Билет 15.

1. Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций

Ряд в правой части – ряд Маклорена в окрестности 0. Для того что бы ряд Маклорена сходился в ф-ии f(x) достаточно чтобы производная любого порядка ф-ии f(x) была ограничена некоторой const M. Ifⁿ(x)I<=M, VnєN.

ПРИМЕР Найти ряд Маклорена для функции . Решение. Воспользуемся тригонометрич. равенством Поскольку ряд Маклорена для cos x имеет вид , то можно записать Отсюда следует:

2. Дискретная двумерная случайная величина

Двумерная СВ – совокупность двух СВ, рассматриваемых совместно. Если составляющими являются дискретные величины, то двумерная СВ является дискретной. Она может задаваться с помощью функции распределения и с помощью таблицы, имеющей 2 входа. Зная таблицу можно найти законы распределения составляющих: ; Условный закон распределения составляющей Х при условии, что У=у_i можно найти по формуле:

Пример: Найти законы распределения составляющих двумерной СВ, заданной таблицей:

Y	X
	x1	x2	x3
y1	0,10	0.30	0.20
y2	0,06	0.18	0.16
X	x1	x2	x3
p	0.16	0.48	0.36

Y	y1	y2
p	0.6	0.4

Билет 16.

1. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях

ПРИМЕР Вычислить  с точностью до 0,001. Воспользуемся разложением  Тогда

=

=1–0,3333+0,1–0,0238+0,0046– –0,0008≈0,7475≈0,748.

2. Непрерывная двумерная случайная величина.

Если составляющие СВ представляют собой непрерывные величины, то ДСВ является непрерывной. F(x,y)=P(X<x,Y<y) – функция распределения. Свойства:

НДСВ может быть задана так же с помощью плотности распределения: . (Х,У) – составляющие являются независимыми, если распределение вероятности одной не зависит от того какое значение примет другая. В этом случае F(x;y)=F1(x)F2(y)

Пример: найти плотность распределения по заданной функции: F(x,y) = sinxsiny;

БИЛЕТ 17.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющими переменными

ДУ называется ур-ие в которое входит неизвестная ф-ия и её производная. Порядком диффер. ур-ия наз. наивысший порядок производных. Функция называется решением ДУ, если при подстановке этой ф-ии и её призв. в ур-ие получаем тождество по переменной х.

Общее решение ДУ – функция, зависящая от произвольных постоянных. Частное решение – получается из общего при конкретных значениях произвольных постоянных.

ДУ первого порядка с разделяющими переменными - y’=f(x)g(y). Схема решения:

1) dy/dx=f(x)g(y); 2)d(y)/g(y)=f(x)dx

3)интегрируем

Пример:

2. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

Будем рассматривать следующие числовые характеристики: мат.ожидание, дисперсия, среднее квадр.отклонение. Чтобы их найти нужно составить безусловные законы распределения составляющих и воспользоваться формулами: ; ; для у тоже самое. (mx, my) – точка, определяющая среднее значение СВ, вокруг которого разбросаны возможные значения. Dx, σx – характ. разброс значений СВ вдоль оси ОХ, а Dу, σу- ОУ. Корреляционный момент(ковариация) - – определяет связь между компонентами Х и У: если компоненты независимы, то ковариация = 0.Коэффициент корреляции - – характеризует степень линейной зависимости между Х и У. Если оно неравно 0, то Х и У – коррелированные.

Пример:

Y	X
	1	2	3
10	0,10	0.30	0.20
20	0,06	0.18	0.16
Y	10	20
p	0.6	0.4
X	1	2	3
p	0.16	0.48	0.36