Введение

1. §1. Вектор-функции

   1. Основные вопросы

1. Вектор-функции одной и двух переменных. Координатные функции. Годограф вектор-функции одной переменной.

2. Предел и производные вектор-функций. Классы непрерывных и гладких вектор- функций.

3. Правила дифференцирования вектор-функций.

1. Упражнения с решениями

1. Найти годографы вектор-функций:

а)

б).

Решение. a) Выписывая координатные функции, получаем параметрические уравнения годографа:

Исключая параметр t, имеем:

Учитывая множества значений координатных функций (Е(х)=[-5;5), E(y)=[-4;4]), заключаем, что годографом вектор-функции является эллипсиз которого исключена точка (5;0).

При изменении t от 0 до точка P(x;y) на годографе движется по годографу от точки (5;0) до этой же точки, совершая один полный оборот против часовой стрелки.

б) Параметрические уравнения годографа имеют вид

,

и задают прямую в пространстве, проходящую через точку (-1; 2; 0) в направлении вектора ( 2; -3; 4). Ее канонические уравнения:

.

При изменении t от точка Р(x; y; z) движется по годографу в направлении вектора (2; -3; 4).

Ответ: а) эллипс из которого исключена точка (5;0),

б) прямая .

2. Найти производные вектор-функций:

;

в точке (1; 1; 1).

Решение. а) Имеем:

.

Подставляя вместо t значение -2, находим:

б)Определяем значение параметра t, соответствующее точке (1; 1; 1), решая систему уравнений .Получаемt=0. Далее вычисляем:

.

Ответ:

3. Найти

если . ^*

Решение. Вычисляя последовательно скалярное, векторное и смешанное произведения соответствующих векторов, находим:

Дифференцируя полученные функции, окончательно имеем:

,

.

Ответ: .

4. Пусть , где,-вектор-функция класса.

Найти производные следующих функций:

Решение. a) ;

б) ;

в)

г)

д) .

Ответ: а) ; б); в)г)д).

5. Для вектор-функции ,

найти: а)в точке (1;0;-1); б)

в)(Использованы обозначения:

)

Решение. а) Находим частные производные вектор-функции

Определяем значения параметров u,

соответствующие точке (1;0;-1), решая систему уравнений:

Окончательно получаем:

б) Имеем: .

в) Используя формулу вычисляем:

Ответ: а) б) 0; в)

3. Упражнения и задачи для самостоятельной работы

Группа А

1. Найти годографы вектор-функций:

а)

б)

2. Найти производные вектор-функций:

а)

б) в точке (-2;1).

3. Найти

4. Пусть , ­­- вектор-функция класса

Найти производные следующих функций:

а)

5. Для вектор-функции найти:

а)в точке (2;0;1); б) ;в)

Группа Б

6. Доказать, что траектория материальной точки, движущейся под действием центральной силы, является плоской. (Центральную силу можно представить в виде - уравнение траектории движения)

7. Пусть , - вектор-функция класса, а, -диффеоморфизм класса, осуществляющий замену аргумента. Произвести замену аргумента в выражениях:

(штрихом обозначены производные по t).

8. Вектор-функция удовлетворяет дифференциальному уравнению-постоянный вектор. Доказать равенства: а)б)

1. Пусть - гладкая вектор-функция, и

Доказать:

а) для того, чтобы для любого t векторы имели одинаковую длину, необходимо и достаточно, чтобы векторыбыли ортогональны;

б) для того, чтобы для любого t векторы имели одинаковое направление, необходимо и достаточно, чтобы векторыбыли коллинеарны.

10. Пусть - гладкая вектор-функция, и.

Доказать:

а) для того, чтобы для любых u ивекторыимели одинаковую длину, необходимо и достаточно, чтобы векторбыл ортогонален векторам;

б) для того, чтобы для любых u ивекторыимели одинаковое направление, необходимо и достаточно, чтобы векторы

были коллинеарны.

(Использованы обозначения: )