TауЦС_БФ_2013(2 семестр) / ЦСлекции / ЦСлекция05

Лекция 5

Передаточная функция цифрового фильтра

1. Цифровой фильтр

2. Разностное уравнение цифровой системы

1. Цифровой фильтр

Если объект управления является непрерывным и стационарным, то систему можно смоделировать в виде разностного уравнения. Непрерывная модель цифрового фильтра имеет вид

. (1)

Уравнение описывающее линейный аналоговый регулятор(фильтр) с постоянными параметрами также имеет вид (1).

Устройство, которое реализует такой фильтр (RC – фильтр на операционном усилителе), можно рассматривать как аналоговый компьютер, запрограммированный для решения уравнения (1). Подобный цифровой фильтр может быть реализован с помощью цифрового вычислительного устройства (компьютер), запрограммированного для решения уравнения общего вида.

Задачей проектировщика цифровой системы управления является определение значений периода квантования , порядка разностного уравнения и коэффициентов фильтра, определение длины машинного слова для достижения цели управления с заданным качеством.

От непрерывной модели (1) перейдем к дискретной модели, проквантовав непрерывное время с периодом Т. В этом случае входной сигнал , выходной сигнал ) и соответствующие им производные определены только в моменты времени , Непрерывные производные заменим их дискретными приближениями.

Первая и вторая производные заменяются следующим образом

;

.

Существуют приближения производных и более высокого порядка. Взяв все представления производных в дискретной (приближенной) форме, получим разностное уравнение вида

. (2)

Определение. Разностным уравнением линейной стационарной управления называют уравнение, которое получается заменой в дифференциальном уравнении динамики всех непрерывных производных их соответствующими дискретными аналогами.

Для получения -передаточной функции из разностного уравнения (2) необходимо перейти от дискретных переменных , разностного уравнения к их -изображениям. Применим к уравнению (2) -преобразование, применив теорему запаздывания к элементам , , получим

. (3)

Теперь уравнение (3) приведем к такому виду, чтобы слева оставалось отношение , а справа будет выражение для -передаточной функции

. (4)

Данная передаточная функция является передаточной функцией цифрового фильтра, осуществляющей любую линейную операцию над цифровой последовательностью .

Пример 1. Инерционное звено определяется дифференциальным уравнением

.

Для получения передаточной функции построим вначале разностное уравнение

.

К последнему уравнению применим -преобразование. Получим

.

Окончательно запишем искомую -передаточную функцию

.

2. Разностное уравнение цифровой системы

Получим разностное уравнение из передаточной функции цифровой системы

. (5)

В соотношении (5) степень полинома числителя равна степени полинома знаменателя. Такая ситуация всегда возможна если получена из непрерывной системы методом билинейного преобразования. Разделим числитель и знаменатель на величину

, . (6)

Учитывая, что , выражение (6) перепишем в виде

. (7)

От -изображений функций и перейдем к дискретному уравнению (опять, учитывая теорему задержки), получим

. (8)

К уравнению (8) следует добавить условие

; . (9)

Разностное уравнение (8) с условиями (9) позволяет определить значение выходного сигнала в моменты времени для входного сигнала поступающего на вход системы в теже дискретные моменты времени.

Пример 2. Построим разностное уравнение для дискретной передаточной функции полученной с помощью билинейного преобразования

.

После деления на старший член знаменателя передаточная функция имеет вид

.

Обозначим

,

Перепишем в виде

.

К последнему выражению применим обратное -преобразование

.

Ранее, в примере 1, получено разностное уравнение для инерционного звена

или

.

Сравнивая выражения для полученными различными методами можно заметить, что они отличаются друг от друга. Какое представление лучше? Исследования показывают, что среднеквадратичная ошибка по совокупности отображения всех характеристик (частотных и временных) наименьшая при равных условиях для метода дискретизации импульсной характеристики и наибольшая для метода дискретизации дифференциального уравнения. Точность билинейного метода незначительно отличается от точности для метода дискретизации импульсной характеристики.