2. Предельные теоремы в схеме Бернулли

Случай, когда в схеме Бернулли число испытаний велико или же вероятность появления события А очень маленькая, вычисления по формуле Бернулли затруднительные. Поэтому для вычисления используются предельные теоремы : 1) р<0,1, npq<9 – формула Пуассона ; 2) р>0,1, npq>9 – Локальная формула Лапласа ; 3) вероятность того, что в серии изn испытаний событие произойдет m₁≤m≤m₂ раз – Интегральная формула Лапласа .

Пример: Найти вероятность того, что событие наступит 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность события в каждом испытании равна 0,2. По локальной формуле Лапласа:

Билет 7.

1.Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f (х, у), непрерывной в ограниченной замкнутой области D, необходимо воспользоваться следующим правилом:

1) Найти критические точки данной функции, лежащие в области D и вычислить значения функции в этих точках (не классифицируя экстремума).

2)Найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области.

3)Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример: Найти наиб и наим знач ф-ции   z = x² + 2xy - 4x + 8y  в прямоуголь, огранич прямыми х = 0, у = 0, х = 1, у = 2.

1. а) частные производные данной функции:.

2. Приравн их к 0, получ сист ур-ний для нахожд коорд крит точек:

   или     

Отсюда: х = -4, у = 6., M₀(-4, 6)–  критическая точка, не принадлежащая области D 

б) Найдём наиб и наим знач ф-ции на каждой из линий, образующих границу области.

На отрезке ОА,  у = 0, имеем  z (x,0) = x² - 4x. Так как z′= 2x - 4 = 0 при х = 2 и точка не принадлежит отрезку [ 0, 1] , то, вычисляя значения z (х, 0) на его концах, получаем: z (0, 0) = 0, z (1, 0) = -3.

АВ, где х = 1, имеем: z (1, у) = 1+2у-4+8у =10у -3, z′ = 10 > 0. Отсюда следует, что функция

 z  = 10у-3для у [ 0, 2] всюду возрастает, следовательно, достигает наибольшего и наименьшего значений на концах отрезкаАВ: z (1, 0) = - 3, z (1, 2) = 17.

ВС (прямая у = 2) имеем z (х, 2) = x² +16. Тогда z′ = 2x = 0   при х = 0, то есть критическая точка совпадает с точкой С. Поэтому вычислим значения функции z = x² +16  лишь на концах отрезка ВС: z (0, 2) = 16,  z (1, 2) = 17.

ОС, где х = 0, имеем: z  = 8у, z′ = 8 > 0. Таким образом, функция z  = 8у возрастает на отрезке [ 0, 2] и достигает наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка ОС:  z (0, 0) = 0, z (0, 2) = 16.

в) Выбирая из всех полученных значений исходной функции наибольшее и наименьшее, имеем  z_наиб(1, 2) = 17,    z_наим(1, 0) = -3.

2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Функция распределения

Случайная величина – величина, которая в результате испытания принимает значение, заранее неизвестное. ДСВ – принимает изолированные друг от друга значения (подбрасывание кубика). Закон распределения вероятностей ДСВ – соответствие между возможными значениями СВ и вероятностями. Он может быть задан при помощи формулы, таблицы или графика.

Пример: В цехе 2 станка, вероятность безотказной работы в течении часа равна 0,6. Составить закон распределения и построить многоугольник распределения.

Р(Х=0)=Р₂(0)=С₂⁰р⁰q²=0,16.

Построить график.

Распределение вероятностей можно так же задать при помощи задания функции распределения – вероятность того, что СВ будет меньше х: F(x)=P(X<x). Геометрический смысл функции распределения: значение функции в точке х равняется возможности того, что значения СВ будут лежать левее точки х на числовой оси. ______х_______> Для ДСВ значения функции распределения по известной таблице можно найти с помощью формулы F(x)=.

Пример:

1) х<0, F(x)=0; 2) 0<x≤1, F(x) = 0,16; 3) 1<x≤2, F(x) = 0,64; 4) x>2, F(x) = 1. График функции распределения имеет ступенчатый вид. Свойства функции: 1) 0≤F(x)≤1; 2) неубывающая функция ; 3) непрерывна слева; 4) F(-∞)=0, F(+∞)=1; 5) P(a≤X≤b)=F(b)-F(a).