TауЦС_БФ_2013(2 семестр) / ЦСлекции / ЦСлекция09

Лекция 09

Частотні характеристики цифрової САР

1. Понятие псевдочастоты

Выражения для частотных характеристик цифровых систем получаются из их передаточных функций заменой оператора на . Так как частота входит в показатель степени числа , то частотные характеристики оказываются периодическими функциями частоты, период изменения которых равен . Поэтому, невозможно различать составляющие, частоты которых кратны частоте дискретизатора

.

Частотные характеристики цифровых систем описываются трансцендентными выражениями. Их определение связано со сложными расчетами, поэтому на практике применяются частотные характеристики относительно псевдочастоты. Переход к псевдочастоте на введении комплексной переменной

.

Данное выражение уже известно как прямое билинейное преобразование.

Определение. Величину

(1)

называют псевдочастотой, круговая частота.

Удобство псевдочастоты заключается в том, что на частотах на которых выполняется условие

она приближенно равна круговой частоте. При изменении круговой частоты

Псевдочастота принимает значения от до , а комплексная переменная движется по мнимой оси от до , т.е. внутренняя часть круга единичного радиуса на плоскости комплексной переменной отображаются в левую плоскость комплексной переменной .

Частотные характеристики относительно псевдочастоты определяются выражением

. (2)

Замена оператора в (2) есть ничто иное как обратное билинейное преобразование сведением псевдочастоты.

Пример. Определим частотные характеристики системы с передаточной функцией

.

Воспользуемся непосредственным определением оператора и применим формулу Эйлера показательной формы представления комплексного числа

.

Амплитудная и фазовая характеристики определяются соответственно

; .

Здесь круговая частота, но для нее наложено ограничение .

2. Прямой метод построения частотных характеристик

Частотные передаточные функции цифровой системы определяют из обычной передаточной функции .

. (1)

Общий метод построения частотных передаточных функций для непрерывных и цифровых систем сводится к замене в передаточной функции комплексной переменной переменой . В передаточной функции непрерывной системы замена присутствует явно, а в передаточной функции цифровой системы ее можно определить двумя основными способами. В первом способе используется точная замена

. (2)

Определение. Метод построения частотных характеристик с использованием

замены (2) назовем прямым или точным.

Сделаем замену в (2) и представим результат в комплексной тригонометрической форме

. (3)

Теперь в (1) заменим на . Результатом замены будет

, (10.2)

де

Для подальших розрахунків представимо комплексні вирази чисельника і знаменника частотної ПФ в експоненціальній формі

(10.3)

де

,

,

.

Тут величини ₁() і ₂() записані так, як вони звичайно використовуються при обчисленнях функції arctg(b/a) для визначення кута величини a+jb.

Амплітудно-частотну характеристику розімкненої ЦС визначимо з (10.3) як

A()=|W()|=M₁() / M₂(), (10.4)

а фазово-частотну характеристику як

()=arg W(j)=₁() - ₂(). (10.5)

Графіки АЧХ і ФЧХ розімкненої ЦС будуються в діапазоні частот від 0 до _д/2=/T, де _д=2/T – частота дискретизації, з яких визначається частота зрізу _з, частота _ і відповідно запас стійкості з фази  і запас стійкості з амплітуди A.

Подібним до описаного способом, виходячи з ПФ Φ(z), можна розрахувати частотні характеристики замкненої цифрової системи.

При сравнении частотных характеристик цифровой и непрерывной системы следует иметь в виду, что их сравнение возможно только в диапазоне частот от 0 до половины частоты дискретизации, где характеристики могут быть подобными, но для реальных систем точно совпадать не могут.

Если цифровая передаточная функция синтезирована билинейным преобразованием заменой

, (11)

То несовпадение между частотными характеристиками и ее аналогового прототипа можно определить из следующих соображений. Сделаем в (11) замену с следующей заменой в левой части переменной на , а в правой на , где обозначает «аналоговую» частоту, а обозначает «цифровую» частоту. В результате такой замены получим зависимость между «аналоговой» и «цифровой» частотой

. (12)

Аналоговая частота отличается от введенной в рассмотрение ранее псевдочастоты только рассуждениями, эти величины отличаются лишь качественно (количественно совпадают).

Цифровая и аналоговая система мало отличаются между собой только в диапазоне низких частот. когда

.

Чем меньше интервал дискретизации тем шире диапазон частот, в котором наблюдается приближенное равенство . Всегда половине частоты дискретизации цифровой системы отвечает частота аналоговой системы. Это означает, что весь бесконечный интервал аналоговых частот отображается в интервал «цифровых» частот.

3. Приближенный метод расчета частотных характеристик цифровой

системы

В цифровой передаточной функции (1) заменим комплнксную переменную на комплексную переменную в соответствии с выражением

(13)

Известное как билинейное преобразование.

Определение. Метод построения частотных характеристик с

использованием подстановки (13) назовем приближенным.

В результате подстановки (13) в (1) получим передаточную функцию , которую можно трактовать как непрерывный аналог цифровой системы. Частоту цифровой системы соотсветствующей приближенной частотной характеристике обозначим . В результате данной замены получим частотную передаточную функцию непрерывного аналога цифровой системы от псевдочастоты. Теперь получим соотношения для АЧХ и ФЧХ

;

.

Между частотными характеристиками. Рассчитанными прямым и приближенным методами существует отличие. Действительно, т.к.

,

то из последнего соотношения можно получить зависимость между и

.

Аналогичное как полученное ранее.

Так как сигнал на выходе дискретизатора существует только в дискретные моменты времени, то прохождение сигнала через дискретизатор связано с потерей информации. При ограниченном спектре сигнала можно вновь восстановить сигнал по последовательности мгновенных импульсов на выходе дискретизатора. Для этого необходимо чтобы выполнялось условие теоремы Котельникова

.

4. Особенности расчета частотных характеристик замкнутой цифровой

Системы

Частотные характеристики замкнутой цифровой системы можно рассчитать любым методом описанным выше. Но если в процессе расчета были получены и ее разомкнутой части, то последние можно использовать для расчета характеристик замкнутой системы

;

.

Эти формулы были получены для непрерывной системы, но частотный диапазон применения этих формул в расчетах цифровой системы ограничен половиной частоты дискретизации .

При расчете ФЧХ необходимо контролировать знаменатель. При отрицательных значениях знаменателя необходимо величину аргумента увеличить на величину .