В) Результати експерименту, задані вибіркою невеликого об’єму.

Об’єм вибірки N < 25

У тих випадках, коли об’єм вибірки невеликий, значення випадковоївеличини ділити на інтервали недоцільно. Визначати моменти 3-го і 4-го порядків у цьому випадку також недоцільно, оскільки вони мають велику дисперсію і при малих вибірках по них важко судити про величину відповідних параметрів генеральної сукупності.

Нехай в результаті експеримента отримані наступні значення випадкової величини: х₁, х₂, х₃, ..., х_N.

Середнє значення і дисперсія розраховуються за формулами:

Розглянемо приклад.

Маємо наступне значення вибірки:

х_і = 9,77; 9,76; 9,79; 9,78; 9,82; 9,77; 9,78.

Розраховуємо:

.

3. Методика визначення поля допуску за емпіричним розподілом

Багато експериментів проводяться з метою визначення поля допуску, яке характерне для даного технологічного процесу і дає вірогідність ризику (браку) не більше деякого наперед заданого числа. Цю вірогідність будемо в подальшому позначати через 2β. Зазвичай приймають 2β = 0,0027. Математичне очікування і дисперсія апріорі (до досліду) невідомі, а є можливість лише отримати з вибірки значення іS², які є оцінками для МХ і DX.

У цьому випадку приймати за поле допуску величину розмаху R не можна, оскільки практично граничне поле розсіювання в загальному випадку ніколи не рівне розмаху.

Якщо ж за поле допуску приймають значення ± 3S, то границі поля допуску будуть коливатися від однієї вибірки до другої, і в одних випадках вони будуть охоплювати більше 99,73 % всієї площі, обмеженої кривої, в інших – менше, оскільки х і S є випадковими величи нами.

Задача складається з того, щоб вибране поле допуску охоплювало не менше 99,73 % всієї площі, обмеженої генеральною кривою (або деякого іншого заданого числа). Для цього слід знайти таке l, щоб з заданою вірогідністю, близькою до одиниці (надійністю Р), ±lSмістило не менше (1 – 2β) 100 % всієї нормальної генеральної сукупності.

В табл. 7 наведені значення l , вирахувані для надійностей Р = 0,9; 0,95; 0,99 і для випадків, коли інтервал±lS буде охоплювати не менше 99,73; 95 і 90 % усієї генеральної сукупності [*], де ,S – емпіричне середнє і середнє квадратичне відхилення.

Значення коефіцієнта l розраховані для вибірки з нормальної сукупності.

Розглянемо приклад визначення поля допуску.Для емпіричного розподілення визначаємо іS.Для даних табл. 5 отримали: =– 0,28 4;S =0,0515; k=N – 1 = 200 – 1 = 199,

де k – число ступенів свободи.

Задаємося надійністю визначення поля допуску. Приймемо, що Р = 0,9. Задаємося ймовірністю , тобто задаємо площу генеральної кривої, яка входить до визначуваного нами допуску.

Приймемо 1 – 2β = 1 – 2 · 0,00135 = 0,9973.

За табл. 7 знаходимо, що для Р = 0,9

1 – 2β = 0,9973 і k = N – 1 = 199 (приймаємо k = 200). Звідси l = 3,40.

Визначаємо границі поля допуску:

,.

Таблиця 7

Значення l для визначення гарантованого поля допуску

k = N –1 число ступенів свободи	Надійність Р = 0,9			Надійність Р = 0,95			Надійність Р = 0,99
	1-2β			1-2β			1-2β
	0,9973	0,95	0,9	0,9973	0,95	0,9	0,9973	0,95	0,9
4	6,76	4,18	3,51	8,26	5,11	4,29	12,80	7,92	6,64
5	6,07	3,75	3,14	7,17	4,44	3,72	10,31	6,38	5,35
6	5,60	3,47	3,91	6,50	4,02	3,38	8,91	5,51	4,62
7	5,80	3,27	2,75	6,05	3,74	3,14	8,01	4,95	4,15
8	5,07	3,13	2,63	7,72	3,54	2,97	7,38	4,56	3,83
9	4,89	3,02	2,54	5,48	3,39	2,84	6,91	4,27	3,59
10	4,75	2,94	2,47	5,28	3,26	2,74	6,55	4,05	3,40
12	4,54	2,81	2,36	4,99	3,08	2,59	6,03	3,73	3,13
14	4,39	2,72	2,28	4,78	2,96	2,49	5,67	3,52	2,95
16	4,28	2,65	2,22	4,68	2,86	2,40	5,41	3,35	2,81
18	4,19	2,59	2,17	4,50	2,79	2,34	5,21	3,22	2,70
20	4,11	2,54	2,14	4,39	2,72	2,29	5,05	3,12	2,62
25	3,98	2,46	2,07	4,20	2,61	2,19	4,76	2,94	2,47
30	3,89	2,40	2,02	4,10	2,54	2,13	4,57	2,82	2,37
40	3,78	2,33	1,95	3,94	2,44	2,05	4,31	2,67	2,24
50	3,69	2,28	1,91	3,84	2,37	1,99	4,15	2,57	2,16
60	3,63	2,25	1,89	3,76	2,33	1,96	4,05	2,50	2,10
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
70 80 90 100 200 300 400 500 600 800 1000	3,59 3,55 3,53 3,51 3,40 3,35 3,32 3,30 3,29 3,27 3,26	2,22 2,20 2,18 2,17 2,10 2,07 2,06 2,05 2,04 2,03 2,02	1,86 1,85 1,83 1,82 1,76 1,74 1,73 1,72 1,71 1,70 1,70	3,70 3,66 3,63 3,60 3,47 3,41 3,37 3,35 3,33 3,30 3,29	2,30 2,27 2,25 2,23 2,14 2,11 2,08 2,07 2,06 2,05 2,04	1,93 1,91 1,89 1,87 1,80 1,77 1,75 1,74 1,73 1,72 1,71	3,96 3,90 3,84 3,80 3,59 3,50 3,45 3,41 3,39 3,36 3,33	2,45 2,41 2,38 2,35 2,22 2,17 2,14 2,12 2,10 2,08 2,07	2,06 2,02 2,00 1,98 1,87 1,82 1,79 1,78 1,76 1,75 1,74

Знаходимо координату середини поля допуску і половину поля допуску:

;

.

Таким чином, якщо за поле допуску брати величину t₁ -t₂= 0,3502, то з вірогідністю 0,9 з усіх майбутніх спостережень 99,73 % будуть лежати в цьому інтервалі.