TауЦС_БФ_2013(2 семестр) / ЦСлекции / ЦСлекция08

Лекция 8

Устойчивость цифровых систем управления

1. Собственное движение цифровой системы

2. Отображение s-плоскости в -плоскость

3. Критерий устойчивости ЦСУ

8.1 Собственное движение ЦС

Рассмотрим ЦСУ, изображенную на рис.1.

R(s) (s)

Рис. 1. Замкнутая цифровая система (непрерывный аналог)

Для данной системы управления выходной сигнал определяется

, (8.1)

- нули передаточной функции замкнутой цифровой системы, ;

- полюсы передаточной функции цифровой замкнутой системы, ;

;

- -преобразование входного сигнала;

- -преобразование выходного сигнала.

Разложим ыражение (8.1) на простые дроби (пусть полюса простые), получим

(8.2)

- полюсы обусловленные передаточной функцией ЦС;

- содержит полюсы обусловленные входным сигналом .

Первые членов выражения (8.2) определяют собственное движение системы. Если обратное -преобразование для этих членов с течением времени стремится к нулю, то система является устойчивой в смысле «ограниченный вход – ограниченный выход».

Обратное преобразование для -го члена (8.2) будет при ,

,

Следовательно, если , то эта составляющая стремится к нулю при . Система будет устойчива, если абсолютное значение каждого полюса меньше 1. Сомножители вида входят в выражение (символ означает -преобразование), поэтому система имеет характеристические уравнения

или

.

Примечание.

, ,

8.2. Отображение -плоскости на плоскость.

При изучении временных характеристик непрерывных систем связывали вид этих характеристик с расположением полюсов замкнутой системы. Рассмотрим отображение на -плоскость левой половины основной полосы -плоскости. Если находится на мнимой оси, то

,

т.е. при переходе от непрерывного преобразования к дискретному ось плоскости трансформировалась в вертикальную ось . Следовательно, полюсы, расположенные на единичной окружности -плоскости эквивалентны полюсам расположенным на мнимой оси - плоскости. Это означает, что система находится на границе устойчивости и в ней возникают незатухающие колебания, частота которых равна значению полюса деленному на .

Любой отрезок мнимой оси длиной отображается на - плоскости в единичную окружность.

Первая половина основной полосы отображается в область вне единичной окружности, а левая половина полосы – в область внутри единичной окружности. Поскольку областью устойчивости на плоскости является ее левая полуплоскость то областью устойчивости на плоскости является ее часть расположенная внутри единичной окружности. Линии постоянного затухания( ) отображаются в окружность.

8.3. Критерий устойчивости ЦС

Теорема 8.1. Замкнутая цифровая (дискретная) система устойчива, если все полюсы ее -передаточной функции расположены на плоскости внутри единичной окружности.

Пример 8.1. Исследуем устойчивость цифровой системы изображенной на рис. 2, периот квантования

z

(t) T y(t)

Рис. 8.2. ЦСУ

Пусть передаточной функцией объекта управления будет

Решение. Определим передаточную функцию прямой цепи, воспользовавшись результатами из предыдущих лекций

.

Обозначим , и запишем характеристическое уравнение замкнутой системы

.

Для получим

Все полюсы лежат внутри единичной окружности. Следовательно система устойчива.

Исследовав случай когда , получим, что система неустойчива.