конспекты / 1234

51

Фронтальною межею видимості для лінії перетину буде лінія головних меридіанів заданих поверхонь, а тому що частина лінії перетину від точки 1 до точки 5 знаходиться перед цією межею, те фронтальна проекція цієї частини лінії перетину буде видимою.

3.5.1.б. СПОСІБ ФРОНТАЛЬНИХ СІЧНИХ ПЛОЩИН

Приклад 3. Побудувати лінію перетину півсфери і прямої трикутної призми (рис.3.20).

Січна площина I перетинає півсферу по півколу a, горизонтальна проекція якої збігається з горизонтальним окресленням призми. Січну площину II проводимо через ребро призми, перетинаючи півсферу по півколу b, що у свою чергу перетинається з ребром призми в точці 2.

Для завдання найвищих точок лінії перетину поверхонь, опустимо перпендикуляри з проекції O1 центра півсфери на відповідні проекції горизонтально-проектуючих граней призми. Через отримані горизонтальні проекції 31, 41 проведемо горизонтальні сліди фронтальних площин-посередників III і IV.

Січна площина III перетинає грань призми по фронтально-проектуючій прямій, що проходить через точку 3, а півсферу по півколу c, фронтальні проекції яких, в свою чергу, перетинаються в точці 32. Аналогічно одержуємо фронтальну проекцію точки 4.

Січна площина V проходить через головний меридіан півсфери, перетинаючи при цьому призму по горизонтально-проектуючих прямих, що проходять через точки 5 і 6. Фронтальні проекції 52 і 62 будуть знаходитися на перетині фронтальних окреслень півсфери і ліній перетину січної площини з гранями призми.

Основи заданих поверхонь належать площини П1 і тому вони перетинаються в точках 1, 6, 5, що є самими низькими точками лінії перетину заданих поверхонь. Їхні горизонтальні проекції 11, 71, 81 будуть знаходитися на горизонтальних проекціях основ півсфери і призми, а фронтальні проекції 12, 72, 82 – на фронтальній проекції основ.

52

3. Визначення видимості фронтальною межею видимості є лінії головного меридіана півсфери. Тому на фронтальній площині проекцій повинна бути видимої тільки частина лінії перетину, розташована перед фронтальним меридіаном. Таким чином, на фронтальній площині проекцій П2 будуть видимі частини лінії, обмежені точками 5, 2 і 2, 6.

3.5.1.в. СПОСІБ ПРОЕКЦІЮЮЧИХ ПЛОЩИН

112131 трикутника 123 з горизонтальною проекцією E1E’1 ребра EE’, а фронтальні проекції K2 і K’2 цих точок можна знайти, використовуючи властивість належності.

Аналогічно визначимо точки L, L', M, М' лінії перетину призми з пірамідою. З'єднавши отримані точки прямими, лінію перетину.

3.Визначимо видимість лінії перетину.

Оскільки усі відрізки, що складають частини лінії перетину, належать як граням призми, так і граням піраміди, то їхня видимість цілком визначається видимістю цих граней. Так, на горизонтальній площині проекцій усієї грані піраміди видимі, а з граней призми невидима тільки одна – DD'F'. Тому на горизонтальній площині проекцій невидимі тільки відрізки L1M1 і L'1M'1, що належать лінії перетину.

На фронтальній площині проекцій видимими є дві грані піраміди – ASB і BSC, а також одна грань призми – ЕЕ'F'. Тому видимими будуть тільки відрізки K2L2 і K'2L'2, що належать цій грані призми.

Задача по побудові лінії перетину граних поверхонь, коли одна з них є проектуючою, вирішується зовсім просто: по точках перетину ребер одного багатокутника з гранями іншого – спосіб ребер; або по лініях перетину граней одного багатокутника з гранями іншого

– спосіб граней.

53

3.5.2. СПОСІБ СФЕР ПРИ ПОБУДОВІ ЛІНІЇ ПЕРЕТИНУ ПОВЕРХОНЬ ОБЕРТАННЯ

3.5.2.а. СПІВВІСНІ ПОВЕРХНІ ОБЕРТАННЯ І ЇХ ЛІНІЇ ПЕРЕТИНУ

Для визначення лінії перетину двох поверхонь обертання доцільно скористатися однією властивістю цих поверхонь. Воно полягає в тому, що

дві співвісні поверхні, тобто поверхні, що мають загальну вісь, перетинаються по колах, які проходять через точки перетину меридіанів поверхонь.

На рис.3.22 таких точок одна - Q, на рис.3.23 – дві: M і N і стільки ж відповідних їм ліній перетину: q, m, n.

Рис.3.22

Рис.3.23

На рисунках ці кола зображені відрізками прямих, що є фронтальними проекціями паралелей, по яких перетинаються поверхні обертання.

3.5.2.б. ПЕРЕТИН ПОВЕРХОНЬ ОБЕРТАННЯ І СФЕРИ З ЦЕНТРОМ НА ОСІ ОБЕРТАННЯ В окремому випадку, якщо одна з поверхонь обертання – сфера, приведене вище

властивість може бути сформульована інакше, а саме:

якщо центр січної сфери знаходиться на осі поверхні обертання, то сфера перетне дану поверхню по колах, число яких дорівнює числу точок перетину головних меридіанів поверхні

(рис.3.24).

РЗастосування сфер у якості допоміжних січних поверхонь

55

відрізків. Якщо взяти як радіус допоміжної сфери менший відрізок, то одна з даних поверхонь з такою сферою не перетнеться.

Таким чином, сфера мінімального радіуса повинна до більшої поверхні, перетинаючи меншу. Максимальний радіус сфери -це відстань від центра сфери до найбільш віддаленої точки перетину окреслень поверхонь.

Геометричний алгоритм розв’язання задачі

1.Визначаємо опорні точки (1 і 4) перетину окреслень поверхонь.

2.Визначаємо центр концентричних сфер (точка перетину осей – O(O2)).

3.Визначаємо мінімально допустиму сферу на основі проведення нормалей до нарисових ліній поверхонь і вибору більшого з двох відрізків.

4. Будуємо точки лінії перетину за допомогою мінімальної сфери – (3(32)).

5.Визначаємо максимально припустиму сферу, беручи в якості радіуса відстань до найбільш віддаленої проекції точки.

6.Проводимо проміжну сферу:

а) будуємо перетин першої поверхні і сфери (a(a2)); б) будуємо перетин сфери з другою поверхнею (b(b2));

7.Визначаємо проміжну точку 2(22).

8.Будуємо лінію перетинання поверхонь, з'єднуючи отримані точки плавної кривої по лекалу.

Лінія перетину, у цьому прикладі, розпалася на дві частини просторової кривої. В наслідок загальної площини симетрії в фігурах, що перетинаються, проектуються на цю площину (або паралельну їй площину) у виді кривої другого порядку. Якщо ж потрібно

другого порядку. Площини цих кривих проходять через пряму, що з'єднує точки перетину ліній дотику.

Відповідно до цієї теореми лінії перетину конуса і циліндра, описаних навколо сфери (рис.15), будуть плоскими кривими – еліпсами, фронтальні проекції яких зображуються прямими A2B2 і C2D2.

8.Визначимо точку 5(52) перетину

сімейства кіл, які можна розглядати як результат перетину поверхні зі сферою. У число умов входить також умова, щоб перпендикуляри, встановлені з центрів кругових перетинів, перетинали вісь поверхні обертання.

Вправа:

На рисунку 3.31 зображений елемент трубопроводу. Його поверхня циліндрична. Необхідно побудувати лінію перетину цієї поверхні з поверхнею циліндричної труби способом ексцентричних сфер.

Закон зміни радіуса перетину циліндричної поверхні.

R2 R

Рис.3.31

58

РОЗДІЛ 4. ОСНОВИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ ГЕОМЕТРІЇ.

4.1. ПОДІЛ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ.

При розв’язанні задач у нарисній геометрії може виникати задача поділу відрізка АВ, заданого

досить широкими. Він знав, що протилежні кути, що утворюються при перетині двох прямих, рівні; що в рівнобедреному трикутнику кути, що лежать при основі, рівні; що трикутник цілком визначається двома кутами та прилеглою до них стороною і що на підставі цього можна визначати відстань корабля від берега; що коло поділяється діаметром навпіл (сам довів це твердження); що кут, вписаний у півколо, - прямій. Фалесу приписують також спосіб визначення висот різних об’єктів, зокрема пірамід, по тіні, коли сонце піднімається над обрієм на 45º.

Оскільки відношення відрізків, розташованих на прямій є інваріантом паралельного проектування (не змінюється при паралельному проектуванні), тоді для поділу відрізка на епюрі досить розділити в потрібному відношенні одну з його проекцій (на рис. 1 поділена горизонтальна проекція А1В1), а потім по лінії зв’язку визначається

точка на другій проекції відрізка ( на А2В2 точка С2).

4.2. ОБЧИСЛЕННЯ ТОЧКИ ПО ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННЮ. РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ.

Якщо кінці відрізка задані координатами А(хА, yА, zА), B(xВ, yА, zА) і АС/AB = λ, тоді точкове числення дозволяє обчислити точку С:

ACAB = AA−−CB = λ A −C = λ(A−B) C = (B−A)λ+A

Точкове числення передбачає покоординатний розрахунок точок, отже, маємо координати шуканої точки С:

xC =(xB −xA )λ+xA C = (B−A)λ+A yC =(yB −yA )λ+yA .

zC =(zB −zA )λ+zA

60

прямій досить вказати область зміни параметрів. Задамо, наприклад, значення параметра t для різних геометричних форм:

4.4. ПОБУДОВА ЧЕТВЕРТОЇ ВЕРШИНИ ПАРАЛЕЛОГРАМА ПО ТРЬОМ ЗАДАНИМ. РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ.

Задача. Визначити рівняння прямої, яка паралельна АВ і проходить через точку С. Розв’язання: Поточна точка М шуканої прямої утворить з поточною точкою N прямої