2. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение

Одной из характеристик ДСВ является дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения СВ от своего мат.ожидания. D(X)=M(x-M(X))². Расчетная формула:

Дисперсия СВ характеризует разброс возможных значений СВ вокруг своего мат.значения. В финансовой математике мат.ожидание – прогнозный доход, а дисперсия – риск. Свойства: 1) D(c)=0; D(X+c) = D(X); 2) D(cX) = c²D(X); 3) D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y);

Пример: Найти дисперсию СВ:

Х	0	1	2
Р	0,16	0,48	0,36

М(Х)=1,2; D(X) = 0,48+4*0,36-(1,2)² = 0,48.

Среднее квадратическое отклонение. Дисперсия характеризует разброс значений СВ вокруг мат.ожидания, но имеет размерность квадрата СВ, поэтому из дисперсии извлекают корень и в результате получается характеристика, которая называется среднее квадратическое отклонение. . Оно характеризует разброс возможных значений вокруг мат.ожидания.

Пример: для предыдущего примера

Билет 10.

1.Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд

Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

Необходимый признак сходимости: Если ряд сходится, тогда предел n-го члена ряда равен 0.

СВОЙСТВА

1)Отбрас или не приписывая конечного члена ряда не влияет на его сходимость

2)Сходящийся числ ряды можно почленно слаживать и вычитать.

3)Общий множитель всех членов сход ряда можно вынести за знак ряда =

2. Частные виды дискретных случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение

Биноминальное распределение. Проводится серия из n одинаковых, независимых испытаний, в каждом может произойти событие А, Р(А)=р. Х- число появлений события А в этой серии.

Х	0	1	2	n
Р	qn	Cn1 pqn-1	Cn2 pqn-2	pn

M(X) = np; D(X) = npq.

Распределение Пуассона. Говорят, что ДСВ, которая принимает значения 0, 1, 2,…, распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что СВ принимает значение m равна:

M(X)=a; D(X)=a. Закон Пуассона появляется в простейшем потоке событий(вероятность появления определенного числа событий за определенный промежуток времени зависит только от длины промежутка и не зависит от расположения на оси времени). Интенсивность простейшего потока – среднее число событий, которые появляются за единицу времени. Пусть λ – интенсивность. Х – число событий, которые возникли за время t, тогда:

Пример: Среднее число вызовов в минуту – 2. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит 2 вызова. λ=2, t=5, m=2;

Геометрическое распределение: Вероятность появления события А равна р. Испытания проводятся до первого появления события А. Х – число испытаний.

X	1	2	3	k
p	p	qp	q2p	qk-1p

Если число испытаний ограничено, тогда говорят, что Х имеет урезанное геометрическое распределение.

М(Х)=1/р; D(Х)=q/p².

Пример: Из орудия производятся выстрелы до первого попадания, вероятность попадания равно 0,6. P(X=k)=(0,4)^k-1 0,6; M(X)=1,67; D(X)=1,1.