Билет 21.

1. Линейные ду второго порядка. Теоремы о структуре общего решения однородного и неоднородного уравнения

y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x) Пример: y’’+3y’+xy=x²

Теорема о структуре общего решения однородного ур-я: y’’+p(x)y’+g(x)y=0; общее решение - . Теорема о структуре общего решения неоднородного ур-я: , где – решение соответствующего однородного ур-я; у* - частное решение, без С.

2. Точечные оценки параметров

Точечной оценкой параметра а (мат.ожидание) является приближенное значение этого параметра a*=(X1, X2,…,Xn). Это значение зависит от объема выборки, закона распределения и вида плотности. Существует ряд свойств: 1)Несмещенности: точечная оценка называется несмещенной, если ее мат.ожидание = а - M[a*]=a.

2) состоятельности: с увеличением объема выборки а* сходится к истинному значению параметра а по вероятности: а* а

Чем больше объем выборки, тем ближе к а.

3) эффективности: точечная оценка а* должна иметь минимальную дисперсию при заданном объеме выборки.

;

Билет 22.

1. Линейные однородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами

y’’+py’+qy=0, где p и q – константы.

Решение: составить характеристическое уравнение – k²+pk+q=0; количество решений зависит от дискриминанта: D>0, ; D<0, ;D=0,

Пример: у’’-2у’+2y=0; k²-2k+2=0; D=­ –4; k_1,2==1±I; y=C₁e^xcosx+C₂e^xsinx.

2. Методы получения точечных оценок: метод моментов, метод наибольшего правдоподобия

1) метод моментов: известно, что f(x,a) – плотность распределения. Требуется найти а*. В качестве а* берется корень уравнения M(X)=; .

Пример: СВ Х – время работы элемента имеет показательное распределение:

xi	2,5	7,5	12,5
ni	133	45	22

; ;,

2) метод наибольшего правдоподобия: в результате наблюдения получены значения х1, х2,…,хn. Чтобы найти а* составим функцию правдоподобия:

L(x1, x2,…,xn; a)=f(x1;a)*f(x2;a)…

a* - точка абсолютного максимума функции правдоподобия. Можно искать точки логарифмированной функции правдоподобия.

Билет 23.

1. Решение ЛНУ второго порядка методом вариации произвольных постоянных

y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x) Метод заключается в том, что зная общее решение однородного уравнения, можно найти решение неоднородного.

y’’+p(x)y’+g(x)y=0;

;

; Можно показать что производные функций С1 и С2 удовлетворяют системе:

Пример: y”-3y’+2y=e^x y”-3y’+2y=0

D=1 k_{1 2}= 1 и 2

K²-3k+2=0 ȳ=C₁e^x+C₂e^2x

y=C₁(x)e^x+C₂(x)e^2x

C₁’(x)e^x+C₂’(x)e^2x=e^x

C₂’(x)e^2x=e^-x C₂’(x)=e^-x

C₁’(x)e^x+e^-xe^2x=0

C₁(x)=ƪ-1dx=-x+C₁

C₂(x)=ƪe^-xdx=-e^-x+C₂

Y=(-x+C₁)e^x+C(-e^-x+C₂)e^2x

Y=C₁e^x+C₂e^2x-xe^x-e^x

2. Понятие об интервальном оценивании неизвестных параметров распределения. Доверительные интервалы и доверительные вероятности

Доверительный интервал – интервал со случайными границами, который заданной надежностью покрывает истинноезначениепараметра а.

По заданной выборке по определенным правилам найдем числа а и, так чтобы выполнялось условие:P(а < а< )=  Число  называется доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки, ее берут близкой к 1.

БИЛЕТ 24.

1. Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

y”+py’+qy=P_n(x)e^ax, где p,q,a=const P_n(x)-многочлен степени n. Можно найти рещ-ие ур-ия не используя операцию интегрирования у=ȳ+у*

у*=Q_n(x)e^axx^r ,Q_n(x)-многочлен степени n с неизвестн.коэфиц.

r – число,которе показывает сколько раз число a встречается среди корней характерист.ур-ия (r=0,1,2)

Q₀(x)=A Q₁(x)=A_x+B Q₂(x)=Ax²+Bx+C

ПРИМЕР y”+4y’+3y=x

y:k²+4k+3=0 D=4 k= -1 и -3

ȳ=С₁е^-х+С₂е^-3х

у*=Ax+B y*’=A y*”=0

3A=1 → A=1/3

4A+3B=0 → B=(- 4/9)

y*=1/3x-4/9 ОТВЕТ:

y=C₁e^-x+C₂e^-3x+1/3x-4/9