TауЦС_БФ_2013(2 семестр) / ЦСлекции / ЦСлекция10_11

Лекция 10-11

Точность цифровых систем

1. Установившаяся ошибка управления

2. Коэфициенты ошибок

3. Установившаяся ошибка при линейном входном

воздействии

4. Статические и динамические ошибки

Литература: Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной

связью. М.:-2001 с. 515-516.

1.Установившаяся ошибка управления

Точность непрерывных систем (в установившемся режиме) основана на теореме о конечном значении из преобразования Лапласа.

Получим соответствующие выражения для ЦС (статическая ошибка, ошибка скорости, ошибка ускорения) на основании теоремы о конечном значении из- преобразования. Эта теорема утверждает

(1)

при условии, что предел слева данного выражения существует. Последнее возможно только тогда, когда все полюсы расположены внутри единичной окружности, за исключением единственного полюса .

Исследуем точность ЦС в установившемся режиме. Рассмотрим ЦС управления с единичной отрицательной обратной связью.

Рис. 1. ЦСУ с отрицательной обратной связью

Определение. Ошибку системы определим как разность между ее

входным и выходным сигналами и в момент квантования.

Пусть передаточная функция ЦС, - передаточная функция ее непрерывного аналога, - ошибка управления непрерывной системы

(1)

В (1) перейдем к -преобразованию. Передаточная функция замкнутой системы определяется

. (2)

-преобразование выходного сигнала составит

. (3)

Теперь запишем выражение для ошибки

т.е

(4)

Выражение

называют передаточной функцией относительно ошибки управления ЦС.

В соответствии с теоремой о конечном значении установившаяся ошибка управления определяется выражением

. (5)

2. Коэффициенты ошибок

Рассмотрим установившуюся ошибку, вызванную ступенчатым сигналом -преобразование которого

,

где величина ступенчатого воздействия, т.е.

Тогда

(6)

Величина называется коэффициентом ошибки по положению.

Если имеет хотя бы один плюс при , то и установившаяся ошибка при ступенчатом входном сигнале равна нулю.

Определение. Число полюсов передаточной функции разомкнутой системы

при называется типом системы.

Если система имеет тип 1 или выше, то при ступенчатом входном воздействии установившаяся ошибка равна нулю. В противном случае ошибка отлична от нуля и определяется выражением

.

3. Установившаяся ошибка при линейном входном воздействии

Если входной сигнал имеет вид линейной функции ,

то

и

(7)

Определим коэффициент ошибки по скорости следующим образом

, (8)

теперь установившаяся ошибка при линейном входном воздействии определится

. (9)

Если передаточная функция разомкнутой системы имеет два и более полюсов в точке , то коэффициент будет равен бесконечности и установившаяся ошибка при линейном входном воздействии будет равна нулю, т.е. система типа 2 или выше отрабатывает воздействие типа

без установившейся ошибки.

Между моментами квантования установившаяся ошибка неизвестна и не может быть вычислена с помощью преобразования, поскольку последнее связывает вход и выход системы только в моменты квантования.

4. Статические и динамические ошибки

Точность цифрових систем оценивают статическими и динамическими ошибками.

Определение. Статическая ошибка равна установившейся ошибке при

постоянном единичном воздействии на входе системы

преобразование единичной ступенчатой функции есть

.

передаточна функция относительно ошибки управления для замкнутой системы с отрицатильной обратной связью в общем случае определяется

.

Определение. Систему с нулевой статической ошибкой называют

астстической, в противном случае неастатической.

Порядок астатизма системы определяет кратность полюса

в точке . Систему с кратким полюсом называют

системой с астатизмом го порядка.

Динамические ошибки (ошибка скорости, ошибка ускорения) определяется также в установившемся режиме, но при изменяющемся входном воздействии. Как и в неприрывном случае воспользуемся разложением в ряд Тейлора ошибки управления. Воспользуемся известным результатом

,

или для дискретних значений плучим

.

Коеффициенты определеются

.

Оприделим коеффициентцы . Для этого в последнем выражении производную опредилим как производную от сложной функции, т.е. велечину рассмотриваем как величину зависящую от

;

;

.

Величиной коеффициентов ошибок оценивают чувствительность ошибки системы к постоянному воздействию на входе, к скорости, с которой изменяется входное воздействие, к ускорению входного воздействия. В системе с астатизмом порядка коеффициенты равны нулю, в связи с этим ошибка системы при полиномиальном воздействии

также равна нулю.

Если в астатичесской системе несколько первых коеффициентов ошибок равны нулю

то порядок астатизма равен .

Пример. Оприделим ошибки управления для системы изображенную на рис.1.

Рис.1. непрерывный аналог цифровой системы,

Передаточной функции прямой цепи является

Тип системы «0» т.к. система не имеет полюсов .

Коеффициент ошибки по положенню

.

Установившаяся ошибка при единичном ступенчатом сигнале на входе

.

Ошибка по скорости

.

Установившаяся ошибка при линейном входном воздействии

.

Установившаяся ошибка (статическая)

.

Передаточная функция относительно ошибки управления составит

.

Теперь окончательно определим статическую установившуюся ошибку

.

Опредилим динамические коеффициенты ошибок

А) по постоянному воздействию

.

Б) по скорости

.

В) по ускорению

.