Билет 1.

1. Понятие функции нескольких переменных. Частные производные первого порядка

Если каждой паре чисел (х, у) из некоторого множества D поставлено в соответствие единственное число z, тогда говорят, что z является функцией двух независимых переменных х и у – z=f(x,y).

Частное приращение функции по переменной х называется разность вида:

и по у: .

Частной производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения функции по переменной х к х, когдах→0 -. Чтобы найти частную производную по переменной х, нужно считать переменную у=const и пользоваться обычными правилами дифференцирования.

Аналогично по у:

Пример: z=5x³y⁴-3x²+2y; z’_x=15x²y⁴-6x; z’_y=20x³y³+2

2. Теоремы сложения вероятностей для несовместных и совместных событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: Вероятность появления одного из двух несов­местных событий равна сумме веро­ятностей этих событий: Р (A₁ + А₂ + ... + А_п) = р (A₁) + р (А₂,) + ... + р (А_п). Сумма вероятностей событий A₁ + А₂ + ... + А_п образующих полную группу, равна единице: р (A₁) + р (А₂,} + ... + р (А_п)=1

Пример: В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих в 15 белых. Вытаскивается один шар. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие А)Р ( А) = 10 : 30=1/3.

Вероятность появления синего шара (событие В)Р (В) =5/30 =1/6. События А и В несовместны, поэтому теорема сложения при­менима. Ответ Р (А + В) = Р(А) + Р(В) = 1/3+ 1/6= 1/2.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий: Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB)

Билет 2.

1. Полный дифференциал функции нескольких переменных и его применение

–сумма произведений частных производных на приращение аргументов. Применяется для приближенного вычисления значения функции.

Пример: (1,04)^2,02; z=x^y; x=1,04; x0=1, ∆x=0,04; y=2,02; y0=2; ∆y=0,02; z(1;2)=1;

2. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

События являются независимыми, если вероятность одного события не зависит от того, произошло ли другое событие.

Условная вероятность события В – вероятность этого события, вычисляемая при условии того, что событие А произошло: Ра (В) =Р (АВ)/Р (А)

Пример: В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет Р(А/В)=2/4=1/2. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий: вероятность произведения зависимых событий равна произведению безусловной вероятности одного на условную вероятность второго: Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В)

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ)=Р(А)Р(В)

Пример: Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность двойного попадания. Пусть А – попадание первого стрелка Р(А)=0,8; В – попадание второго стрелка, Р(В)=0,9; АВ – двойное попадание, Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,72.