2. Равномерное распределение.Показательное распределение

Рассмотрим СВ, которая может принимать любое значение из некоторого интервала (а,в). Говорят, что эта случайная величина имеет равномерное распределение, если f(x) постоянно внутри этого интервала: f(x) = значение с находится через свойство плотности: с=1/(в-а). Функция распределения:F(x) = ;

вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (α,β): P(α<X< β)= (β- α)/(b-a). Числовые характеристики: M(X)=(b+a)/2; D(X)=(b-a)²/12.

Пример: Найти среднее квадр. отклонение СВ, распределенной равномерно в интервале (1;5). a=1, b=5; .

Пусть НСВ принимает неотрицательные значения. Говорят, что она имеет показательное распределение, если плотность распределения определяется выражением ; λ-параметр распределения; функция распределения:.M(X)=1/λ, D(X)=1/λ². Пример: Дана плотность распределения СВ, найти ее числовые характеристики. ; λ=5,M(X)=1/5, D(X)=1/25, σ(X)=1/5.

Билет 14.

1. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда

Степенной ряд-это ряд, члены которого яв-ся ступенным ф-ми. Область сходимости степен.ряда-это совокупность знач.переменной х, при которых соответ. числовые ряды сходятьс Структура обласьт сходимости устанавливаться с помощью теоремы Аббеля: 1) если степенной ряд сходится в т х=х₁ то этот ряд абсолютно сходится при всех х по модулю меньших чем модуль х₁ IxI<Ix₁I 2) если степенной рдя расходится в точке х=х₂ то ряд расходится при все х IxI<Ix₂I для которых модуль х больше модуля х₂. Радиус сходимости можно вычислить

ПРИМЕР Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда 

Решение. Сделаем замену: 

u = x+ 3. Тогда ряд принимает вид . Вычислим радиус сходимости:

Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞). 

2. Нормальное распределение. Правило трех сигм

НСВ распределена по нормальному закону, если ее плотность определяется формулой: . Свойства плотности нормального распределения: 1) Мода распределения = а; 2) График плотности симметричен относительно прямой x=a; 3) При изменении параметра а график перемещается параллельно вдоль оси ОХ, не изменяя формы; 4) при изменении σ кривая вытягивается вверх, сжимаясь с боков.

Графиком плотности распределения является кривая Гаусса:

M(X) = a; D(X) = σ². Вероятность того, что СВ примет значение на промежутке (α,β): ; вероятность отклонения нормальной СВ от своего мат.ожидания на величину меньшую чем δ: .Правило трех сигм: вероятность того, что нормально распределенная СВ отклонится от своего среднего значения на величину большую чем 3 средних квадр.отклонения равна 0,0027(0,27%) = 0,9973.Пример: Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а=15 и средним квадратическим отклонением σ=5. Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (10;30). Известно, что вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β), равна: ; Следовательно, .