TауЦС_БФ_2013(2 семестр) / ЦСлекции / ЦСлекция04

Лекция 4

Z-передаточная функция цифровой системы

1. Преобразование -передаточной функции в -передаточную

2. Метод билинейного преобразования

1. Преобразование -передаточной функции в -передаточную

Непрерывная система задается своей передаточной функцией в области комплексной переменной (как результат преобразования Лапласа временных входных и выходных сигналов системы). Нашей задачей является построение процедуры перехода к передаточной функци в виде -преобразования, если известна передаточная функция САР в виде преобразования Лапласа

.

Определение. -передаточной функцией цифровой (дискретной) системы автоматического управления называют отношение -преобразования выходного сигнала системы к -преобразованию входного сигнала системы , если последние существуют, при условии, что в начальный момент времени система находилась в состоянии покоя

, (1)

r

G(z)

(t) y(t)

Рис.1. Цифровая система управления с передаточной функцией .

Для построения -передаточной функции воспользуемся непосредственным определением -преобразования.

, (2)

где импульсная (весовая) функция системы, и при , Таким образом процедура перехода от -передаточной функции к -передаточной функции выглядит следующим образом

1. Задается величина квантования ;

2. Строится импульсная функция системы с помощью обратного преобразования Лапласа ;

3. Определяются значения , , ;

4. Строится -передаточная функция

.

Пример 1. Найдем -передаточную функцию для непрерывной передаточной функции

.

Определим весовую функцию

; .

Теперь можно построить -передаточную функцию

.

2. Метод билинейного преобразования

Комплексная переменная -преобразования связана с комплексной переменной преобразования Лапласа следующим соотношением

. (3)

Из этого соотношения имеем

. (4)

Непосредственная подстановка соотношения (4) вместо переменной в передаточную функцию приводит к трансцендентному выражению, что затрудняет анализ дискретной (цифровой) системы. Вследствие этого переменную заменяют приближенным соотношением

, (5)

взятым из разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки

. (6)

В качестве приближения из ряда (6) взято только первое слагаемое.

Определение. Соотношение (5) называют прямым билинейным преобразованием.

Определение. Обратным билинейным преобразованием называют соотношение

.

Пример 2. Для передаточной функции рассмотренной ранее выше в примере 1 построим -передаточную функцию методом билинейного преобразования.

.

Как видно результаты полученные в примере 1 и в примере 2 отличаются. Но с помощью билинейного преобразования получить -передаточную функцию проще.

Точность билинейного метода незначительно отличается от метода дискретизации импульсной характеристики (от прочих методов), при этом его использование более удобней.