3. Упражнения и задачи для самостоятельной работы

Группа А

1. Написать уравнения ребер и граней сопровождающего трехгранника кривой в точке (1;1;5).

2. Найти точки на кривой , в которых ее бинормаль параллельна плоскостиxy+8z+2=0.

2. Найти точку, в которой кривизна кардиоиды

принимает наименьшее значение, и найти это значение.

Есть ли на кардиоиде точки спрямления?

4. Показать, что кривая плоская, и найти уравнение плоскости, в которой она расположена.

5. Показать, что кривизна регулярной плоской кривой, заданной полярным уравнением , может быть вычислена по формуле

Группа Б

6. На бинормалях винтовой линии отложены единичные отрезки. Какую кривую образуют концы этих отрезков?

1. Доказать, что если все соприкасающиеся плоскости проходят через одну и ту же точку, то кривая плоская.

2. Доказать, что кривизна гладкой кривой F(x,y)=0 может быть вычислена по формуле:

9. Найти кривизну кривых, заданных дифференциальным уравнением P(x;y)dx+Q(x;y)dy = 0.

10. На кривой найти точки спрямления, точки уплощения и дуги, на которых кручение сохраняет знак.

1. §6. Формулы Френе. Натуральные уравнения. Эволюта и эвольвента

   1. Основные вопросы

1. Репер Френе (канонический репер). Формулы Френе.

1. Натуральные уравнения кривой.

1. Эволюта плоской кривой.

1. Эвольвента кривой.

2. Упражнения с решениями

1. Пусть - натуральная параметризация пространственной кривой,- векторы ее репера Френе. Доказать тождества: а)б).

Доказательство. а) Используя формулы Френе, имеем:

б) Применяя третью формулу Френе, получаем:

2. Составить натуральные уравнения кривой .

Решение. Найдем зависимость между параметром t и натуральным параметром s. Имеем:

Полагая получаем, чтооткуда находим зависимость s от t:

Вычисляя теперь кривизну и кручение данной кривой как функции параметра t и учитывая найденную зависимость, находим натуральные уравнения:

(Здесь учтено, что множество значений функции t>0 - вся числовая прямая).

Ответ:

3. Найти параметрические уравнения плоской кривой, зная ее натуральные уравнения:

а)б)

Решение. а) Пусть x = x(s), y = y(s) - натуральная параметризация кривой, - угол, образованный касательной к этой кривой в точке с параметромs и осью х. Орт касательной имеет тогда вид:Следовательно,и

Кроме того,

В самом деле, дифференцируя соотношение и пользуясь формулами Френе, получим:

Отсюда вытекает соотношение , которое удобнее заменить соотношением, присваивая кривизне соответствующий знак.

б) В соответствии с результатами, полученными в пункте а), находим:

(здесь взяты конкретные значения констант интегрирования, поскольку они влияют только на положение кривой на плоскости, но не на ее форму).

Итак, найдена натуральная параметризация кривой, заданной натуральными уравнениями:

Исключая из этих соотношений параметр s, получаем: y = chx.

Ответ: а) где;

б) ( цепная линия ).

3. Найти уравнение эволюты регулярной плоской кривой (s - натуральный параметр). Показать, что расстояние между соответствующими точками плоской кривой и ее эволюты равно радиусу кривизны кривой. ( Эволютой плоской кривой называется кривая, каждая касательная которой служит нормалью этой кривой.)

Решение. Будем искать уравнение эволюты в виде: где- орт нормали кривой. В силу определения эволюты направляющий векторее касательной коллинеарен вектору.

Применяя формулы Френе, его можно записать так:

Следовательно, , т.е.. Итак, уравнение эволюты имеет видгде- радиус кривизны кривой. Очевидно,.

Ответ: где(k - кривизна кривой).

Замечание1. Здесь, кроме того, показано, что эволюта - геометрическое место центров кривизны кривой.

Замечание2. Эволюта плоской кривой гдеt - произвольный параметр, может быть задана уравнением

или в координатах:

где X,Y - координаты радиус-вектора точки эволюты. (Эти уравнения могут быть легко получены из следующих:Первое непосредственно вытекает из определения эволюты, второе получается из него дифференцированием по параметруt.)

3. Найти уравнение эвольвенты регулярной кривой (s - натуральный параметр). (Эвольвентой или разверткой кривой называется ортогональная траектория ее касательных, т.е. кривая, пересекающая каждую касательную под прямым углом).

Решение. Пусть - радиус-вектор текущей точки эвольвенты. Тогда, гдеЧтобы найтивоспользуемся ортогональностьюи. Применяя формулы Френе, имеем:

Таким образом, , т.е.(с=const), и .

Ответ: , где с - произвольная константа.

Замечание3. Эвольвенты кривой , гдеt - произвольный параметр, очевидно, могут быть заданы уравнением

или в координатах:

где - радиус-вектор точки эвольвенты,- зависимость натурального параметра данной кривой от параметраt, с - произвольная постоянная.