6. Функції густини теоретичних та емпіричних розподілень

1. Підбір теоретичної функції для емпіричного розподілення

Розглянемо випадок, коли експеримент проводиться з метою встановлення вигляду функції густини вірогідності. Апріорі ця функція невідома і можна лише припустимо судити про її вигляд. Обробка результатів експериментальних спостережень проводиться в наступному порядку:

а) за дослідними даними будується емпірична крива;

б) визначаються параметри емпіричного розподілу;

в) висувається одна або декілька гіпотез про функції густини дослі джуваної випадкової величини, виходячи з зовнішнього вигляду експериментальної кривої, зі значень її параметрів і технологічних факторів, що впливають на її вигляд;

г) емпірична крива вирівнюється по одній або по декількох прийнятих теоретичних кривих;

д) проводиться порівняння за одним з критеріїв погодження емпіричної і теоретичної (вирівняної емпіричної) кривих;

е) вибирається функція, яка дає найкраще погодження.

2. Вирівнювання емпіричного розподілення по гіпотетичних теоретичних

Загальне правило вирівнювання полягає в наступному.

В кожне теоретичне розподілення (в його диференційну або інтегральну функції) входить декілька величин, що називаються параметрами (математичне очікування, дисперсія та ін.). Оскільки ці величини апріорі невідомі, то їх необхідно визначити за емпіричним розподілом, підставити у функцію густини замість теоретичних значень цих величин, а потім розраховувати вірогідності середини всіх інтервалів. Помноживши ці вірогідності на число дослідів (N), отримаємо теоретичні значення частот випадкової величини, які дають вирівняну криву. Для прикладу розглянемо вирівнювання емпіричного розподілу за нормальним законом (Гауса).

Даний закон двохпараметричний. Тому попередньо необхідно розрахувати середнє значення і середнє квадратичне відхилення (S).

Для розрахунку скористаємось даними, наведеними в табл. 5.Розраховуємо ;S = 0,0515

Підставляємо ці значення у функцію густини (12), замінивши α на іσ на S.

.

Результати вирівнювання наведені в табл. 10. Зробимо деякі пояснення до цієї таблиці.

В колонці 5 визначається ,

де х_і – середина і-го інтервалу;

– середнє значення;

S – середнє квадратичне відхилення.

За визначеними значеннями t в додатку 1 знаходимо значення , котрі проставляються в колонці 6.

Таблиця 10

Номер інтервалу, №	Середина інтервалу, хі	Емпіричні частоти mi			φ(t)	Вірогідність інтервалів,	Теоретичні частоти mi
1	2	3	4	5	6	7	8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14	-0,14 -0,12 -0,10 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12	3 8 11 20 27 36 29 18 17 17 8 4 1 1	-0,1116 -0,0916 -0,0716 -0,0516 -0,0316 -0,0116 0,0084 0,0284 0,0484 0,0684 0,0884 0,1084 0,1284 0,1484	-2,17 -1,78 -1,39 -1,00 -0,61 -0,23 0,16 0,55 0,94 1,33 1,72 2,10 2,49 2,88	0,0379 0,0818 0,1736 0,2420 0,3332 0,3885 0,3939 9,3429 0,2565 0,1647 0,0909 0,0440 0,0180 0,0063	0,01472 0,03177 0,06742 0,09398 0,12940 0,15087 0,15297 0,13317 0,0996 0,07396 0,03530 0,01709 0,00699 0,0063	2,94 6,35 13,48 18,80 25,88 30,17 30,59 26,63 19,92 14,79 7,06 3,42 1,40 0,49
Сума		200					200

Вірогідність кожного інтервалу (під час розрахунків вважаємо, що всі значення інтервалу зосереджені в його середині) дорівнює:

,

де h= 0,02 – ширина інтервалу.

Наприклад, .

Значення Р(х_і) наведені в колонці 7.

Перемноживши Р(х_і) на N = Σm_і = 200, отримуємо значення частот кривої, вирівняної за законом Гауса (колонка 8).

Графіки емпіричної і вирівняної кривих будуються в координатах: m_і _ № інтервалу; m_і _ № інтервалу.