3. Упражнения и задачи для самостоятельной работы

Группа А

1. Отрезок постоянной длины 2а скользит своими концами по осям прямоугольной декартовой системы координат ху. Составить параметрические и неявное уравнения в декартовых координатах, а также полярное уравнение кривой, являющейся траекторией основания перпендикуляра, опущенного из начала координат на этот отрезок (четырехлепестковая роза (см. рис.7) ). Сделать эскиз кривой.

1. Вокруг точки окружности радиуса а вращается луч. На этом луче по обе стороны от точки его пересечения с окружностью откладываются отрезки длины 2b (аb). Составить уравнение кривой, описываемой концами этих отрезков (улитка Паскаля (см. рис.8 ). Сделать эскиз кривой.

1. Пусть луч OL вращается с постоянной угловой скоростью вокруг точки О, а точка М движется вдоль лучаOL, удаляясь от начала О со скоростью, пропорциональной (с коэффициентом k) расстоянию ОМ. Найти уравнение кривой, описываемой точкой М (логарифмическая спираль (см. рис.14)). Сделать эскиз кривой.

1. Найти уравнение плоской кривой, обладающей тем свойством, что отрезок любой ее касательной между точкой касания и фиксированной прямой l постоянен и равен а (трактриса (см. рис. 16)). Сделать эскиз кривой.

1. Прямая OL, не перпендикулярная оси z, равномерно вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью . Точка М движется по прямойOL с постоянной скоростью . Найти уравнение кривой, являющейся траекторией точки М (коническая винтовая линия (см. рис. 22)). Сделать эскиз кривой.

Группа Б

6. Дана окружность радиуса а и касательная к ней в точке А. Из диаметрально противоположной точки О проведен луч, пересекающий окружность в точке С, а заданную касательную в точке В. На нем отложен отрезок ОМ, равный отрезку ВС. Найти полярное, параметрические и неявное уравнения траектории точки М (циссоида Диоклесса (см. рис.2)). Сделать эскиз этой кривой.

1. Прямая х=а пересекает ось х в точке А, а произвольный луч ОВ - в точке В. На луче по обе стороны от точки В отложены отрезки , равные отрезку АВ. Найти полярное, параметрические и неявное уравнения кривой, состоящей из всех точек(строфоида (см. рис.3)). Сделать эскиз кривой.

1. Составить уравнение кривой, описываемой точкой М окружности радиуса r, которая катится без скольжения по окружности радиуса R, оставаясь вне ее (эпициклоида (см.рис.10)) . Какая получится кривая при r = R? Сделать эскизы кривых.

1. Составить уравнение кривой, описываемой точкой М окружности радиуса r, которая катится без скольжения по окружности радиуса R, оставаясь внутри ее (гипоциклоида (см. рис.11)). Какая получится кривая при R=4r? Сделать эскизы кривых.

1. Движение точечного электрического заряда в магнитном поле с напряженностью определяется дифференциальным уравнением- радиус-вектор точки, в которой находится заряд,t - время, c=const. Доказать, что если заряд движется под действием магнитного поля с постоянной напряженностью, то его скорость постоянна по величине, а его траекторией может быть лишь какая-либо из следующих линий:

1. прямая, коллинеарная вектору;

2. окружность в плоскости, ортогональной;

3. винтовая линия с осью, коллинеарной.