Билет 5.
1. Локальный экстремум функции двух переменных
Рассмотрим ф-ию z=f(x;y) М0(х0у0) яв-ся точкой максимума ф-ии f если для все точек из некоторой окресности точек М0 выполняется нер-во f(x;y)<f(х0у0). Или если полное прирощение ф-ии в этой точке будет всегда отрицательной. Точка М0 наз. точкой минимума ф-ии f если для всех точек точек из некоторой окресности точек М0 выполняется нер-во f(x;y)>f(х0у0).Или если полное прирощение ф-ии в этой точки будет всегда положительной. Теорема: необходимое условие экстремума: если М0(х0у0) яв-ся точкой экстремума ф-ии z=f(x;y), то частное произв ф-ии zx’(M0) и zу’(M0)=0 или не существует. f(x0y0)(x-xё0)+fy’(y-y0)=z-z0 ур-ие касательной. Если касательная пл-ть паралельна OZ,то z=z0,тогда fx’(x0y0)(x-x0)+fy’(x0-y0)(y-y0)=0 Теорема 2ух переменных в которых частное = 0 наз.критическими точками ф-ии.
Таким образом для того чтобы из критической точки выбрать точку экстремума нужно применить достаточное условие экстремума. Теорема достаточного условия ф-ии 2ух переменных. Пусть М0(х0у0)-крит.точк.и zxx(М0)=A zxy(М0)=B zyy(М0)=C ∆=AC-B2. 1)Если ∆>0 то М0-точк.экстр., при чем если А>0-min, A<0-max.2)Если ∆<0,в т.М0-экстрем.нет. 3)если ∆=0Алгоритм нахождения точек безуслов.экстр:1)Найти частное произв. zx и zy 2)Прировнять частн.произ. к 0и найти крит. точк. 3) zxx zxy zyy 4) В каждой кр.т Мi найти АВС и ∆ и сделать выводы относительно ∆ 5) в точк max и min вычеслить знач ф-ии.
2. Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли
Предположим, что проводится серия из n независимых испытаний, в каждом может произойти событие А с вероятностью р. Совокупность таких испытаний называется схемой Бернулли.
Pn(m)=Cnmpmqn-m Пример: Монету подбрасывают 4 раза. В каждом испытании событие А-выпадение герба происходит с вероятностью ½. Найти вероятность того, событие А произойдет 2 раза. Pn(m)=Cnmpmqn-m=6*1/4*1/4=3/8
Билет 6.
1. Условный экстремум
Определение.
Точка M0(x0,y0)
є
Е
называется
точкой условного максимума (минимума)
функции
z=f(x,y)
при условии F(x,y)=0,
если существует окрестность точки M0,
для всех точек которой, удовлетворяющих
уравнению связи, справедливо неравенство
то
точкаM0
называется
точкой строгого условного максимума
(минимума) функции z=f(x,y).
Алгоритм:
1) составить функцию Лагранжа
(L(x;y;λ)=f(x;y)+λ
(x;y);
2) найти частные производные, приравнять
к нолю, найти крит точки; частные
производные второго порядка L;
составить определитель, ели >0 – min.
Пример (2й способ через Лагранжа)
Ф-я Лагранжа L=f(x, y)+λF(x, y)
Найти условный экстремум функции двух переменных z= xy при условии, что
аргументыэтой функции удовлетворяют условию связи x+y-1=0
L=xy+λF(x+y-1)
Необход условия: y+λ=0 ; x+λ=0; x+y-1=0
Решив систему: λ=-1/2 ; коорд возм точки условн экстр x0=1/2 ; y0=1/2
L′′xx=0 ; L′′xy=1; L′′yy=0
dx+dy=0 →dy=-dx
d2L=2dxdy=-2(dx)2
Т.к. 2й дифференциал функции Лагранжа отрицателен при любых значениях dx≠0 , тоточка М0(1/ 2,1/ 2) является точкой условного максимума.