TауЦС_БФ_2013(2 семестр) / ЦСлекции / ЦСлекция06_07

Лекция 6, 7

Разомкнутые и замкнутые цифровые системы управления

1. Передаточная функция разомкнутой системы

Рассмотрим дискретную разомкнутую систему, изображенную на рисунке

Объект

Рис. 1. Разомкнутая дискретная система

Передаточная функция представленной разомкнутой системы имеет вид

Найдем – преобразование для полученной передаточной функции (непрерывной системы). Для этого полученное выражение

разложим на простейшие дроби

.

Используя таблицу соответствий между - преобразованием и преобразованием Лапласа, получим

Положив секунде, получим

.

Реакцию этой системы на единичный импульсный сигнал можно найти, положив , так что . мы можем получить путем деления числителя на знаменатель

получим

.

Эти вычисления дают реакцию системы в моменты квантования и могут быть продолжены насколько это необходимо.

Из выражения

имеем

Заметим, что соответствуют значениям при

Мы получили выражение для , т.е. – преобразования выходного сигнала системы в моменты квантования. Входной сигнал имеет – преобразование Поэтому можно определить передаточную функцию системы в - области как

Поскольку значения непрерывного входного сигнала берутся только в моменты квантования, то мы можем отразить этот факт, введя дополнительный (фиктивный) квантователь, см. рис. 2.

Рис. 2. Система с квантованием выходного сигнала.

При этом предполагается, что оба квантователя работают синхронно с одним и тем же периодом. Тогда очевидно, что

Это соотношение можно отобразить в виде одного блока, рис. 3.

Рис.3. Изображение дискретной передаточной функции в виде блока структурной схемы.

2. Передаточная функция замкнутой системы

В дальнейшем для простоті изложения будем рассматривать дискретную систему как цифровую, пренебригая погрешностью квантования по уроню

r(t) R(z) E(z) Y(z)

Y(z)

Рис. 4. ЦСУ с единичной обратной связью

Поскольку значения входного и выходного сигналов берутся в дискретные моменты времени, то систему можно изобразить в более простом виде

Рис. 5. ЦС с передаточной функцией совместно с экстраполятором нулевого порядка

есть z – преобразование передаточной функции представляющий объект совместно с экстраполятором нулевого порядка.

Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид

, (3)

Модель системы с цифровым регулятором, в которой все сигналы представлены в виде своих z–преобразований представлена на рис. 3.

r(t) Y(z)

R(z)

Y(z)

Рис. 3. Замки цифровой системы управления с цифровыми регуляторами

Такая замкнутая система имеет передаточную функцию

, (4)

3. Передаточная функция замки системы с непрерывной передаточной

функцией в цепи ОС.

Рассмотрим САР содержащее цифровой регулятор в прямой цепи (ЭВМ)

E(z) ЭВМ экстраполятор

R(z) Y(s)

P(z)

Определим ошибку регулирования. Запишем -передаточную функцию для ОС. Сигнал определится

, (5)

. (6)

Из выражения (4) следует

. (7)

Решая уравнение (5) относительно , получим

. (8)

Выражение (8) передаточная функция ошибки регулирования.

Определим значение выходного сигнала в -преобразовании.

,

а учитывая (8) получим значение передаточной функции замкнутой системы

.

2. Определение реакции замкнутой системы

Реакцию замкнутой системы рассматрим для конкретного примера. В разомкнутом состоянии при Т=1 секунда система имеет передаточную функцию

или

.

Для замкнутой системы

.

Подставляя в это выражение значение для , получим

.

Если входной сигнал задан в виде единичной ступеньки, тогда

и

.

Выполнив деление числителя на знаменатель, получим

Построим график. В ЦС перерегулирование равно 45%, тогда как в непрерывной системе оно составляет 17%. В ЦС время установления в два роза больше, чем в непрерывной.

Рис.4. Сравнение переходных процессов непрерывной и цифровой

системы.

Пример. Определим передаточную функцию системы не содержащей цифрового регулятора, , передаточная функция цепи обратной связи также полагается равной 1, передаточная функция объекта регулирования , время квантования , рис. 5

Z(t) e(t) e*(t) y(t)

Рис 5.

Передаточная функция замкнутой ЦС будет

В качестве входного сигнала возьмем

.

Найдем передаточную функцию прямой цепи

.

Теперь запишем -преобразование выходного сигнала

,

Определив вначале передаточную функцию системы с обратной связью

.

Имеем выходной сигнал

.

Далее поступаем аналогично как в случае определения дискретных значений выходного сигнала для разомкнутой системы; делим числитель последнего выражения на знаменатель.