TауЦС_БФ_2013(2 семестр) / ЦСлекции / ЦСлекция02

Лекция 2

Обратное – преобразование

1. Метод разложения в степенной ряд

2. Метод разложения на простое дроби

–преобразование часто используется при решении разностных уравнений, при решении задач анализа и синтеза ЦС управления. Однако в некоторых случаях необходимо знать обратное – преобразование. Рассмотрим некоторые из них.

1. Метод разложения в степенной ряд

Этот метод заключается в делении числителя на знаменатель в выражении , в результате получается ряд

Коэффициенты этого степенного ряда представляют собой значение числовой последовательности .

Пример 1. Пусть необходимо получить обратное –преобразование следующего выражения

.

Разделим числитель на знаменатель

В результате деления получили следующие элементы числовой последовательности

Нетрудно записать элементы последовательности в общем виде (хотя эта операция не всегда удается)

.

2. Метод разложения на простое дроби

Функцию можно разложить на простые дроби и далее для нахождения обратного Z-преобразования воспользоваться таблицей Z-преобразований

-преобразование последовательностей

-преобразование последовательностей порожденных функцией

Функция -преобразование Функция -преобразование

1

Замечание. На простые дроби раскладывается функция , а затем каждая дробь умножается на , чтобы придать надлежащую форму.

Пример 2. Найдем обратное –преобразование для замкнутой формы

.

Разложим дробь на простые дроби

.

Далее, выражение состоящее из простих дробей разделим на элемент . Будем иметь

.

Теперь умножим полученную сумму, состоящей из простых дробей, обратно на величину и, воспользовавшись таблицей –преобразований, получим

.

Здесь символ обозначает обратное –преобразование. Таким образом окончательно имеем последовательность

.

В случае, когда не содержит в числителе множителя и не имеет полюсов , то удобно представить в виде

Тогда уже будет иметь в числителе множитель , и решение задачи для может быть получено путем разложения на простые дроби. По теореме о сдвиге на целое число тактов получим

Если имеется полюс кратности , то можно поступить следующим образом

.

При этом как и ранее, будет содержать в числителе необходимый множитель .