Higher_Mathematics_Part_3
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Example 10. Find the sum of the series ∑ nxn−1 ( | x |< 1). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Solution. It is needed to find a sum |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(x) = 1+ 2x + 3x2 + 4x3 + …+ nxn−1 + … . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
We’ll consider a geometrical series |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1+ x + x2 + x3 + …+ xn + …. |
It |
is |
|
convergent |
|
for |
| x |< 1, |
thus its |
|
sum |
||||||||||||||||||||
S (x) |
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
We use the property of term-by-term differentiation of power series and get |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(x) = |
(S (x))′ |
= |
|
1 |
′ = |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1− x) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Example 11. Expand the functions into Maclaurin’s series: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) f (x) = ex ; b) g(x) = x2e2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Solution. а) Function |
f (x) = ex |
is |
infinitely |
|
differential, |
thus |
ex = (ex )′ = |
|||||||||||||||||||||||
= (e |
x |
) |
′′ |
= …= (e |
x |
) |
(n) |
for |
arbitrary n N. |
Therefore |
|
|
′ |
= f (0) |
′′ |
= … |
||||||||||||||
|
|
|
|
f (0) = f (0) |
|
|||||||||||||||||||||||||
... = f (0)(n) = 1 and |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
= 1 |
+ |
x |
+ |
x2 |
|
+ |
x3 |
+ …+ |
xn |
+ … . |
|
(2.12) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
2! |
|
3! |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
We’ll find the radius of convergence of this series:
R = lim |
|
an |
|
|
(n + 1)! |
|
= lim(n + 1) = ∞. |
||
|
|
= lim |
|
||||||
|
a |
n! |
|
||||||
n→∞ |
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|||||
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Thus a series converges in an interval (−∞; ∞). |
x (−r; r) , where r |
|
||||
It remains to prove that lim Rn = 0. |
For all |
is any |
||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
positive number, inequality |
|
f (n) (x) |
= ex |
< er = M |
is fulfilled. |
|
Then by the theorem 2 lim Rn = 0. |
|
|
|
|||
|
n→∞ |
|
|
|
||
Consequently, at any |
interval (−r; r) (−∞; ∞), that is at the |
interval |
(−∞; ∞), the function ex is expanded into Maclaurin’s series by the formula (2.12).
b) To expand the function |
g(x) |
into Maclaurin’s series, we replace x by |
|||||||||||||
2x in a formula (2.12) and multiply a result by x2, then we’ll get |
|
||||||||||||||
g(x) = x |
2 |
e |
2x |
= x |
2 |
|
2x |
|
(2x)2 |
|
(2x)3 |
|
(2x)n |
|
|
|
|
|
1+ |
|
+ |
|
+ |
|
+ …+ |
|
+ … |
= |
|||
|
|
|
1! |
2! |
3! |
n! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
= x |
2 |
+ |
2x3 |
+ |
22 x4 |
+ |
23 x5 |
+ …+ |
2n xn+1 |
+ … . |
|
1! |
2! |
3! |
n! |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
This series converges to the given function on the whole numerical line. Example 12. Expand the functions into Taylor’s series in powers of x −1 :
|
а) |
f (x) = |
|
|
|
1 |
|
; b) |
|
g(x) = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x + 2 |
|
(x + 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Solution. а) Let |
|
x − 1 = t, |
|
then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
1 |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
t |
+ 1+ 2 |
|
|
|
|
+ t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Using formula 7 (Table 2.2) we get |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
n t |
n |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
tn |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
∑ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ (−1) |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3n+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
3 n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||||||||
|
After replacement |
|
t |
|
|
|
by |
|
|
x −1 , we’ll obtain a final answer |
= |
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
3 |
|
||||
|
x − 1 |
|
(x − 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n (x − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n (x − |
1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
− |
+ |
|
− …+ (−1) |
|
|
+ …= |
∑ |
(−1) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
This equality is true if |
|
|
|
|
x − 1 |
|
|
< 1( −2 < x < 4 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
b) |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
. We use the property of term-by-term differentiation |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x + 2) |
2 |
|
|
|
+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
of a power series and get |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
− 1 |
|
|
|
(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n (x −1)n |
′ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
−…+ (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
+ … = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x + |
2) |
2 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2(x − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n(x − 1)n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − − |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−…+ (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ … = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
n(x − 1) |
|
|
|
|
, x (−2; 4). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Example 13. Expand the function f (x) = arctg x |
into Maclaurin’s series. |
|
Solution. Replacing in a formula 7 (Table 2.2) x by x2 , we’ll write down an equality
52
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
1 |
|
= 1− x2 + x4 − x6 + …+ (−1)n x2n + …, x (−1; 1) . |
|||||
|
1+ x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
We use the property of term-by-term integration of power series and get |
||||||||
x |
dt |
|
x |
x |
x |
x |
x |
|
∫ |
|
= ∫ dt − ∫t2 dt + ∫t4 dt − ∫t6dt + …+ (−1)n ∫ t2n dt + … . |
||||||
2 |
||||||||
0 |
1+ t |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
or |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
arctg x = x − |
x3 |
+ |
x5 |
− |
x7 |
+…+ (−1)n |
|
+… . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
This equality is true for |
|
x = ±1 too. So the series converges for |
x [−1; 1] . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Example 14. Expand the function |
f (x) = ln(x2 + 3x + 2) into Maclaurin’s |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
series. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Solution. We shall transform logarithmic function |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln(x2 + 3x + 2) = ln(x + 2)(x + 1) = ln(x + 2) + ln(x + 1) = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ ln(1+ x) = ln 2 + ln |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
(1+ x). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= ln 2 1 |
+ |
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
+ ln |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
We use the expansion 4 (Table 2.2) for logarithmic functions ln |
1+ |
|
and |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln(1+ x). Then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ln(x |
|
+ 3x + 2) = ln 2 + |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− … |
+ |
|
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
+ … |
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
n |
2 |
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
−1 |
n+1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∑ |
( |
|
|
|
) |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
+ x − |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− …+ (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ … |
= ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= ln 2 + |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Let’s find the domain of convergence of this series. Maclaurin’s series for
|
|
x |
|
x |
|
|
|
−2 < x ≤ 2, |
|
||
function |
ln 1+ |
|
converges at −1 < |
|
≤ 1, |
i. e |
and a series for |
||||
|
2 |
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
ln(1+ x) |
converges on an interval |
−1 < x ≤ 1. |
Then the received expansion is |
||||||||
convergent for |
−1 < x ≤ 1, i.e. for |
those x, |
at |
which both |
series converge |
||||||
simultaneously. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Example 15. Expand the function f (x) = |
|
x2 |
|
into Maclaurin’s series. |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 + x2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Solution. We shall transform function |
|
f (x) |
|
so: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
= |
x2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1+ |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Using the formula 6 (Table 2.2) for |
|
m = −0,5, |
|
we’ll expand the function |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
= (1+ t ) |
− |
1 |
|
into a series |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1+ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
− 1 |
− |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
+ − |
|
|
|
|
t + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
+ |
||||||||||||||
|
|
|
1+ t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− 1 |
− |
|
|
|
|
|
− 2 |
|
... |
− |
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+…+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
+ ... = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
1 3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 ... (2n − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 1 |
− |
1 |
t |
+ |
|
|
|
|
t2 |
− |
t3 + |
... + (−1)n |
tn + ... . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
22 2! |
|
|
|
|
23 3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
We replace t |
by |
|
|
x2 |
|
in this equality and get |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 3 ... (2n −1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
= 1 |
− |
x2 |
+ |
|
|
1 3 |
|
x |
4 |
|
− |
|
1 3 5 |
|
x |
6 |
+ ...+ |
( |
−1 |
|
x |
2n |
+ .... |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
18 2! |
|
|
|
|
|
18 3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Finally the required expansion is |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
1 3 5 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
x |
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 9 |
3 |
|
|
18 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 3 ... (2n −1) |
x |
2n+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...+ (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
n |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||
Domain |
of |
|
|
|
|
convergence |
|
|
of |
|
the |
|
series |
|
is |
|
|
the |
interval −1 < |
≤ 1 , or |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−3 < x ≤ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Example 16. Calculate |
|
|
e |
|
with accuracy ε = 0,001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Solution. Using expansion of the function receive
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
e = e |
2 |
= 1 |
+ |
|
|
+ |
|
|
+ |
|||
2 |
1! |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
22 |
2! 23 3! |
54
ex into Maclaurin’s series we
+ …+ 2n1n! + … .
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Let’s define such n at which an error of the approximate equality
e ≈ 1+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
|
+ …+ |
1 |
|
2 1! |
22 2! |
23 3! |
|
2n n! |
|
doesn’t exceed the set accuracy. For this purpose we’ll estimate the remainder
|
|
|
|
|
|
rn |
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ …= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n+1 (n + 1)! |
|
2n+ 2 (n + 2)! |
2n+3 (n + 3)! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ … |
< |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(n |
+ 2) |
2 |
2 |
(n |
|
+ 2)(n |
+ 3) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
… |
= |
|
|
||||||||||
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(n + 2) |
|
2 |
(n + 2) |
2 |
2 |
3 |
(n + |
2) |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
(n + 1)! |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(n + 2) |
= |
|
|
|
|
|
|
n + 2 |
. |
|
||||||||||||||||||||||
2n+1 (n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
+1 (n + 1)! |
|
|
|
|
|
2n (2n + 3)(n + 1)! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(n + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
The |
inequality |
|
|
rn < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
< 0,001 |
|
is |
carried |
out |
starting with |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2n (2n + 3)(n + 1)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n = 4. So, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e ≈ 1+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 2! 23 |
3! 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ 1+ 0,5 + 0,125 + 0,0208 + 0,0026 = 1,6484. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
For calculation of logarithms we use the series |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln(1+ x) = x − |
x2 |
|
|
+ |
|
|
x3 |
− …+ (−1) |
n−1 |
|
xn |
+ … ( −1 < x ≤ 1). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
But it is slowly convergent. In practice the following formula is used: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n−1 |
|
|
|
|
|
x (−1; 1). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 x + |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ … |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ … , |
|
(2.13) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
− x |
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
2n |
− 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
The error of this formula is estimated by inequality |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| rn (x) |= 2 |
|
x2n+1 |
|
|
|
|
|
|
x2n+3 |
|
|
|x|2n+1 |
(1+ x2 + x4 + …) = 2 |
|
|
|x|2n+1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
+ … |
< 2 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n + 1 |
2n + 3 |
2n + 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n + 1)(1− x2 ) |
||||||||||||||||||||||||||||
Let’s |
x = |
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
t N |
|
|
|
in |
|
|
|
the |
|
|
formula (2.13). We |
|
get |
|
the |
formula for |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2t + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
calculation of logarithms of natural numbers:
55
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
ln(t + 1) = ln t + 2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ …+ |
|
|
+ … |
(2.14) |
|
2t + 1 |
3(2t + 1) |
3 |
(2n − 1)(2t + 1) |
2n−1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
and
|
|
|
|
| rn (t) |< |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
2(2n + 1)t(t + 1)(2t + 1)2n−1 |
|
|||||||||||||||||
Example 17. Calculate ln 2 with accuracy ε = 0,001. |
|
||||||||||||||||||||||
Solution. In the formula (2.14) we put t = 1. We get |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ln 2 = 2 |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ …+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
… . |
|||||
|
|
3 |
|
3 |
(2n − 1) 3 |
2n−1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
By selection we define n so that the following inequality is true: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
rn (1) < |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4(2n + 1) 32n−1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
We have: r (1) < |
|
1 |
|
= |
|
|
1 |
, r (1) < |
1 |
|
|
= |
|
1 |
|
< 0,001. |
|||||||
|
4 5 33 |
180 |
4 7 |
35 |
|
6804 |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
So, n = 3 and for calculation ln 2 the approximate equality is received |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ln 2 ≈ 2 |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
≈ 2(0,3333 + 0,0123 + 0,0008) ≈ 0,693. |
||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
5 |
||||||||||||||||||
|
|
3 3 |
5 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Example 18. Calculate |
|
∫ e− x2 dx with accuracy ε = 0,001. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Solution. The indefinite integral ∫ e− x2 dx is not expressed through elemen-
tary functions. For calculation of integral we expand the integrand in power series and use the property of term-by-term integration of power series.
We receive
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
x6 |
|
|
|
|
|
x2n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
− x2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∫ e |
|
dx = |
∫ |
1 |
− x |
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
+ … |
+ (−1) |
|
|
+ … dx |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2! |
3! |
|
n! |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x5 |
|
|
|
x7 |
|
|
|
|
|
n x2n+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
= |
|
x − |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ …+ (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
+ … |
|
= |
||||||||||
|
|
3 |
|
5 2! |
7 3! |
|
(2n + 1) n! |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||
= |
1 |
− |
|
1 |
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
+ …+ (−1)n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ …. |
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
23 3 25 |
2! 27 7 3! |
|
|
|
22n+1 (2n + 1) n! |
56
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
This series is alternating and satisfies conditions of Leibniz’ theorem. We use a corollary from this theorem and determine the least number n for which the following inequality is true:
1 |
|
< 0,001, or 22n+1 (2n + 1) n! > 1000. |
|
22n+1 (2n + 1) n! |
|||
|
This inequality is fulfilled starting with n = 3. Therefore, we take the first three members of the series and obtain
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ e dx ≈ |
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
≈ 0,5 − 0,0417 + 0,0031 ≈ 0, 461. |
|
2 |
2 |
3 |
3 |
|
5 |
5 2! |
|||||||
0 |
|
|
|
2 |
|
|
Example 19. Find the approximate solution of the Cauchy’s problem y′ = x2 + y3 , y(0) = 1 using the first four nonzero members of expansion of this solution in power series.
Solution. We’ll find the solution in the form of Maclaurin’s series
|
′ |
′′ |
|
y |
′′′ |
|
(n) |
(0) |
|
|
|||||
y = y(0) + |
y (0) |
x + |
y (0) |
x2 |
+ |
(0) |
x3... + |
y |
|
xn + ... . |
|
||||
|
|
|
3! |
|
|
|
|
||||||||
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
||||
From the condition of the task we can find the first two coefficients |
y(0) = 1, |
||||||||||||||
y′(0) = 02 + 13 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
We differentiate the initial equation |
y′′ = 2x + 3y2 y′ . |
|
|
|
|||||||||||
Then we substitute x = 0, y(0) = 1 |
and |
y′(0) = 1 into this equation and get |
|||||||||||||
the factor y′′(0) = 0 + 3 = 3. Now we pass to the equation |
y′′′ = 2+ 3(2y(y′)2 + y2 y′′). |
||||||||||||||
Then y′′′(0) = 2 + 3(2 + 3) = 17. |
So, the approximate |
|
solution of |
Cauchy’s |
|||||||||||
problem is defined by the formula |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ≈ 1+ x + 32 x2 + 176 x3. This formula is more precise if x tends to zero.
Micromodule 2
CLASS AND HOME ASSIGNMENTS
Find the domain of convergence of functional series.
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
x |
n |
|
|
|
|
||
1. |
∑ |
|
|
|
. |
2. |
∑ |
|
. |
|
3. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
2 |
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2n |
||||||||||||
|
n=1 n |
|
+ x |
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
n=1 |
1 |
+ x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
n(n−1) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
∑ |
|
|
. |
|
|
5. |
∑ |
|
|
|
|
. |
6. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n! |
|
|
n=1 n |
|
(x |
|
+ 2) |
|
57
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
∞ |
(1− n) x |
|
∞ |
n |
|
∞ |
1 |
x + 1 |
n+1 |
||
7. ∑ e |
|
. |
8. ∑ n ln |
|
x. |
9. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|
n=1 n |
x −1 |
|
Investigate the functional series for uniform convergence within the given interval.
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
10. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
x (−∞; ∞). |
5 |
n |
+ x |
2 |
|
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
12. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
, |
x (−∞; ∞). |
|
|
|
|
2 |
x |
2 |
||||||
|
n=1 |
1+ n |
|
|
|
|
|||||
14. |
∞ |
|
|
+ 1)xn , |
x (−1; 1). |
||||||
∑ (n |
n=1
11. |
∑ cos nx6 , |
x (−∞; ∞). |
||
|
∞ |
|
|
|
|
n=1 n!+ x |
|
||
13. |
∞ |
|
||
∑ e− nx , x (0; ∞). |
||||
|
n=1 |
|
||
15. |
∞ |
x [0; ∞). |
||
∑ nxe− nx , |
n=1
Find the domain of convergence of power series.
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
∞ |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
x |
n2 |
|
|
∞ |
|
|
x |
n |
|
|
|||
16. |
∑ |
x |
. |
|
|
|
|
|
17. ∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
18. ∑ |
|
. |
19. ∑ |
|
|
|
|
. |
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
n=1 4 n + 1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
(2n + 1)! |
|
n=1 n ln(n + 1) |
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
(x − 3)n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
n+1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
||||||
20. |
∑ |
|
|
|
|
|
. |
21. |
∑ |
|
|
n |
|
(x |
+ 2) |
|
. |
|
22. |
∑ |
(2n + 3) 5 |
|
(x |
−1) |
|
. |
||||||||
|
n2 |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
x3n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2n2 −1 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
||
23. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
24. |
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
25. |
∑ |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ |
5n |
8 |
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n=0 2n |
|
|
|
|
n=0 |
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Find the interval of convergence of power series.
∞ |
n − 1 |
n2 |
|
n |
|
∞ |
|
n |
n2 |
x2n |
∞ |
(n!)2 |
|
n |
|
||||||
26. ∑ |
|
|
|
|
(x − e) |
|
. |
27. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
28. ∑ |
|
|
x |
|
. |
n |
|
|
|
2 |
n |
(2n)! |
|
||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
n + 1 |
|
|
|
n=0 |
|
|
|
Find the sum of the power series.
∞
29. ∑ n2 xn .
n=1
∞ |
x |
n |
|
∞ |
x |
n+1 |
|
|
30. ∑ |
|
. |
31. ∑ |
|
. |
|||
n |
n! |
|||||||
n=1 |
|
n=1 |
|
Expand the given functions into Taylor’s series in powers of x − x0 :
32. |
1 |
, x = 2. |
33. |
1 |
, |
x |
= −1. |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
x |
0 |
|
|
3x + 1 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
34. |
ln(x2 + 2x + 2), x = −1. |
35. |
1 |
|
, |
x = −2. |
||||
(x + 3)2 |
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|||
36. |
|
|
1 |
, x = −2. |
37. |
xe2x−1, |
x |
= 1. |
||
|
(x + 3)3 |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
58
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Expand the given functions into Maclaurin’s series:
38. |
2x cos2 x. |
|
39. |
|
x |
. |
|
|
|
|
|
40. |
|
|
|
1 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
2x + 3 |
|
1 |
− x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − 3 |
|
|||||||
41. |
|
|
|
. |
42. ln(3 + 6x). |
|
|
|
|
43. (1+ x2 )e− x . |
|||||||||||||||||
|
x2 + 3x + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Evaluate the values of functions with accuracy ε. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
44. |
3 130, |
|
|
ε = 0,0001. |
|
|
|
|
45. |
1 |
|
, |
ε = 0,001. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 e |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
46. |
cos10°, |
ε = 0,0001. |
|
|
47. |
arctg |
|
, |
ε = 0,001. |
||||||||||||||||||
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||
48. |
ln 3, ε = 0,0001. |
|
|
|
|
49. |
|
|
|
|
|
|
|
ε = 0,0001. |
|||||||||||||
|
|
|
|
ln 0,98, |
|||||||||||||||||||||||
Evaluate the definite integrals with accuracy ε. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
50. |
|
∫ |
|
|
|
dx, |
ε = 0,0001. |
|
|
51. |
|
∫ cos x |
|
|
dx, |
ε = 0,0001. |
|||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
52. |
|
∫ |
|
|
|
, ε = 0,001. |
|
|
|
|
53. |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
, |
ε = 0,001. |
|||||
|
1+ x |
4 |
|
|
|
|
|
|
1+ x4 |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Find the approximate solution of the Cauchy’s problem using the first four nonzero members of expansion of this solution in power series.
54. |
y′ = xy + ey , |
y(0) = 0 . |
55. |
y′ = y3 + x |
y, y(0) = 1. |
56. |
xy′ = x2 y2 − y + 1, y(0) = 2. |
|
57. |
y′′ = yy′ − x2 , y(0) = 1, y′(0) = 1. |
Answers
1. (−∞; ∞). 2. (2πk; π + 2πk). 3. x ≠ ±1. 4. (0;∞). 5. [−1; 1]. 6. (−∞; ∞). 7. (0;∞). 8.
(e−1; e). 9. (−∞; 0]. 10. Uniformly convergent. 11. Uniformly convergent. 12. Uni-
formly convergent. 13. Is not uniformly convergent. 14. Is not uniformly convergent. 15. Is not uniformly convergent. 16. [−1; 1]. 17. [−1; 1). 18. [−1; 1]. 19. [−1; 1). 20. [1; 5).
21. x = −2. 22. (−0,2; 0,2) . 23. (−5; 5). 24. (−2; 2). 25. [−0,5; 0,5). 26. (0; 2e).
27. (− 2e; |
2e). 28. |
(−4; 4). 29. x(x + 1) /(1− x)3, |
| x |< 1. Hint. Write this series as |
|
∞ |
∞ |
|
∞ |
∞ |
∑n2xn = |
= x2 ∑n(n − 1)xn−2 |
+x∑nxn−1 . Consider the series ∑ xn and use term-by- |
||
n=1 |
n=1 |
|
n=1 |
n=0 |
|
|
|
|
59 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(x − 2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
term |
differentiation. |
|
30. |
|
− ln |1 − x | . |
31. |
|
xex , |
|
|
|
x R. |
32. ∑ (−1)n |
, x (0; 4). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
n+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∞ 3n (x + 1)n |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n+1 (x + 1)2n |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
33. − ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34. ∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x [−2; 0]. 35. ∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
x − |
|
|
|
; |
− |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(x + 2) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(−1) |
n |
+1 |
n(n − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n−1 |
(n + |
2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x ( |
− |
3; |
− |
1). |
36. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
(x |
+ |
2) |
n−2 |
|
|
|
|
|
− − |
1). |
37. |
|
+ |
∑ |
2 |
|
(x |
− |
1) |
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x ( |
3; |
|
e 1 |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 x3 |
|
|
|
|
24 x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22n x2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x R. |
|
38. |
2x − |
|
+ |
|
|
− …+ (−1)n |
|
+ … x R. |
39. ∑ x3n+1, |
−1 < x < 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(2x)n |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n−1 2n xn |
||||||||||||||||||||
40. |
− ∑ |
|
, |
|
| x|< |
|
. |
|
|
41. |
|
|
∑ |
(−1) |
|
|
|
1 + |
|
|
|
x |
|
|
, |
−1 < x < 1. |
42. ln3 + ∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n+1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x (−0,5; 0,5]. |
43. |
|
|
1 − x + ∑(−1)n |
+ |
|
|
|
|
|
|
xn, |
|
x R. |
44. |
5,0658. 45. |
0,716. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
46. |
0,9948. |
|
47. |
0,321. |
48. |
n=2 |
|
|
|
|
n! |
|
(n |
− 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1,0986. 49. – 0,0202. 50. 0,4931. 51. 0,9045. 52. 0,494. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
53. 0,333. |
54. |
y ≈1+ |
x2 |
|
+ |
2 |
x3 |
+ |
11 |
x4 |
. 55. y ≈1+ x +2x2 |
+19 x3. |
|
56. |
y ≈1++ |
x2 |
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||
|
2x4 |
|
17x6 |
. 57. |
y ≈ 1 + x + |
|
|
x2 |
+ |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
15 |
+ |
|
315 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Micromodule 2
SELF-TEST ASSIGNMENTS
2.1. Find the domain of convergence of functional series.
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
x |
|
|
∑∞ (2x − 5) |
n+1 |
||||||
2.1.1. а) |
∑ |
|
|
; |
b) |
∑ |
xn sin |
|
; |
c) |
. |
|||||||||
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||
|
4 + x |
|
|
|
|
n n |
|
n 1 |
|
4n |
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||
2.1.2. а) ∑ |
1 |
; |
|
|
b) |
∑ xn tg |
|
x ; |
c) |
∑ |
1− x |
|
n |
|||||||
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
nx |
|
|
|
|
n 1 |
|
2n |
|
|
n 1 |
1− 2x |
|
||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
2.1.3.а)
2.1.4.а)
2.1.5.а)
2.1.6.а)
|
( |
) |
n+1 |
||||||||
∞ |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
n |
x |
|
|
|
; |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
∑ |
2n+1 sin |
|
; |
||||||||
|
n |
||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
∑ |
|
|
|
tg |
|
|
(3 x) ; |
||||
|
3 |
|
|
|
|||||||
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||
|
n! x |
n |
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
3n |
|
x |
|
∞ |
arctg(nx) |
|
||
b) ∑ 2 |
|
x |
|
arcsin |
|
; |
c) ∑ |
|
|
|
. |
|
|
n |
n ln |
4 |
n |
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
∞ |
|
x |
4 |
|
|
b) |
∑ |
|
|
; |
||
1 |
|
2n |
||||
|
n=1 |
+ x |
|
|||
|
∞ |
|
n + 1 |
|
||
b) |
∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||
|
n=1 x nx+2 |
|
||||
b) |
∞ |
|
|
|
|
|
∑ lnn (2x −1) ; |
n=1
c) ∑∞ (5x + 2)n . |
||||||
|
n 1 |
|
7n+2 |
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
c) |
∑ |
|
|
|
|
. |
(3n + 1) |
x |
|||||
|
n 1 |
|
|
|||
|
= |
|
|
|
|
|
c) |
∑ |
x + 1 |
n+1 |
|||
. |
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
x − 2 |
|
|
||
|
= |
|
|
|
|
|
60
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/