3. Упражнения и задачи для самостоятельной работы

Группа А

1. Для каждой из заданных кривых составить уравнение касательной прямой, а также нормали (если кривая плоская) или нормальной плоскости (если кривая пространственная) в указанной точке; сделать рисунки кривых:

а) y=tgx (в точке с абсциссой 0);

б) (в произвольной точке);

в) (в произвольной точке);

г) (в точке, для которой);

д) (в произвольной точке).

2. Найти точки пересечения и углы, под которыми пересекаются следующие кривые; сделать рисунки:

а) б)

3. Вычислить:

а) длину дуги трактрисы между двумя ее произвольными точками;

б) длину кардиоиды, заданной полярным уравнением: (см. рис.9);

в) длину дуги кривой , заключенной между плоскостями.

4. Найти натуральные параметризации кривых:

а) окружности б) винтовой линииx = acost, y = asint, z = bt;

в) гиперболической винтовой линии x = acht, y = asht, z = at.

1. Траектория движения точки задана в цилиндрических координатах:

,

где t - время, - известные функции. Найти: а) косинус угламежду радиус- вектором движущейся точки и вектором ее мгновенной скорости; б) длину дуги траектории между точками с параметрамии.

5.2 То же задание, если траектория движения точки задана в сферических координатах:

где t - время, - известные функции.

Группа Б

6. Найти множество вершин прямых углов, касающихся: а) параболы б) эллипсав) гиперболы

7. Пусть касательная к гладкой кривой y = y(x) в точке М пересекает ось х в точке Т, а нормаль - в точке N, и пусть - проекция точки М на осьх. Доказать, что длины касательной МТ, нормали MN, подкасательной Т и поднормалиN выражаются формулами:

8. Показать, что тангенс угла , образованного касательной к гладкой кривой

с радиус-вектором точки касания, может быть найден по формуле .

Используя эту формулу, найти все кривые, пересекающие под постоянным углом все лучи, выходящие из полюса.

9. Найти длину дуги одного витка кривой между двумя ее точками пересечения с плоскостьюxz.

10. Найти длину замкнутой кривой

1. §5. Сопровождающий трехгранник. Кривизна и кручение

   1. Основные вопросы

1. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Касательная, бинормаль, главная нормаль. Соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая плоскости.

2. Кривизна кривой. Точки спрямления.

3. Кручение кривой. Точки уплощения.

1. Упражнения с решениями

1. Найти уравнения ребер и граней сопровождающего трехгранника винтовой линии в произвольной точке, а также кривизнуи кручение.

Решение. Последовательно находим:

Следовательно, искомые уравнения имеют вид:

(1)(касательная),

(2)(бинормаль),

(3)(главная нормаль),

(4)(нормальная плоскость),

5. (соприкасающаяся плоскость),

6. (спрямляющая плоскость).

Переходя к вычислению кривизны и кручения винтовой линии, имеем:

Следовательно, .

Ответ: Уравнения ребер - (1), (2), (3), уравнения граней - (4), (5), (6). Кривизна - , кручение -.

2. Найти уравнение соприкасающейся плоскости кривой проходящей через точку М(0;0;9).

Решение. Находим нормальный вектор соприкасающейся плоскости данной кривой в ее точке с параметром t:

Уравнение соприкасающейся плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору, можно записать в виде:

Подставляя координаты точки М в полученное уравнение, находим значение параметра t, при котором соприкасающаяся плоскость проходит через эту точку: t = 3. Таким образом, искомое уравнение имеет вид: 9X-6Y+Z-9 = 0.

Ответ: 9X-6Y+Z-9 = 0.

3. Найти вершины указанных кривых, т.е. точки, в которых их кривизна принимает экстремальные значения, а также найти эти значения: а)

Есть ли на этих кривых точки спрямления?

Решение. а) Имеем:

Исследование показывает, что функция k=k(x), имеет единственную точку экстремума:В точкекривизна принимает максимальное значение:Прикривизна стремится к нулю. Точек спрямления нет, так как

б) Параметризуем эллипс:

Вычисляя кривизну, находим:

Функция достигает экстремальных значений в тех точках, в которых имеет экстремальные значения функцияИсследование показывает, что таковыми являются точкиНа эллипсе им соответствуют точки (a;0), (0;b), (-a;0), (0;-b). Кривизна принимает в них значения Точки спрямления отсутствуют, так как

Ответ: а) Максимальное значение кривизны - ( в точке), точек спрямления нет; б) Кривизна достигает экстремальных значений () в вершинах эллипса. Точек спрямления нет.

4. Показать, что кривая, образованная пересечением цилиндров является плоской, и найти уравнение плоскости, в которой она расположена.

Решение. Параметризуем кривую: Вычислим ее кручение.

Имеем:

Последнее тождество означает, что данная кривая - плоская.

Подставляя, например, значения в параметрические уравнения кривой, находим три точки, ей принадлежащие:Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, имеет вид:

Ответ:

5. Показать, что кривизна регулярной плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), может быть вычислена по формуле

Решение. Имеем:

Итак,