Билет 18.

1. Однородные ду первого порядка

Метод решения:

1) ; y=Ux

2)y’=(Ux)’ y’=U+xU’

3)

Пример:

2. Условные числовые характеристики системы случайных величин. Регрессия

Рассмотрим двумерную СВ (Х,У). Условным мат.ожиданием одной из составляющих называется мат.ожидание этой величины, вычисленное в предположении, что другая составляющая приняла конкретное значение (m_x/y) – регрессия СВ Х на У. Графиком является кривая зависимости или линия регрессии. Чтобы найти условное мат.ожидание нужно составить условные законы распределения составляющих.

Пример:

У		Х
		1	2
0		0,1	0
2		0	0,3
	У		0	2
	Р(У/Х=1)		1	0
	У		0	2
	Р(У/Х=2)		0	1
	Х		1	2
	Р(Х/У=0)		1	0
	Х		1	2
	Р(Х/У=2)		0	1

m_y/x1=0, m_y/x2=2. построить график. m_x/y1= 1, m_x/y2=2.

Билет 19.

1. Линейные ду первого порядка

линейное ДУ содержит искомую функцию и ее производную первой степени.

1) метод Бернулли: будем искать решение в виде произведения y=uv; найдем производную, подставим в уравнение – u’v+v’u+p(x)uv=g(x). Сгруппируем слагаемые и вынесем за скобки: u’v+u(v’+p(x)v)=g(x); v’+p(x)v=0, решаем как уравнение с разделяющимися переменными, подставляем в предыдущую формулу и решаем относительно u.

Пример: xy’+y=x; y=xlnx+Cx

2) метод вариаций произвольной постоянной:

Вместо g(x) подставляем 0, ; будем искать решение в виде: ; подставим в предыдущую формулу.Пример:

Таким образом: –.

и в уравнение:

2. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии

Рассмотрим двумерную СВ, предположим, что составляющие зависимые. Представим одну из величин как функцию другой. Ограничимся приближенным представлением величины Y в виде линейной функции величины X: У≈αХ+β. Найдем α и β используя метод наименьших квадратов: М[У-(αХ+β)]²→min. Получаем . Уравнение прямой средней квадратической регрессии:

Пример: Составить уравнения прямых среднеквадратических регрессий.

Y	X
	1			2			3
10	0,10			0.30			0.20
20	0,06			0.18			0.16
Y		10			20
p		0.6			0.4
X	1		2			3
p	0.16		0.48			0.36

Билет 20.

1. Ду второго порядка, допускающие понижение порядка

В общем виде ДУ второго порядка записывается так: F(x,y,y’,y’’)=0. Общее решение содержит две произвольные постоянные.

Уравнение, допускающее понижение порядка не содержит у: F(x.y’,y’’)=0. Понизить его можно введением новой функции: y’=z; y’’=z’.

Пример: xy’’+y’=0; xz’+z=0; dz/dx=-z/x; lnz=-lnx+lnC1; z=C1/x; y’=C1/x; y=C1lnx+C2

2. Выборочный метод. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма

Пусть наблюдается СВ- Х. Х1 – результат первогонаблюдения, Хn- выборка объема н из ген.совокупности. Каждая из СВ Хі имеет тоже распределение, что и Х. Конкретное значение – х1, х2…-варианты. Вариационным рядом называется последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке. Частота - число повторений варианты:

. Статистическим распределением частот является перечень вариант и соответствующих им частот. Относительная частота – отношение частоты к объему выборки - . Статистическое распределение относительных частот – перечень вариант и относит. частот(аналог загона распределения). Мода – варианта с наибольшей частотой(m₀). Медиана – значение, которое делит ряд пополам(m_e).R=xmax-xmin – размах варьирования. Полигон частот – ломаная, звенья которой соединяют точки (xi;ni). Гистограмма частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников(площадь равна n).

Эмпирическая функция распределения - , где nx – накопленная частота(сумма частот выборки меньших х), n – объем выборки. Пример:

хі	4	7	8
ni	6	6	4

m₀=4, me=7, n=16, R=8-4=4. Построить график ni, xi. Составить таблицу для , построить график. построить график(ступеньки).