A2

C2

 

A2

 

 

C2

 

 

C2

 

 

 

11

M1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

M1

N1

 

21

N1

11

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

 

A1

 

 

B1

 

 

 

B1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

MN α(ABC)

 

 

2. MN || α(ABC)

 

A1

 

 

 

M1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× α(ABC) N1

 

 

 

 

 

 

 

3. MN

Рис. 1.22

Почнемо з складання плану (послідовності) розв’язання задачі:

1.Через пряму проводимо допоміжну площину-посередник (зручніше проектуючу).

2.Знаходимо лінію перетину допоміжної площини з заданою.

23

3.Відзначаємо точку перетину знайденої лінії перетину з заданою прямою.

4.За допомогою конкуруючих точок визначаємо видимість прямої

На (рис.1.23) графічно відбиті етапи 1 – 4 визначення точки перетину відсіку площини АВСD і прямої m.

B2

m2

 

 

 

B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

D2

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

1

2

 

 

22

D2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

K2

A

2

 

 

 

 

 

 

 

 

22 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32≡42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B1

m1

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

K2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

11

 

 

 

m

1

 

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1

D1 A1

 

C1

B1

 

 

 

A1

31

 

 

 

 

B1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D1

 

 

C1

 

 

 

 

 

D1

 

 

 

 

 

 

 

τ1 ≡ m1

K1

 

 

 

τ1

 

 

 

 

K1

 

 

11

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Заключимо пряму m(m1, m2) в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

Визначимо

лінію

4. За допомогою

горизонтально-проектуючу

площину

 

перетину

12(1121,

 

1222)

горизонтально-конкурую-

τ(τ1).

 

 

площини посередника і площини

чих точок 1, 2 визначаємо

 

 

 

 

 

 

АВСD(A1B1C1D1, A2B2C2D2)

видимість прямій m на П1. За

 

 

 

3. Відмічаємо точку

 

 

 

 

 

допомогою фронтально-

 

 

 

К(К1, КРис2) перетину. 4

лінії 12

і m.

конкуруючих точок 3,4

визначаємо видимість прямій на

П2

Рис.1.23

ПЕРЕТИН ДВОХ НЕПРОЗОРИХ ПЛАСТИН.

Першу основну позиційну задачу курсу нарисної геометрії зручно використовувати при побудові відрізка перетину двох непрозорих пластин. Для цього необхідно:

Вибрати в одному з заданих плоских відсіків відрізок (найчастіше він входить у завдання цього відсіку).

Визначити точку перетину обраного відрізка з іншим відсіком. Якщо знайдена точка перетину знаходиться поза відрізком, то (як правило) повертаються до попереднього пункту (вибирають іншу пряму в першому відсіку). Якщо жоден з відрізків першого відсіку площини не перетинає другий відсік площини, то робимо висновок, що вони не перетинаються (площини перетинаються поза відсіками або паралельні).

Визначити, таким способом, дві точки. За допомогою двох точок лінії перетину площин визначаємо відрізок перетину відсіків.

За допомогою конкуруючих точок визначаємо видимість. Оформляємо креслення з урахуванням видимості.

24

Розглянемо приклад розв’язання задачі для побудови відрізка перетину двох трикутних пластин.

σ2

 

 

F2

42

 

 

 

 

 

A2

 

12

M2

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N2

 

 

 

 

 

D2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

E2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B2

32

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

 

21

 

E1

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D1

11

M1

31

 

N1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B1

 

 

 

 

Перетин трикутних пластин

 

 

 

 

 

τ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1

 

 

 

 

ABC і DEF по відрізку MN

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.24

Точка М(М1, М2) перетину відрізка АВ α(АВС) із площиною β(DEF) визначена за допомогою площини-посередника σ(σ2). Точка N(N1, N2) перетину відрізка EF β(DEF)

з площиною α(АВС) визначена за допомогою площини-посередника τ(τ1). Відрізок MN визначає лінію перетину непрозорих трикутних відсіків АВС і DEF.

1.3.4. СПОСІБ ПЛОЩИН - ПОСЕРЕДНИКІВ ПРИ ВИЗНАЧЕННІ ЛІНІЇ ПЕРЕТИНУ ДВОХ ПЛОЩИН

У випадку, коли задані не плоскі пластини, а нескінченні площини говорять не про перетин площин по відрізку, а по прямій лінії. Пряму визначають будь-які її незбіжні точки, причому ці точки не обов'язково повинні належати прямим, що визначають площину.

У цьому випадку застосовується спосіб площин-посередників у самому загальному вигляді.

Алгоритм побудови лінії перетину двох площин способом площин - посередників:

1.Задані площини α і β розсікаємо допоміжною площиною - посередником σ (зручніше щоб σ на одній із площин проекцій проектувалася в пряму лінію).

2.Визначаємо лінію перетину площини α і площини σ (для спрощення виконання цього пункту і було запропоновано використовувати площину окремого

положення, як посередника σ).

25

3. Будуємо лінію перетину другої заданої площини β з посередником σ (випадок, коли посередник σ проходить через одну із прямих площини β, ми мали при побудові лінії перетину непрозорих пластин).

4. Відзначаємо точку перетину знайдених у пп. 3, 4 ліній перетину заданих площин α і β з посередником σ (може виявитися, що лінії перетин паралельні, але площини не обов'язково паралельні). Можна просто довести, що отримана точка одночасно належить α і β, а отже є лінією їх перетину.

5. Аналогічно за допомогою ще одного посередника τ визначають другу точку, що належить шуканій лінії перетину (зручно, якщо одна точка лінії перетину визначена за допомогою посередника σ, вибирати τ || σ).

6. З'єднуємо побудовані точки прямою лінією перетину площин. Видимість, при цьому, не визначається, тому що нескінченні площини не передбачаються непрозорими.

На (рис.1.25) зображений наочний схематичний рисунок, що може бути корисним для

 

 

 

α

 

 

M

4

 

 

β

 

 

 

a2

b2

f°2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

σ2

12

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

M2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 τ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52

 

 

 

 

N2

 

72

 

 

 

 

 

 

6

 

 

N 8

 

 

62

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X12

 

 

 

 

 

 

f°1 ≡ h°2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

11

 

 

31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51

 

 

71

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

21

M1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

61

 

 

 

h°1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Спосіб площин-посередників при побудові лінії

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перетину MN площин α і β.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

запам'ятовування алгоритму побудови лінії перетину площин, а також практичний приклад визначення лінії MN= α(a || b) × β(h° × f°).

26

1.3.5. Матеріали для підготовки до контрольної роботи № 1

Задача № 1

Визначити кут нахилу площини

Добудувати

горизонтальну проекцію

α (

f 0 ×h0 )

f2

0

АВС, що лежить у площині α (m // n)

к площині П2

 

C

n

2

 

 

m2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

B2

 

 

х12

 

f 0

h

0

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

х12

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

h

0

n1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

План розв’язання задачі:

1.Будуємо лінію найбільшого нахилу площини α до

фронтальної площини

План розв’язання задачі:

0

 

Будуємо відсутні проекції точок

проекцій, u2 f2

.

А, B, і C, як таких, що належать

2. Визначаємо натуральну

заданій площині, для чого

величину відрізка лінії

продовжуємо сторони трикутника до

найбільшого нахилу,

перетину з прямими m і n. Відмітимо,

приймаючи як перший катет

що ВР // m і n, а пряма АВ є

фронтальну проекцію

горизонталлю площиниα

відрізка, при цьому одержимо шуканий кут нахилу.

Інші умови задачі №1

Добудувати фронтальну проекцію АВС, що лежить у пл.α ( f 0 ×h0 ).

Через точку C провести горизонтальну лінію, паралельну площині α × b). Побудувати горизонтальну проекцію прямої l, що належить площині α × b). Добудувати горизонтальну проекцію прямої АВ, якщо кут нахилу її до площини П2

дорівнює 45°.

Перевірити, чи паралельні пряма а до площини α ( f 0 ×h0 ).

Добудувати горизонтальну проекцію прямої АВ, якщо АВ паралельна площині

α ( f 0 ×h0 ).

Через точку C провести фронтальну пряму, паралельну площині α (а // b). Перевірити, чи паралельна пряма MN площині α (а // b).

Добудувати горизонтальну проекцію плоского чотирикутника АВС. Через точку А провести пряму загального положення, паралельну площині

α ( f 0 ×h0 ).α ( f 0 ×h0 ).

Задача № 2

Побудувати точку перетину прямої l з площиною α ( f 0 ×h0 ).

Встановити видимість.

f20

l2

х12

f10

h2

0

h10

l1

План розв’язання задачі:

Через пряму l проводимо допоміжну січну площину, горизонтально-проектуючу або фронтальнопроектуючу.

Будуємо лінію перетину заданої і допоміжної площин.

Визначаємо шукану точку як результат перетину даної прямої і побудованої лінії.

Встановлюємо видимість по способу конкуруючих точок.

Задача № 3

Побудувати натуральну величину відстані від точки А до площини α ( f 0 ×h0 ).

План розв’язання задачі:

На підставі умови перпендикулярності прямої і площини проводимо проекції перпендикуляра

p2 f20 і p1 h10 .

Будуємо точку О перетину перпендикуляра p із площиною α .

Визначаємо натуральну величину перпендикуляра АТ.

27

Побудувати лінію перетину площин α (m // n) і β ( АВС).

Встановити видимість.

C2

n2

m2

A2

B2

х12

A1

m1

 

C1

 

 

n1

B1

 

Цю задачу

розв’язати

зручніше

використовуючи

алгоритм побудови точки

перетину прямої з площиною, застосовуючи цей алгоритм двічі та потім з’єднуючи отримані точки.

f20

А2

х12

h 0

f 0

 

2

1

h10

A1

28

РОЗДІЛ 2. СПОСОБИ ПЕРЕТВОРЕННЯ КОМПЛЕКСНОГО КРЕСЛЕННЯ

2.1. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ ТА ЙОГО ЗНАЧЕННЯ В НАРИСНІЙ ГЕОМЕТРІЇ. ЧОТИРИ ОСНОВНІ ЗАДАЧІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ.

ПОЛОЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБРАЗІВ ПРИ ЯКИХ ВІДСТАНІ І КУТИ НЕ СПОТВОРЮЮТЬСЯ НА ПЛОЩИНІ ПРОЕКЦІЙ.

Якщо прямі і площини займають окреме положення щодо площин проекцій (паралельні або перпендикулярні), то площі, відстані і кути не спотворюються. Отже, якщо необхідно визначити подібні метричні характеристики, то можна перетворити проекції геометричної форми до потрібного окремого положення, при якому потрібну метричну характеристику визначають простим виміром на тій площині проекцій, де ця характеристика не спотворюється. Приведемо положення деяких геометричних форм із неспотвореними метричними характеристиками (рис.2.1).

Для приведення геометричних форм із загального в необхідне окреме положення використовують способи перетворення проекцій. До способів перетворення проекцій відносяться:

Плоскопаралельне переміщення (ППП).

А2

 

В2

С2

 

а2

b2

 

 

 

n2

а2

А1

 

 

 

 

 

 

m2

p2

 

 

С1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

d0

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

 

 

 

 

p1

 

 

 

 

 

 

b1

 

 

m1

d0

a1

 

 

В1

 

 

 

 

 

 

 

 

90°

Н. в. трикутника АВС з не

 

Н. в. прямих а і b

 

d0 – відстань між

 

 

спотвореними його сторонами

та кута ϕ між ними.

 

m і n.

 

 

d0 - відстань

кутами і висотами.

 

C2

A2

C2

 

С2

В2

 

між а і р.

K2

 

A2

 

 

 

А2

ϕ

 

 

 

A2

 

 

 

 

 

 

 

 

B2

 

D2

B2

 

 

С1

 

 

ϕ - кут нахилу

d0

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

K1

А1

 

 

 

площини АВС до

A1

 

A1B1

ϕ0

D1

A1

d0

 

 

 

 

горизонтальної

90°

m1

 

B1

 

 

В1

 

площини проекцій

 

 

 

C1

 

 

C1

 

 

 

 

 

d0 –відстань від

ϕ0 – кут між

d0 – відстань від точки

 

Рис. 2.1

А до прямої m

 

гранями АВС і ABD

К до площини АВС

 

Обертання навколо осей перпендикулярних площинам проекцій.

Заміна площин проекцій (скорочено ЗПП).

Обертання навколо ліній рівня.

Спосіб суміщення

Спосіб допоміжного проектування.

Способи ППП і ЗПП є основними способами перетворення проекцій, а решта – додатковими. ППП і ЗПП є рівноцінними по можливостях, які вони надають при рішенні

29

всіляких задач нарисної геометрії. Додаткові способи застосовуються більш спеціалізовано, тому що кожен з них найбільш ефективний при розв`язанні свого, спеціального класу задач. Ця спеціалізація буде виділена при викладі кожного із способів перетворення проекцій.

ЧОТИРИ ОСНОВНІ ЗАДАЧІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ.

Для успішного розв`язання задач нарисної геометрії з застосуванням способів перетворення проекцій виникла необхідність виділити деякі задачі перетворення геометричних форм і особисті позначення для них (дати їм імена):

1.Задача №1. Лінія натуральна (ЛН):

Приведення прямої із загального положення в положення прямої рівня.

2.Задача №2. Лінія - точка (ЛТ):

Приведення прямої в положення прямої, що проектується..

3.Задача №3. Площина - лінія (ПЛ):

Приведення площини загального положення в площину, що проектується.. 4. Задача №4. Площина натуральна (ПН):

Приведення площини в положення площини рівня.

Методика розв`язання задач нарисної геометрії з використанням перетворення проекцій

Щоб використовувати перетворення проекцій для розв`язання конкретно заданої задачі, необхідно

Представити, в якому окремому положенні повинні знаходитися геометричні об'єкти цієї задачі для того, щоб відповідь задачі можна одержати на одній із проекцій дуже просто (наприклад, застосовуючи простий вимір). Деякі з подібних положень приведені на рисунку (рис. 1).

Відзначити, яке з чотирьох положень ЛН, ЛТ, ПЛ або ПН необхідно для безпосереднього розв`язання задачі.

Перетворенням проекцій привести задачу до цього окремого положення. Виділити на перетвореній проекції відповідь задачі.

2.2. ПЛОСКО-ПАРАЛЕЛЬНЕ ПЕРЕМІЩЕННЯ (ППП) - ОДИН ІЗ СПОСОБІВ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ.

Якщо геометричний об'єкт переміщати в системі площин проекцій так, щоб одна з координат кожної точки його не змінювала своєї величини, то таке переміщення називається плоско-паралельним. Кожна точка об'єкта переміщається по деякій траєкторії розташованої в площині рівня (горизонтальній або фронтальній). Відповідно до цього розрізняють горизонтальне плоско-паралельне переміщення (ГППП) і фронтальне плоско-паралельне переміщення (ФППП). Для розв`язання кожної із чотирьох основних задач перетворення проекцій досить цих двох видів ППП. Якщо мова йде про переміщення об'єкта, то передбачається, що він при цьому не допускає деформацій, тобто відстані між точками об'єкта не змінюються при переміщенні. Оскільки в нарисній геометрії об'єкти простору зображуються на плоскому листі креслення за допомогою системи двох ортогональних проекцій (системи Г. Монжа), то для опису ППП необхідно визначити способи переміщення проекцій при ГППП і ФППП.

30

ПЕРЕМІЩЕННЯ ПРОЕКЦІЙ ПРИ ГППП

При ГППП висоти точок переміщуваного об'єкта не змінюються, отже, кожна точка його фронтальної проекції рухається по лініях паралельних осі проекцій. Не змінюючи висоти точок ми не зможемо змінити виду горизонтальної проекції, тільки положення горизонтальної проекції може мінятися, переміщаючись, погоджено з рухом самого об'єкта в просторі. Отже, щоб виконати горизонтальне плоско-паралельне переміщення, необхідно:

1.Не змінюючи форми горизонтальної проекції, перемістити її в потрібне місце (допустимо, як паралельний перенос цієї проекції, так і її поворот).

2.Добудувати фронтальну проекцію кожної точки об'єкта, не змінюючи висот.

Приклад ГППП. Пряму АВ перемістити горизонтально, плоско-паралельно так, щоб вона зайняла положення фронтальної прямої рівня.

 

 

В2

В21

РОЗВ`ЯЗАННЯ

 

 

 

 

 

Горизонтальну проекцію А1В1 (рис. 2)

А2

 

А21

 

 

 

 

 

 

 

переміщаємо на вільне місце креслення,

Х12

 

 

 

 

повертаючи її до положення паралельного осі

 

А11

 

В11

 

 

 

 

 

 

проекцій Х12. По лініях зв'язку фіксуємо

А1

 

 

А1В1 = А11В11

фронтальні проекції точок А21В21.

 

 

 

 

ПЕРЕМІЩЕННЯ ПРОЕКЦІЙ ПРИ ФППП

 

 

В1

Рис. 2.2

 

 

 

 

 

 

 

При фронтальному плоско-паралельному переміщенні незмінними залишаються глибини точок. При ФППП фронтальна проекція об'єкта не міняючись по величині, копіює рух його, а горизонтальна проекція кожної його точки переміщається по лініях паралельних осі проекцій Х12.

Приклад ФППП: Площина α(АВС) із загального положення перевести в горизонтально-проектуюче положення.

Площина є горизонтально-проектуюча, якщо вона містить горизонтально-проектуючу пряму. Фронтальну пряму можна перевести одним ФППП у фронтально-проектуюче положення. Отже, для розв`язання задачі необхідно в площині провести фронталь, що, разом із площиною, переводимо у фронтально-проектуюче положення (рис.2.3). У нашому прикладі фронталь BD площини АВС фронтальним плоско-паралельним переміщенням спроектована в точку В11 D11, тоді площина трикутника проектується в лінію A11B11C11.

Соседние файлы в папке конспекты