TауЦС_БФ_2013(2 семестр) / ЦСлекции / ЦСлекция13Боде

Лекция 13

Диаграмма Боде

Изображение частотных характеристик непрерывных систем в виде диаграммы Боде удоб­но тем, что их можно аппроксимировать прямолинейными отрезками. Независимой пере­менной в этом случае является . Если передаточную функцию дискретной системы пред­ставить в зависимости от переменной билинейного преобразования, то для нее тоже можно построить диаграмму Боде, воспользовавшись кусочно-линейной аппроксимацией. Приве­дем пример.

Пример. Рассмотрим систему управления с передаточной функцией непрерывного аналога, рис 1.

Передаточной функцией соответствующей цифровой системы, полученной с помощью дискретизации импульсной функции, будет.

.

Передаточная функция объекта име­ет вид

.

Применим обратное z-преобразование, получим

и

Мы видим, что числителю соответствуют асимтоты излома и , а знаменате­лю — и . Кусочно-линейная аппроксимация диаграммы Боде для этой систе­мы приведена на рис. 2. На диаграмме указаны запасы устойчивости по модулю и по фазе.

Информацию о частотных характеристиках разо­мкнутой системы содержат как диаграмма Найквиста, так и диаграмма Боде. Эта инфор­мация одна и та же, только представлена в различных осях.

Рис. 2. Диаграмма Боде

Можно показать, что и, частот­ные характеристики дискретных систем имеют тот же смысл.

Частотные характеристики дискретной системы при синусоидальном входном воздействии описывают ее установившуюся реакцию в моменты квантования; эта реакция также является синусоидальной. Заметим, что в промежутках между моментами квантования реакция неизвестна; в действительности она не является синусоидальной, а форму ее очень трудно определить, если только не прибегать к моделированию. Если частоту квантования выбрать достаточно большой в сравнении с полосой пропускания систе­мы, то при синусоидальном входном сигнале реакция системы между моментами кванто­вания приблизительно будет синусоидальной.

В примере частотные характеристики, необходимые для построения диаграм­мы Боде, были вычислены после определения передаточной функции . Этот метод приемлем только в случае систем невысокого порядка, т.к. вычисление — достаточ­но сложная операция. Вместо этого целесообразно с помощью компьютера и одной из процедур, рассчитать частотные характеристики в зависимости от действительной частоты . Затем каждому значению действительной частоты со можно поставить в соответствие частоту по выражению

После этого нетрудно построить диаграмму Боде, изобразив частотные характеристики в зависимости от . При этом отпадает необходимость определения , чтобы рассчитать .

По поводу диаграмм Найквиста для цифровых систем необходимо сделать одно важное замечание. Диаграмма Найквиста для цифровых систем обычно заканчивается в некоторой точке действительной оси, но не в начале координат.

При малых частотах (на плоскости), где имеет малое значение, будет

т.е. в этом случае частота на -плоскости приблизительно равна частоте на -плоскости. Это справедливо для частот, при которых .

Для

Ошибка аппроксимации составляет 4%.

Период квантования обычно выбирают так, чтобы данное условие выполнялось в большей части, если не во всей полосе пропускания системы. При экстраполятор нулевого порядка вносит сдвиг по фазе, равный -18°.

В непрерывных системах запас по модулю определяется как число, на которое надо умножить коэффициент усиления системы, чтобы достичь границы устойчивости. Запас по фазе определяется как угол, на который необходимо повернуть диаграмму Найквиста, чтобы она прошла через точку -1. Точно так же определяются запасы по модулю и по фазе для цифровых (дискретных) систем.